Изучение параметров во внеклассной работе необходимо для ГИА

Выступление на ШМО по теме:
«Параметры в школьном курсе математики».
Учитель математики МБОУ СОШ №3
Солдатова Л.В.
2014 – 2015 учебный год.
1
Элементарная математика (а быть может, просто школьная математика) даже в
ограниченном контексте – задачи с параметрами - представляет собой весьма
широкое поле для полноценной математической ценности.
Решение задач, а точнее, уравнений и неравенств с параметрами, открывает
перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера,
ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и
на любом другом математическом материале.
Кроме того, мы знаем, насколько далеко экзамены оторвались от школы,
насколько велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляет к
своему выпускнику школа и требованиями которые предъявляются на ЕГЭ.
Учащиеся, увидевшие такого уровня задачи только на экзаменах, теряются и не
знают методики и приёмов их решения, поэтому учителю необходимо найти
время ознакомить с заданиями такого содержания на уроках и во внеклассной
работе, либо на консультациях при подготовке к экзаменам. Это возможно при
условии если этот материал освоит учитель, то он, разумеется, сумеет найти
способы приближения к нему и своих учеников.
Я уделяю большое внимание методам и приёмам решения задач. На уроках
постепенно стараюсь, где это представлялось уместным, приводить иное
решение ранее разобранной задачи.
Понятно, что в решении каждой задачи можно выделить идейную и
техническую части.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют
величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но
считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При
этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический ход
решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой
формально присутствуют (2буквы») является задачей с параметрами.
Уже с пятого класса в дидактический материал «Самостоятельные и
контрольные работы» авторы А.И.Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова
включают задания с параметрами, которых нет в учебниках. Поэтому на уроках,
заключительных по теме разбираю такого типа задания, постепенно ребята
начинают понимать, что эти задания не противоречат теоретическому и
практическому материалу изучаемой темы. И на контрольной работе удается
некоторым ребятам справиться с заданиями повышенной сложности.
2
Более глубокая работа по данным видам заданий необходимо вести вне урока,
так как отводимые часы на программу не дают времени изучать подробно
параметры. Желательно, чтобы администрация учебного заведения понимала
важность организации дополнительных занятий с учащимися, желающих изучать
расширенный курс математики либо на кружке, либо на факультативных
занятиях, либо в профильных классах за счет организации элективных курсов.
Мною разработана программа элективных курсов, начиная с восьмого класса.
Они рассчитаны на 18 часов занятий. Собран материал, соответствующий
программе данного класса. В 11 классе при подготовке к ЕГЭ собраны задания из
материалов экзаменов предыдущих лет. Особое внимание уделяю оформлению
работ.
В элективных курсах охватываются важнейшие темы школьного курса
математики: квадратный трехчлен, функции, графики, рациональные и
иррациональные
уравнения
и
неравенства,
системы
уравнений,
логарифмические
и
показательные
уравнения
и
неравенства,
тригонометрические уравнения и неравенства, задачи на составления уравнений.
При этом идеи и методы решения «квадратный трехчлен» и необходимые
условия широко используются при рассмотрении материала последующих тем.
Рассмотрим задания, которые включены в дидактическое
«Самостоятельные и контрольные работы» авторов А.П.Ершова и др.
пособие
В пятом классе таких заданий немного. Например:
1.Каким числом необходимо заменить а, чтобы корнем уравнения х+6=а было
число 12?
Решение:
Дано: Х=12, тогда решим уравнение 12+6=а относительно а, а=18.
Ответ: при а=18 корнем уравнения будет число 12.
2. Каким числом необходимо заменить а, чтобы корнем уравнения
35-(а+12) = х+12 было число 7?
Решение:
3
35-(а+12) =7+12; а+12=35-19; а+12=16; а=16-12; а=4.
Ответ: а=4.
3.Какими натуральными числами необходимо заменить а и в, чтобы корнем
уравнения (11-а) + (х - в) =16 было число 7?
Решение:
11-а+7-в=16; 18- (а +в) = 16; а + в=2; а=1 и в=1 других натуральных чисел нет.
