Симметрические уравнения

Симметрические уравнения
Симметрическим уравнением называется целое алгебраическое
уравнения вида 𝑎0 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 при an=a0, an-1=a1; an-2=a2,
…(коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны).
1
Симметрическое уравнение решается с помощью подстановки 𝑥 + = 𝑦,
𝑥
если n – четное; если n – нечетное, то уравнение имеет корень х= - 1.
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 17𝑥 2 − 8𝑥 + 1 = 0.
Решение. Подбором найти корни нельзя. Так как х≠0, разделим обе части
уравнения на х²: х2 - 8х+17 -
8 1
1
1
+ 2 =0. (х2+ 2 ) - 8(х+ )+17=0.
x
x x
x
1
Пусть 𝑥 + = 𝑦, тогда х2+
𝑥
1
=у2 - 2 и получим уравнение у2 - 8у+15=0,
x2
корни которого у1=3, у2=5.
1
x
1
x
Имеем х+ =3 или х+ =5; х2 - 3х+1=0 или х2 - 5х+1=0; откуда x1, 2 
x 3, 4 
3 5
;
2
5  21
2
Ответ: x1, 2 
5  21
3 5
, x 3, 4 
2
2
Пример 2. Решите уравнение 𝑥 7 + 2𝑥 6 − 5𝑥 5 − 13𝑥 4 − 13𝑥 3 − 5𝑥 2 +
2𝑥 + 1 = 0.
Решение. Это симметрическое уравнение 7-ой степени. Одним из его
корней будет х= - 1. По схеме Горнера понизим степень многочлена, стоящего в
левой части уравнения:
-1
1
2
-5
- 13
- 13
-5
2
1
1
1
-6
-7
-6
1
1
0
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (𝑥 + 1)(𝑥 6 + 𝑥 5 −
6𝑥 4 − 7𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 0.
Уравнение
𝑥 6 + 𝑥 5 − 6𝑥 4 − 7𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0
является
симметрическим. Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделим обе
1
1
1
части на 𝑥 3 и сгруппируем члены: (𝑥 3 + 3 ) + (𝑥 2 + 2) − 6 (𝑥 + ) − 7 = 0.
𝑥
𝑥
𝑥
1
1
𝑥
𝑥
Введем замену 𝑥 + = 𝑡. Оценим |t| по неравенству Коши: |𝑡| = |𝑥 + | ≥
1
2√𝑥 ∙ = 2.
𝑥
1
1
Учитывая, что 𝑥 2 + 2 = 𝑡 2 − 2; 𝑥 3 + 3 = 𝑡 3 − 3𝑡, получим уравнение
𝑥
𝑥
3
2
𝑡 − 𝑡 − 9𝑡 − 9 = 0, которое равносильно уравнению (𝑡 + 1)(𝑡 2 − 9) = 0,
откуда найдем t= - 1; t=3; t= - 3. Следовательно, решение исходного уравнения
1
𝑥 + = −1,
𝑥
1
сводится к решению следующих трех: 𝑥 + 𝑥 = 3, . Первое уравнение не имеет
1
[ 𝑥 + 𝑥 = −3
последних равносильны
решений, поскольку |t|2. Два
3±√5
−3±√5
𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0,
. Корни этих уравнений: 𝑥 =
;𝑥=
.
[ 2
2
2
𝑥 + 3𝑥 + 1 = 0
следующим:
Ответ:
3±√5 −3±√5
;
2
2
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) 2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 3𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
2) 2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 16𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
3)
4) 2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 16𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0
5)
6) 𝑥 6 − 2𝑥 5 − 6𝑥 4 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0
7)
8)
9) 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 11𝑥 2 + 𝑥 + 2 = 0
10) 𝑥 6 − 3𝑥 5 + 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0
Симметрические системы уравнений с двумя переменными
Система с n переменными называется симметрической, если она не
меняется при перестановке переменных.
Любой симметрический многочлен от переменных х1, х2, …, хn может
быть представлен в виде многочлена от основных симметрических
многочленов u1, u2, …un.
Симметрическая система двух уравнений с двумя переменными х и у
решается подстановкой u=x+y; v=xy.
Наиболее часто встречающиеся выражения в таких системах выражаются
через u и v следующим образом:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑢2 − 2𝑣; 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑢(𝑢2 − 3𝑣); 𝑥 4 + 𝑦 4 = (𝑢2 − 2𝑣)2 − 2𝑣 2 .
Симметрическая система трех уравнений относительно переменных х, у, z
решается подстановкой x+y+z=u; xy+yz++zx=v; xyz=w. Если найдены u, v, w, то
составляется кубическое уравнение 𝑡 3 − 𝑢𝑡 2 + 𝑣𝑡 − 𝑤 = 0, корни которого t1, t2,
t3 в различных перестановках являются решением исходной системы.
Наиболее часто встречающиеся выражения в таких системах выражаются
через u, v, w следующим образом: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑢2 − 2𝑣; 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 𝑢3 −
3𝑢𝑣 + 3𝑤.
𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 61,
Пример. Решите систему {
.
𝑥𝑦 = 12
Решение. Многочлены 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 и ху являются симметрическими от
двух переменных х и у. представим их через многочлены u=x+y и v=xy:
𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑥𝑦 = 𝑢2 + 𝑣; 𝑥𝑦 = 𝑣.
2
2
Тогда для переменных u и v получим систему {𝑢 + 𝑣 = 61,  {𝑢 = 49,
𝑣 = 12
𝑣 = 12
𝑢 = 7,
{
.
𝑣 = 12
Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух
𝑥 + 𝑦 = 7,
{
𝑥𝑦 = 12;
систем: [
.Решая каждую из этих систем, получим решения
𝑥 + 𝑦 = −7,
{
𝑥𝑦 = 12
исходной системы: ( - 4; 3); ( - 3; - 4); (3; 4); (4; 3).
Ответ: ( - 4; 3); ( - 3; - 4); (3; 4); (4; 3)
Упражнения
1. Решите систему уравнений:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0,
1) {
2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 20 = 0
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)