Показательные уравнения

Показательные уравнения.
Специфика решения уравнений рассматриваемого класса по сравнению с
алгебраическими состоит в расширении методов и формул преобразований, в
частности добавляются две взаимно обратные операции – логарифмирование
и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило,
является сведение данного уравнения к алгебраическому; и наконец, в
добавлении двух элементарных уравнений:
(1) 𝑎 𝑥 = 𝑏(𝑥 = log 𝑎 𝑏) и log 𝑎 𝑥 = 𝑏(𝑥 = 𝑎𝑏 )
Если вместо x в показателе степени стоит некоторая функция 𝑓(𝑥), т.е.
уравнение имеет вид 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, (2) 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, то логарифмируя
обе части этого уравнения, приходим к эквивалентному уравнению 𝑓(𝑥) =
log 𝑎 𝑏.
Показательное уравнение вида 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎ℓ(𝑥) , где а > 0, а ≠ 1
решается также путем логарифмирования обеих частей уравнения по
основанию а. Эквивалентное ему уравнение 𝑓(𝑥) = ℓ(𝑥).
Решение простейших показательных уравнений.
Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) или (2) с
помощью равенств: а𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 𝑦 ,
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑥 =𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥
𝑎
𝑎𝑥
𝑏
𝑏𝑥
( )𝑥 =
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦 ,
𝟓
𝟒
𝟐
𝟐𝟓
𝑎𝑥
𝑎𝑦
= 𝑎 𝑥−𝑦
Пример 1. Решить уравнение : ( )𝒙 = ( )𝟐.
5
Решение: Приведем степень в правой части хранения к основанию .
4
( )2
25
=
2
2
[(5)2 ]
2
=
2
( )4
5
=
5
( )−4
2
Исходное уравнение имеет вид
5
5
( )𝑥
2
5
= ( )−4
2
Логарифмируя по основанию , получим x= -4
2
Ответ: - 4.
Пример 2. Решить уравнение: 𝟑𝟐−𝒙 − 𝟔 ∙ 𝟑𝟐𝒙 = 𝟑𝟐𝒙+𝟏
Решение: 32−𝑥 − 6 ∙ 32𝑥 = 32𝑥 ∙ 3;
32−𝑥 = 6 ∙ 32𝑥 + 32𝑥 ∙ 3;
32−𝑥 = 32𝑥 ∙ (6 + 3),
32−𝑥 = 32𝑥+2
т.к. 32𝑥 ∙ 9 = 32𝑥 ∙ 32 = 32𝑥+1
Логарифмируя по основанию 3 получим.
2 − 𝑥 = 2𝑥 + 2,
3𝑥 = 0,
𝑥=0
Ответ: 0.
Примеры решения показательных уравнений.
Пример 1. 𝟑𝒙+𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟕𝟐 .
Представим первую часть в виде произведения, получим
3𝑥 ∙ (32 − 1) = 72 ,равносильное данному
3𝑥 = 9 .
Ссылаясь на монотонность показательной функции, получим ответ: x=2.
𝟐
Пример 2. 𝟓𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 .
2
Представив уравнение в виде 5sin 𝑥−3 cos 𝑥 = 5−3 и, приравнивая показатели,
приходим к уравнению 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 3 cos 𝑥 = −3 . Перепишем последнее
уравнение в виде 3 cos 𝑥 = sin2 𝑥 + 3 . Т.к. 3 cos 𝑥 ≤ 3 , а sin2 𝑥 + 3 ≥ 3 ,
То правая и левая части равны 3, откуда sin 𝑥 = 0 и cos 𝑥 = 1 .
Поэтому 𝑥 = 2𝜋𝑛. Ответ: 𝑥 = 2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍.
𝒙
Пример 3. 𝟏𝟔√(𝟎, 𝟐𝟓)𝟓−𝟒 = 𝟐√𝒙+𝟏 .
Область определения x≥ −1. Записав 16 = 24 и 0,25 = 2−2 , получим
уравнение.
𝑥−4
2 4 = 2√𝑥+1 .
Т.к. функция 2𝑡 монотонная, то равны показатели
. Левая часть полученного уравнения √𝑥 + 1 ≥ 0 ,
√𝑥 + 1 = 𝑥−4
4
𝑥−4
следовательно, и правая часть
≥ 0 . Приходим к системе равносильной
4
𝑥−4
𝑥 + 1 = ( )2
4
исходному уравнению . {
𝑥 ≥ 4,
𝑥 ≥ −1.