Ответ: а=1, в=1.
В шестом классе уже больше заданий с параметрами.
1.Известно, что а, в, с – простые числа, причем произведение авс нечетно.
Докажите, что сумма а +в +с также нечетна.
Решение:
авс – нечетно, если:
- один из множителей нечетный, а два четные,
- все три нечетные.
а в с нечетно, значит, не делится на 2, а это значит, одно из слагаемых не делится
на 2 или все слагаемые не делятся на два. Поэтому сумма двух четных и одного
нечетного числа будет нечетной или сумма трех нечетных чисел будет нечетной.
2.Даны числа: а> 0, в > 0, с > 0.
Известно, что авс = ав, ас > вс > ав. Сравните числа а, в и с.
Решение:
авс = ав ⇒ с = 1.
ас > вс > ав ⇒ а > в > ав ⇒ в < а < с ⇒ а и в дробные числа.
2
3а
3
в
3. Отношение чисел а и в равно . Найдите
.
Решение:
а
в
2
3а
3
в
= ;
а
2
в
3
= 3 × = 3 × = 2.
4
2
а+2в
3
а
4. Отношение чисел а и в равно 2 . Найдите:
.
Решение:
а
в
8
а+2в
3
а
= ;
в
3
3
3
а
8
4
4
= 1+2× = 1 + 2 × = 1+ = 1 .
5.Известно, что
а
в
= 1,5. Найдите
в
3а+2в
.
Решение:
в
3а+2в
=
1
3а+2в
в
=
1
а
3× +2
в
=
1
3×1,5+2
=
1
6,5
=
10
65
=
2
13
.
6. Известно, что сумма 3+а меньше разности 3-а. Сравните число а с нулем. Ответ
объясните.
1) а> 0, то 3 + а > 3 и 3 − а < 3 ⇒ неравенство 3 + а < 3 − а будет неверным.
2) а = о, то 3< 3 тоже неверно.
3) а< 0, то 3 + а < 3 и 3 − а > 3 ⇒ неравенство 3 + а < 3 − а будет верным.
Ответ: а< 0.
7.Известно, что х – у> х + у , а у − х < у + х.
Определите знаки чисел х и у. Ответ объясните.
Решение:
1) Пусть х> 0 и у < 0 ⇒ х – у> х + у и у − х < у + х.
Оба неравенства верны. Такие числа можно брать.
2) Пусть х> 0 и у > 0, то х – у> х + у (неверно), а х – у> х + у (верно).
Такие числа брать нельзя.
2) Пусть х< 0 и у > 0, то х – у> х + у (неверно), а х – у> х + у (неверно).
Такие числа брать нельзя.
5
4) Пусть х< 0 и у < 0, то х – у > х + у (верно),
а х – у > х + у (неверно).
Такие числа брать нельзя.
Ответ: х> 0 и у < 0.
8.Определите, каким условием должны удовлетворять числа а и в, чтобы
выполнялось равенство:
 a : в=1. Условие: а = в.
 a : в=-1. Условие: а и в противоположные числа.
9.Определите, при каких значениях а, выполняется равенство:


а
|а|
а
|а|
= 1 при а> 0.
= −1 при а< 0.
10.Определите, каким условиям должны удовлетворять числа а и в, чтобы
выполнялось равенство:
 a : в = в : а. При условии: а = в≠ 0.

а−в
в−а
= −1; −
в−а
в−а
= −1. При условии: в≠ а.

11.Определите знаки чисел а, в и с, если ав > 0, вс < 0, ас < 0 ис −
наименьшее из чисел.
ав> 0, если они одинакого знака.
а) Пусть а> 0 и в > 0 , с > 0, то вс < 0 (неверно) , ас < 0 (неверно).
Такие числа брать нельзя.
б) Пусть а> 0 и в > 0 , с < 0, то вс < 0 (верно) , ас < 0 (верно).
Такие числа можно брать.
в) Пусть а< 0 и в < 0, с > 0, то вс < 0 (верно) , ас < 0 (верно).
