Системы уравнений. Рациональные уравнения с двумя

Системы уравнений.
Рациональные уравнения с двумя переменными.
Рациональное уравнение с двумя переменными - это уравнение
вида f(x;y)=g(x;y). Где f и g – рациональные выражения содержащие
переменные х, y, числа и любые операции вычитания, деления,
умножения, сложения и возведения в степень.
Посмотрим на примеры рациональных выражений:
𝑥 2 + 𝑦 3 = 23; 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 5 = 0; 𝑥 − 𝑦 = 6
Рациональное уравнение всегда представимо
u(x;y)=f(x;y)-g(x;y). u(x;y) – рациональное выражение.
в
виде:
u(x;y)=0 – целое рациональное уравнение.
Решением уравнения u(x;y)=0 – пара чисел (x;y) – которые
удовлетворяют данному уравнению.
Пример:
а) (3;2) решение уравнения x+y=5. Подставив х=3 и y=2 получим
3+2=5
б) (1;4) решение уравнения 2𝑥 2 + 𝑦 2 = 18. Подставив х=1 и y=4
получим 2+16=18
в) Решить уравнение:
(3𝑥 − 6)2 + (2𝑦 − 2)2 = 0
Решение:
Для любых x и y (3𝑥 − 6)2 ≥ 0 и (2𝑦 − 2)2 ≥ 0. Это означает, что
левая часть равенства всегда больше или равна нулю, и равна нулю
только, когда оба выражения равны нулю. Значит решением
уравнения будет пара чисел (2;1).
Ответ: (2;1).
г) Найти все целые решения уравнения x-y=12.
Решение:
Пусть x=z, тогда y=z-12. z – любое целое число. Тогда решением
будет вот такая пара чисел (z;z-12) где z – целое число.
д) Найти целочисленные решения:
4х+7y=29
Решение:
Выразим х через y: 𝑥 =
29−7𝑦
4
=
28+1−7𝑦
4
=7+
1−7𝑦
4
=7−
7𝑦−1
4
x будет целым, когда 7y-1 делится на 4 без остатка. Давайте
посмотрим возможные варианты нашего деления:
1) y – кратно 4. Тогда y=4n.
7y-1=7·4n-1=28n-1 – не делится на 4, значит не подходит.
2) y – при делении на 4 остаток равен 1. y=4n+1
7y-1=28n+7-1=28n+6 – не делится на 4, значит не подходит.
3) y – при делении на 4 остаток равен 2. y=4n+2
7y-1=28n+14-1=28n+13 – не делится на 4, значит не подходит.
4) y – при делении на 4 остаток равен 3. y=4n+3
7y-1=28n+21-1=28n+20 –делится на 4, значит подходит.
Получили y=4n+3, найдем х
𝑥 =7−
7𝑦 − 1
28𝑛 + 20
=7−
= 7 − 7𝑛 + 5 = 2 − 7𝑛
4
4
Ответ: (2-7n;4n+3)
Два рациональных уравнения называются равносильными, если
они имеют одинаковые решения.
Равносильными преобразованиями уравнения называют:
а) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в
другую, со сменой знака.
Пример : -3x+5y=2x+7y равносильно -3x-2x=7y-5y
б) Умножение или деление обоих частей уравнений на число не
равное нулю.
Пример: 2х-0.5y=0.2xy равносильно 20х-5y=2xy. (Умножили обе
части уравнения на 10)
График уравнения с двумя переменными.
Пусть дано уравнение u(x;y)=0. Множество точек (x;y) на
координатной плоскости, таких что (x;y) – решение уравнения u(x;y)=0
– называется графиком функции.
Если уравнение u(x;y)=0 можно преобразовать к виду y=f(x) –
считается одновременно графиком уравнения.
Построить график уравнения:
а) y+2x=2 b) yx=5
Решение:
а) Графиком нашего уравнения будет прямая, ребята вы
помните, как мы строили график линейной функции в 7 классе?
График нашей функции строится по двум точкам:
x
y
Построим график:
0
2
1
0
b) Преобразуем наше уравнение yx=5 получим y=5/x – график
гиперболы, давайте построим его:
Расстояние между двумя точками координатной плоскости.
Определение. Расстояние между двумя точками А(x1;y1) и
B(x2;y2) вычисляется по формуле:
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Пример:
Найти расстояние между точками: А(10;34) и B(3;10)
Решение:
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √(3 − 10)2 + (10 − 34)2 = √72 + 242
= √625 = 25
Определение. Графиком уравнения:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
является окружность на координатной плоскости с центром в
точке (а;b) и радиусом r.
Пример:
Построить график уравнения:
𝑥2 + 𝑦2 = 4
Решение:
Перепишем наше уравнение согласно определению:
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 4 – окружность с центром в точке (0;0) и
радиусом = 2.
Нарисуем нашу окружность:
Построить график уравнения:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 = 0
Решение. Перепишем в виде:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 − 9 = 0
𝑥 2 + (𝑦 + 3)2 = 9
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 3)2 = 9
Окружность с центром в точке (0; 3) и радиусом равным 3.
Изобразим нашу окружность:
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти все целые решения уравнения 2x+y=16
2. Найти целочисленные решения: 3х+5y=23
3. Построить график уравнения:
а) y-5x=-5 b) yx=6 с) 𝑦 + 2𝑥 2 = 0
4. Найти расстояние между точками: А(5;25) и B(18;10)
5. Построить график уравнения:
а) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36 б) 𝑥 2 + 8𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = 0