𝑥 ∙ (𝑥 − 24) = 0,
Она сводится к системе {
Решением служит х=24.
𝑥 ≥ 4.
Ответ: х=24.
𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝒙−𝟏 − 𝟐𝟒 = 𝟎. Перепишем в виде:
22𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 − 24 = 0 Положим t=2𝑥 (𝑡 > 0) и решим
квадратное уравнение: 𝑡 2 − 5𝑡 − 24 = 0.
Из двух его корней 𝑡 = −3 и 𝑡 = 8 условию 𝑡 > 0 удовлетворяет лишь
второй: 𝑡 = 8 . Итак, 2𝑥 = 8 , 𝑥 = 3. Ответ: 𝑥 = 3.
Пример 4.
𝑥
𝑥
Пример 5.
4 ∙ 3𝑥 − 9 ∙ 2𝑥 = 5 ∙ 62 т.к. 62 > 0 при любых 𝑥, разделим
𝑥
𝑥
𝑥
3
9
3
3
на 62 = 22 ∙ 32 ; Итак, ( )𝑥 = , т.е. ( )𝑥 = ( )2 , следовательно, 𝑥 = 2.
2
4
2
2
Ответ: 𝑥 = 2.
Пример 6.
Решить уравнение: 𝟔𝟐𝒙+𝟒 = 𝟑𝟑𝒙 ∙ 𝟐𝒙+𝟔 .
Решение: Перепишем данное уравнение в виде 32𝑥+4 ∙ 22𝑥+4 = 33𝑥 ∙ 2𝑥+8
Используя свойство членов пропорции, имеем
2
2
2
2
2
3
32𝑥+4
33𝑥
=
2𝑥+8
22𝑥+4
, 34−𝑥 = 24−𝑥 ,
Преобразуем ( )4−𝑥 = 1, ( )4−𝑥 = ( )0 , 4 − 𝑥 = 0, 𝑥 = 4. Ответ: 4.
𝟐
𝟐
Пример 7.
𝟒√𝒙 −𝟐+𝒙 − 𝟓 ∙ 𝟐𝒙−𝟏+√𝒙 −𝟐 = 𝟔.
2
Решение: обозначим 2√𝑥 −𝑥+𝑥 = 𝑦 и, произведя замену переменных,
получаем квадратное уравнение:
5
𝑦 2 − 𝑦 − 6 = 0 , 𝑦 = 4 и 𝑦 = − 3⁄2, Значит это уравнение решений
2
2
2
𝑥+√𝑥 2 −2
2
= 4 , 2𝑥+√𝑥 −2 = − 3⁄2 ,
не имеет т.к. 2𝑥+√𝑥 −2 > 0 при всех
допустимых значениях. Из первого уравнения получаем: 𝑥 + √𝑥 2 − 2 = 2 .
Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат, имеем
𝑥 2 − 2 = 4 − 4𝑥 + 𝑥 2 . Приводя подобные члены, получаем единственный
корень 𝑥 = 3⁄2. Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет
исходному уравнению. Ответ: 𝑥 = 3⁄2 .
Пример 8. Решить уравнение: 𝟑𝟐𝒙−𝟓 = 𝟓𝒙 .
5
Решение
32𝑥−5 = 5𝑥 ⇔ 32𝑥−5 = 3𝑥 log 3 ⇔ 2𝑥 − 5 = 𝑥 log 3 5
5
5
𝑥=
. Ответ: 𝑥 =
.
2−log3 5
2−log3 5
𝟐
Пример 9. Решить уравнение: 𝟑𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 + 𝒙𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝟏𝟔𝟐
Решение: Преобразуем 2-ое слагаемое 1. 𝑥 log3 𝑥 = (3log3 𝑥 )log3 𝑥 = 3log3 𝑥
2
Подставим в (1), получим 2. 3log3𝑥 = 162
2
3log3 𝑥 = 81
2
3log3 𝑥 = 34 .
log 23 𝑥= 4
log 3 𝑥 = 2, log 3 𝑥 = −2
𝑥 = 32
𝑥 = 3−2
1
𝑥 = 9.
𝑥= .
Ответ:
1
9
9
; 9.
Пример 10. Решить уравнение: 𝟕𝟔−𝒙 = 𝒙 + 𝟐.
Решение: 𝑥 = 5, корень может быть найден подбором, других решений
уравнение не имеет, т.к. f(x) = 76−𝑥 монотонно убывает, а g(x) = x + 2
монотонно возрастает и значит, графики функций могут пересечься не более
одного раза.
Ответ: 𝑥 = 5.