Такие числа можно брать.
6
г) Пусть а< 0 и в < 0, с < 0, то вс < 0 (неверно) , ас < 0 (неверно).
Такие числа брать нельзя.
Ответ: а> 0 , в > 0 , с < 0 или а< 0 , в < 0, с > 0.
12.Представьте выражение а – в +2 а) в виде суммы числа 2 и некоторого
выражения, б) в виде разности числа 2 и некоторого выражения.
Решение:
а) 2+(а – в).
б)2 – (в - а).
Представьте выражение - а + 2– в:
а) в виде суммы числа 2 и некоторого выражения,
б) в виде разности числа 2 и некоторого выражения.
Решение:
а) 2+(-а – в).
б) 2 – (а + в).
13.Представьте выражение а-3,2-в:
а) в виде суммы выражений (а +n) и (m -в), где n и m- некоторые числа,
б) в виде разности выражений (а +n) и (в- m).
Решение:
а) (а+4)+(-7,2-в),
б) (а-7,6)-(в-4,4).
14.Найдите значения а, при котором уравнение:
а) а(х-1)=1 имеет корень х=0.
7
Решение:
а(0-1)=1; -а=1; а=-1.
б) (а-1)(х+2)=0. Корнем уравнения является любое число.
Решение:
а-1=0 при а=1 ⇒0(х+2)=0 Решением будет любое значении х.
Х+2=0
в) (а-2)х=1 не имеет корней.
Решение:
При а=2
0х=1 решений нет.
15.Даны уравнения 2х+4а=9 и 9а+1-3х=-5, где х – переменная, а – некоторое число
(параметр). При каком значении а корни данных уравнений: а) противоположны,
б) равны?
2х + 4а = 9;
2х = 9 - 4а;
Х = 4,5 - 2а
а) противоположны:
4,5 - 2а = - 3а - 2;
a = - 6,5.
9а + 1 - 3х = - 5;
- 3х = - 9а - 6;
Х = 3а + 2
б) равны:
4,5 - 2а = 3а + 2;
5а = 2,5;
a = 0,5.
Ответ: а) а=-6,5, б) а=0,5.
16.Найдите все целые значения m, при которых:
а)
Корень уравнения mх=-8 является Корень уравнения mх=15 является
целым числом.
целым числом.
8
15
Х=- ⇒ m ∈ {±1; ±2; ±4; ±8}
х = ⇒ m ∈ {±1; ±3; ±5; ±10}.
m
m
б)
8
Корень уравнения (m-1)х=18 является Корень уравнения (m+1)х=12
натуральным числом.
является натуральным числом.
18
12
Х=
⇒ m ∈ {2; 3; 4; 7; 10; 19}
Х=
⇒ m ∈ {1; 2; 3; 5; 11}
m−1
m+1
в)
Корень уравнения mх = 6
удовлетворяет неравенству
1 < |х| < 3
6
6
Х= ⇒ 1 < | | < 3; m ∈ {−3; 3}
m
m
Корень уравнения mх = 9
удовлетворяет неравенству
1,5 < |х| < 3
9
9
Х= ⇒ 1,5 < | | < 3; m ∈ {±4; ±5}
m
m
Седьмой класс.
1.Определите, при каких значениях параметра а
Уравнение
Уравнение
2 имеет один корень
Уравнение
3 имеет один корень
Уравнение
9 не имеет корней
Уравнение
4 не имеет корней
Уравнение
1 имеет два корня
Решение
|х| = а − а=2, |х| = 0, х = 0.
|х| = а + а=-3, |х| = 0, х = 0.
|х| = а2 − а2 − 9 < 0; а2 < 9; |а| < 3;
-3< а < 3.
2
|х| = а − а2 − 4 < 0; а2 < 4; |а| < 2;
-2< а < 2.
2
|х + 1| = а + При любом значении а, так как
|х + 1| > 0,
следовательно два корня.
2.Решите уравнение с параметром а:
Уравнение
ах=5
Решение
а = о, то 0х=5 решений нет а≠ 0, то х = 5.
