Теории напряженного и деформированного состояния

3. ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО
И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
3.1. Напряженное состояние в точке
Вырежем из напряженного тела
произвольной
бесконечно
малый
z
параллелепипед ( рис. 3.1 ). На гранях
параллелепипеда действуют нормальные
zy
zx
и касательные напряжения. Направление
нормальных напряжений совпадает с
yz
x

x z
направлением внешней нормали n .
y 
x
Касательные напряжения разложим на
y y
y
x составляющие, параллельные осям. На
x
Рис.3.1
невидимых гранях элемента возникают
такие
же
напряжения,
только
противоположно направленные. Напряжения на гранях параллелепипеда
являются компонента ми тензора напряжений – Т.
z
Х
Т= yx
zx
xy xz
У yz
zy Z
Параллелепипед находится в равновесии, выполняются все уравнения
равновесия, в частности, Мх=0 . zydxdydz -yzdzdxdy=0. Откуда: zy=yz.
Аналогично zx=xz, xy=yx. Эти выражения представляют собой закон
парности касательных напряжений. Из закона парности касательных
напряжений следует, что на гранях элемента имеем не девять, а шесть
независимых компонентов тензора напряжений. При вращении
параллелепипеда величины напряжений меняются. Можно добиться
такого положения параллелепипеда, при котором все касательные
напряжения обратятся в ноль. Грани параллелепипеда, находящиеся в
этом положении, называются главными площадками, а нормальные
напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями,
которые обозначаются 1, 2 и 3, причем 123.
Если два главных напряжения равны нулю, то напряженное
состояние называется линейным или простым. При этом, если 10, то это
растяжение, а если 30, то это сжатие. Если одно главное напряжение
равно нулю, то напряженное состояние называется плоским, если все
главные напряжения не равны нулю, то объемным. Плоское и объемное
напряженные состояния называются сложными.
32
3.2. Напряжение на наклонных площадках при линейном
напряженном состоянии
Пусть материал испытывает линейное напряженное состояние: 10,
2=0, 3=0. Найдем напряжения на площадке, нормаль к которой
составляет угол  с нормалью к
_
_
_
главной площадке, где действует 1 _
n
n1


n

1
( рис. 3.2,а ). Площадь главной n

площадки обозначим А0, а площадь

 
А
наклонной площадки - А.



A α cosα  A ,
0
А
A
о
0 .
или
Aα 


1
cosα
а
б
1
1в
Напряжение p α найдем из условия
Рис
pα A α  σ A
равновесия
1 0
3.2
σ A
σ A cosα
(рис. 3.2,б).
pα  1 0  1 0
 σ cosα .
1
Aα
A
0
Разложим p на  и 
( рис. 3.2,в ).
σ α  p α cosα   cos2α .
( 3.1 )
1
σ
τ α  p αsinα  σ cosα sinα  1 sin2α .
( 3.2 )
1
2
Экстремальные значения напряжений будут: maxσ α  σ при =0;
1
minσ α  0 при
max τ α   / 2
=90;
при
=45.
1
3.3. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим элемент, материал которого испытывает плоское
напряженное состояние ( рис.3.3 ). Разберем две задачи – прямую и
обратную. В прямой задаче гранями рассматриваемого элемента являются
главные площадки. Известны 10, 20, 3=0. и углы  и =+90
наклона произвольных площадок к главной, на которой действует 1.
Требуется определить напряжения  и  и  и  на произвольных
площадках. В обратной задаче известны напряжения  ,  ,  и  на
двух взаимно перпендикулярных произвольных площадках. Требуется
определить положение главных площадок
и величины главных
напряжений.
33
Прямая задача. Используем принцип суперпозиции и формулу ( 3.1 ).
Найдем напряжения на первой произвольной площадке
=1cos2+2cos2(90+) = 1cos2+2sin2 ,
( 3.3 )
 = σ1  σ 2 sin2 .
2
_
n1
1
_

