Тема 5 Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция №6 Объемное напряженное состояние. 5.7 Главные напряжения и главные площадки. 5.8 Площадки экстремальных касательных напряжений. 5.9 Деформированное состояние в точке. Основные понятия. Направляющие косинусы внешней нормали к площадке, решение системы линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ), вычисление определителя третьего порядка, главные напряжения и главные площадки, инварианты напряженного состояния, экстремальные касательные напряжения, деформированное состояние в точке, главные деформации. 5.7 Главные напряжения и главные площадки. Рассмотрим некоторое тело, нагруженное системой сил, удовлетворяющей условиям равновесия (рис. 5.9 а). Тремя парами параллельных плоскостей выделим в окрестности точки A элементарный параллелепипед (рис. 5.9 б). Рис. 5.9 Объемное напряженное состояние (а). Главные площадки (б) Напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда в общем случае объемного напряженного состояния (рис. 5.9 б), сведем в матрицу (тензор напряжений) x yx zx T xy y zy xz yz z (5.22) Если записать уравнения равновесия параллелепипеда: сумма моментов всех сил относительно осей x,y,z, то получим численные равенства закона парности касательных напряжений: (5.23) yx xy , zy yz , zx xz В двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны друг другу и направлены обе либо T симметрична. Меняя к общему ребру, либо от ребра. Поэтому матрица ориентировку параллелепипеда (рис. 5.9 в), можно найти такое его положение, когда на всех гранях касательные напряжения будут равны нулю. Такие площадки и действующие на них нормальные напряжения называются главными напряжениями и главными площадками. Рассмотрим способ их определения. Предположим, что нам известен наклон какойлибо главной площадки, определяемой нормалью γ (рис.5.10 а). Направляющие косинусы нормали: l cos(x, ) m cos(y, ) n cos(z, ) l 2 m 2 n 2 1 (5.24) Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетраэдр (рис 5.10 б). Рис. 5.10 Наклонная площадка (а) и равновесие тетраэдра, выделенного главной площадкой (б) Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA=1, тогда площади других граней будут равны: (5.25) dA 1 dAx l dAz n dAy m Напряжение, действующее на главной площадке, обозначим гл . Составим условия равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на ось x: (5.26) l xl yx m zx n 0 Аналогичные уравнения будут для осей y,z. Запишем эти уравнения в виде системы линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ) относительно неизвестных направляющих косинусов l , m, n : ( x )l yx m zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 (5.27) xz l yz m ( z )n 0 Решение СЛОАУ l 0, m 0, n 0 нам не подходит, т.к. должно выполняться условие (5.3): l m n 1 . Поэтому найдем решение (5.27) отличное от нуля. Для этого, потребуем, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е. 2 2 2 ( x ) yx zx det xy ( y ) zy 0 yz ( z ) xz (5.28) Раскрываем определитель (5.28) получаем: 3 I1 2 I 2 I 3 0 (5.29) Из симметрии матрицы определителя (5.28) следует, что все три корня уравнения (5.8) будут действительные числа: 1 2 , 3 (5.30) Коэффициенты уравнения (5.29) с учетом закона парности касательных напряжений (5.23) вычисляются по формулам: I1 ( x y z ) I 2 x y x z y z xy xz yz 2 2 2 (5.31) I 3 x yz y xz z xy x y z 2 xy xz yz 2 2 2 Коэффициенты (5.31) не зависят от выбора осей координат, так как при любых исходных площадках уравнение (5.29) должно давать одни и те же корни: 1 , 2 , 3 . Поэтому величины I1 , I 2 , I 3 называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния (тензора напряжений). Если площадки элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки, являются главными, то для инвариантов напряженного состояния имеем следующие формулы: (5.32) I 2 1 2 1 3 2 3 I 3 1 2 3 I1 (1 2 3 ) Для определения l , m, n , соответствующих одному из трех главных напряжений, значение этого напряжения надо подставить в уравнение (5.27) вместо σ. Совместное решение (5.29) и (5.27) даст искомые направляющие косинусы l , m, n . Пример 5.1 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили систему нормальных и касательных напряжений, обладающих тем свойством, что все компоненты оказались равными друг другу τ (рис. 5.11 а). Определим главные напряжения и установим, что же это за напряженное состояние. Рис. 5.11 Напряжения на гранях параллелепипеда (а). Выделение элементарного параллелепипеда исходного состояния (б) Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни которого равны: I1 3 , I 2 0, I 3 0 3 3 2 0 1 3 , 2 3 0 Таким образом, на рис. 5.11,а представлено одноосное напряженное состояние с напряжением 3 (Рис 5.11 б). На рис 5.3, б показана тройка взаимно перпендикулярных секущих площадок имеющих равный наклон к оси растянутого стержня. Пример 5.2 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили систему только равных касательных напряжений τ (рис.5.12,а). Рис. 5.12 Напряженное состояние в точке (а), главные площадки исходного состояния (б) Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни которого равны: I1 0, I 2 3 2 , I 3 2 3 3 3 2 2 3 0 1 2 , 2 3 Следовательно, рассматриваемое состояние является трехосным (рис. 5.12 б). 5.8 Площадки экстремальных касательных напряжений. Максимальное касательное напряжение для данной точки равно полуразности максимального и минимального главных напряжений и действует на площадке, наклоненной к ним под углом 450 ( 1 3 ). max 13 1 3 2 12 1 2 2 23 2 3 2 (5.33) Рис 5.13 . Площадки экстремальных касательных напряжений (оси 1,2,3 параллельны главным напряжениям 1 2 , 3 ) 5.9 Деформированное состояние в точке. Рассмотрим особенности деформирования материала в окрестности точки М деформированного тела (рис.5.14,а). Выделим элемент dx, dy, dz в окрестности этой точки Рис. 5.14 Совокупность деформаций для всевозможных осей, проведенных через точку М, представляет деформированное состояние в точке (а); деформации элемента в плоскости x-y (б) Линейные и угловые деформации (углы сдвига) элемента в трех ортогональных плоскостях представим в виде тензора деформаций (см. 5.14,б): x 1 T xy 2 1 2 zx 1 yx 2 y 1 zy 2 1 xz 2 1 yz 2 z (5.34) Если мысленно вращать вокруг точки М оси x, y, z, переводя их во всевозможные ' ' ' положения x , y , z ,то деформации (5.34) будут непрерывно изменяться (рис. 5.14 а). Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку, называется деформированным состоянием в точке. Деформации 1 , 2 , 3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, называются главными деформациями в точке и определяются по формулам (формулы обобщенного закона Гука): (5.35) ( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 1 2 E 3 2 2 1 E 3 3 3 1 E 2