ах=-2
а = о, то 0х=-2 решений нет
а≠ 0, то х =
(а-3)х=-1
а = 3, то 0х=-1 решений нет
а≠ 3, то х =
(а+2)х=3
а = -2, то 0х=3 решений нет
а≠ −2, то х =
(а+1)х=а+1
а = -1, то 0х=0 , х- любое а≠ −1, то х =
= 1.
а+1
число.
а = 3, то 0х=0 , х – любое а≠ 3, то х = 3−а = −1.
а−3
число.
(а-3)х=3-а
а
−2
.
а
−1
.
а−3
3
.
а+2
а+1
9
а = 2, то 0х=0 , х – любое а≠ 2, то х = (а−2)а = а.
а−2
число.
(а+3)х=(а+3)(а-2) а = -3, то 0х=0 , х – любое а≠ −3, то х = (а+3((а−2) = а − 2.
а+3
число.
(а-2)х=(а-2)а
3.Найдите значение р, при котором число 2 является корнем уравнения:
Решение:
а) 2рх=32; х=2⇒ 4р = 32 ⇒ р = 8,
б) 3рх=24; х=2⇒ 6р = 24 ⇒ р = 4.
4.Найдите значение m, при котором имеют общий корень уравнения:
а) 2х-3=7 и m-3х=1.
Решение:
2х-3=7; 2х=10; х=5.
m-3х=1; m-3*5=1; m=16.
Ответ: m=16.
б) 5-3х=-1 и 5х- m=3.
Решение:
-3х=-6; х=2.
5*2- m=3; - m=-7; m=7.
Ответ: m=7.
5. Найдите значение а, при котором имеют общий корень уравнения:
5х-1=2а-2 и 3х+2=а+5
5х=2а-1
3х=а+3
2а−1
а+3
Х=
х=
5
2а−1
а+3
=
3
6а-3=5а+15
а=18.
Ответ: а=18.
5
3
2х+1=а+5
2х=а+4
а+4
Х=
а+4
2
2а+5
и 3х-7=2а-2
3х=2а+5
2а+5
х=
3
=
.
3
3а+12=4а+10
а=2.
Ответ: а=2.
2
10
6. Известно, что 2а-в=5. Вычислите:
а) 4а-2в. Решение: 4а-2в=2(2а-в)=2× 5 = 10,
б) 6а-3в. Решение: 6а-3в=3(2а-в)=3× 5 = 15.
7. Определите, при каком значении а, данная система имеет бесконечное
множество решений.
−2х + 3у = −1
3х − 5у = 4
{
{
4х + ау = 2
ах + 15у = −12
−4х + 6у = −2
9х − 15у = 12
{
{
4х + ау =
ах + 15у = −12
9х+ах=0; х (9+а) = 0; а=-9 и 0 х = о, где 6у+ау=0; у(6+а) = 0; а=-6 и 0у=0, где у
любое число.
х любое число.
Восьмой класс.
1.Определите, при каких натуральных значениях n данное выражение принимает
целые значения.
2𝑛 + 12
6
= 1 + ∈ 𝑍 при
2𝑛
𝑛
𝑛 ∈ {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}
2.Зная, что
а
в
3𝑛 − 18
6
= 1 − ∈ 𝑍 при
3𝑛
𝑛
𝑛 ∈ {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}
= 2, найдите значение выражения:
2в − а
в
1
=2× −1= 2× −1=0
а
а
2
а + 2в 1 в 1 1
= + = + =1
2а
2 а 2 2
3.Найдите а и в из тождества:
3
𝑥 2 +х−6
=
а
х+3
+
в
.
х−2
х ≠ −3; 2.
ах + вх = 0 х(а + в) = 0
а(х−2)+в(х+3)=3; ах-2а+вх+3в=3; {
;{
;
3в − 2а = 3 3в − 2а = 3
при а =−в ⇒3в+2а=в=3; 5в=3; в=0,6 и а=-0,6.
11
ответ:а=-0,6 и в=0,6.
4.Один из корней данного уравнения равен 2. Найдите второй корень и
коэффициент а.