n
2



n


Рис
3.3
90
 
1
( 3.4 )
Отметим, что в прямой задаче
положительный угол  откладывается
от нормали к главной площадке, где
действует 1, против часовой стрелки.
Экстремальные
значения
напряжений будут:
mах =1 при
2 =0°; min =2 при =90°;
σ σ2
mах = 1
при =45°.
2
Для определения напряжений на
второй
произвольной
площадке
используем формулы ( 3.3 ) и ( 3.4 ),
в которые подставим угол 
σ  σ cos2β  σ sin 2β  σ cos2 α  90   σ sin 2 α  90  
1
2
1
2
β
= σ sin 2α  σ cos2α .
( 3.5 )
1
2
σ σ
σ σ
σ σ
τ  1 2 sin2β  1 2 sin2 α  90    1 2 sin2α . ( 3.6 )
β
2
2
2
Из сравнения ( 3.4 ) и ( 3.6 ) видно, что = -  это
частный случай закона парности касательных напряжений для плоского
напряженного состояния.
Обратная задача. Для нахождения положения главных площадок
найдем угол =0 наклона главной площадки к произвольной. Вычтем из
 ( 3.3 )
 ( 3.5 )
σα  σ  σ  cos2α  sin 2α   σ  sin 2α  cos2α   σ  σ cos 2α ,
1
0
0  2
0
0
1 2
0
β
σα  σ
2τ α
β
cos2α

Откуда
( * ) , а из ( 3.4 ) найдем sin2α 
.
0 σ σ
0 σ σ
1
2
1
2
2τ α
tg2α 
Получим
.
( 3.7 )
0 σα  σ
β

По этой формуле определяется положение главных площадок .
34

Найдем величины главных напряжений. Сложим формулы
( 3.3 ) и ( 3.5 ).
σ α  σ  σ cos2α  σ sin 2α  σ sin 2α  σ cos2α  σ  σ .
1
2
1
2
1 2
β
σα  σ
β
σ

σ

Из ( * ) следует, что
.
1 2 cos2α
0
Складывая и вычитая эти выражения, получим
σα  σ
β
2σ
 σα  σ 
 σ α  σ   σ α  σ sc2α 
1,2
0
β cos2α
β 
β
0
2


 2τ α 
 σ α  σ   σ α  σ  1  tg 2 2α  σ α  σ   σ α  σ  1  
 
0
β 
β
β 
β
 σ α  σβ 


2
2.
= σ α  σ   σ α  σ   4τ α
β
β


Откуда
σ

1.2
σα  σ
β
2

2
1 

2
σ

σ
 α
  4τ α ;
β
2 

3=0 .
( 3.8 )
3.4. Обобщенный закон Гука
Вырежем из тела элементарный параллелепипед, гранями которого являются главные
площадки ( рис. 3.4 ). Обозначим ребра
параллельные
1
первыми, параллельные 
2 – вторыми, параллельные 3 – третьими. 
Рассмотрим деформацию первого ребра. В
нем от 1 возникает продольная деформация
 1

1   1 , а от 2 и 3 – поперечные

 
 

2
3

1
2
3
1
3

2 3


1
2

2
σ
σ
Рис 33.4
ε σ  μ 2 ; ε σ  μ 3 .
1 2
1
3
Ε
Ε
Полные деформации первого ребра, и аналогично второго и третьего
ребер будут
σ
σ
σ
1
1 = ε σ  ε σ  ε σ  1  μ 2  μ 3  σ  μ σ  σ  ,
1 1 1 2
1 3 Ε
3 
Ε
Ε Ε 1  2
1
1
 σ  σ   ,
σ

μ
σ  μ σ  σ 
2 =
3 =
.
( 3.9 )



2
1
3
1
2





Ε
Ε 3
Эти выражения представляют собой обобщенный закон Гука.
деформации
     


35
Складывая их, найдем относительное изменение объема.
1  2μ
Ε
1
- модуль
e
σ σ σ 
σ  σ  σ , здесь K 
1 2
3 3K 1 2
3
31  2μ 
E
объемной деформации.
Если материал испытывает всестороннее сжатие, то 1 = 2 = 3= - p.
3p
31  2μ 

p . Так как объем в этом случае расти не может,
Тогда e  
Ε
3K
то это возможно, если 1-20, или   0.5. Это предельное значение  для
изотропных материалов.