𝑥 2 + ах − 12 = 0
Х=2⇒ 4 + 2а − 12 = 0; 2а = 8; а = 4.
х1 х2 = −12 ⇒ 2х2 = −12; х2 =
−12: 2 = −6.
Ответ: а=4 и х2 = −6.
𝑥 2 − 7х + а = 0
Х=2⇒ 4 − 14 + ф = 0; а = 10.
𝑥 2 − 7х + 10 = 0.
х1 х2 = 10; 2х2 = 10; х2 = 5.
Ответ: а=10 и х2 = 5.
5.Сумма квадратов корней уравнения 𝑥 2 + рх − 2 = 0 равна 8. Найдите р.
х1 2 + х2 2 = 8
{ х1 х2 = −2 ;
х1 + х2 = −р
х1 2 + х2 2 = 8; (х1 + х2 )2 − 2х1 х2 = 8; (−р)2 − 2(−2) = 8; (−р)2 = 4; р = ±2 .
Ответ: -2 и р =2.
6. Опрделите, при каком значении а оба корня уравнения равны нулю:
𝑥 2 − (а2 − 2|а|)х − 2а + а2 = 0
х + х2 = 0
а2 − 2|а| = 0
;
;
{ 1
{
х1 х2 = 0
−2а + а2 = 0
|а|(|а| − 2) = 0 а = 0; ±2
;{
⇒
{
а = 0; 2
а(а − 2) = 0
а = 0; 2.
Ответ: а=0 и а=2.
𝑥 2 − (а2 + 3а)х + 3|а|−а2 = 0
х + х2 = 0
а2 + 3а = 0
;
;
{ 1
{
х1 х2 = 0
3|а| − а2 = 0
а(а + 3) = 0
а = 0; ±3
;{
⇒
{
|а|(3 − |а|) = 0 а = 0; −3
а=-3;0.
Ответ: а=-3 и а=0.
7.Определите, при каких значениях а, уравнение имеет более двух корней.
(а2 + 4а − 21)𝑥 2 − (а2 − 3а)х − 3 + 4а − а2 = 0.
(а − 3)(а + 7)𝑥 2 − а(а − 3)х − (а − 3)(а − 1) = 0;
(а−3)((а+7)𝑥 2 − ах − а + 1) = 0;
1) при а = 3 ⇒ 0((а + 7)𝑥 2 − ах − а + 1) = 0 , х любое число.
12
2) при а ≠ −3, то уравнение (а + 7)𝑥 2 − ах − а + 1 = 0 в зависимости от D
будет иметь не более двух корней.
Ответ: а=3.
8.Разность корней уравнения 2х2 − 5х + с = 0 равна 1,5. Найдите с.
х − х2 = 1,5
; 2х1 = 4;
х1 = 2;
х2 = 0,5.
{ 1
х1 + х2 = 2,5
с
с
х1 х2 = ;
2× 0,5 = ;
с=2.
2
2
Ответ: с=2.
9. Разность корней уравнения 2х2 − 3х + с = 0 равна 2,5. Найдите с.
х − х2 = 2,5
; 2х = 4; х1 = 2; х2 = −0,5.
{ 1
х1 + х2 = 1,5 1
с
с
х1 х2 = ; 2× (−0,5) = ; с=-2.
2
2
Ответ: с=-2.
Девятый класс.
1.Определите значения параметра а, при которых уравнение
х4 + (а2 − а + 1)𝑥 2 − а2 − а = 0.
а) имеет единственный корень.
а = 0, то х4 + 𝑥 2 = 0; 𝑥 2 (𝑥 2 + 1) = 0; х = 0.
б) имеет два различных корня .
D> 0, D = (−а2 + а − 1)2 + а3 + а=а4 − 2а3 + 3а2 − 2а + 1 + а3 + а = а4 − а3 +
3а2 − а + 1 > 0 при а< 0 и а> 0.
В) не имеет корней.
D< 0 таких параметров нет.
Далее привожу примеры с параметрами, решаемые во внеклассной работе:
 параметры в восьмом классе,
 параметры в девятом классе.
13