3.5. Критерии прочности и пластичности
В случае простого напряженного состояния легко определить
предельное напряженное состояние – текучесть для пластичных
материалов и разрушение для хрупких. Соответственно находятся
предельные напряжения Т
и В , зная которые, можно найти
коэффициент запаса прочности конструкции. При сдвиге тоже можно
определить характерные напряжения по диаграмме сдвига. При сложном
напряженном состоянии предельное напряженное состояние зависит от
комбинации компонент тензора напряжений, и определение предельных
напряжений для каждого случая сложно и дорого. Поэтому содержание
теории предельных напряженных состояний заключается в создании
общего метода оценки меры опасности любого напряженного состояния
при ограниченном числе механических испытаний материала. Каждому
сложному напряженному состоянию ( рис. 3.5,а ) ставится в соответствие
равноопасное ему простое напряженное состояние с эквивалентным
напряжением экв ( рис. 3.5,б ). Равноопасными состояниями называются
такие, все компоненты которых надо увеличить в одно и то же число раз
( равное коэффициенту запаса прочности ) для достижения напряженным
состоянием предельного состояния.
Критериями прочности и пластичности являются математические
модели - уравнения, основанные на теоретических рассуждениях и
экспериментальных данных и связывающие сложное напряженное
состояние с равноопасным ему простым напряженным состоянием.
Рассмотрим некоторые наиболее распространенные критерии.
I. Критерий наибольших нормальных напряжений. Считается, что на
достижение напряженным состоянием предельного состояния основное
влияние оказывает наибольшее по абсолютной величине нормальное
напряжение. эквI =  или эквI = 3  . Данный критерий имеет, в
основном , историческое значение, и на практике не применяется.
36
экв
3
1
=
а
б
2
экв
Рис.3.5
II. Критерий наибольших относительных деформаций. Считается, что
на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное
влияние оказывает наибольшая по абсолютной величине относительная
деформация. Так как эквII = Е эквп , а эквп = max {  1  ,  3  } , то
эквII =  - (2+3) или
эквII  σ  μ σ  σ . Этот критерий
3
1
2
применяется редко и только для хрупких материалов.
II1. Критерии наибольших касательных напряжений. Считается, что
на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное
влияние оказывает наибольшее по абсолютной величине касательное



σ σ
напряжение. Так как τ max  1 3 - в заданном напряженном состоянии,
2
σ
а τ max  экв111 - в эквивалентном напряженном состоянии, то
2
σ
 σ σ
( 3.10 )
эквIII
1 3
Используется для пластичных материалов. Однако для материалов с
различными механическими характеристикам на растяжении и сжатии,
этот критерий приводит к погрешностям.
IV. Критерии энергии формоизменения. Считается, что на достижение
напряженным состоянием предельного состояния основное влияние
оказывает энергия формоизменения. Энергию, затраченную на изменение
объема, не учитываем, так как, например, при гидростатическом сжатии,
потенциальная энергия растет, а материал не течет. Формула для
эквивалентного напряженного состояния будет:
σ
экв1V

1
2
2 
2

2 
 σ σ   σ σ   σ σ 
2
3
1
 1
 2
 3
,
2 2 2
 σ1  σ 2  σ 3  σ1σ 2  σ 2σ 3  σ1σ 3 .
( 3.11)
эквIV
Этот критерий применяется наравне с критерием наибольших
касательных напряжений для пластичных материалов
V. Теория Мора предельных напряжений. Испытывая образцы из
одного и того же материала при различных напряженных состояниях и
или
σ
37