Акмуллинская олимпиада 1. x^2 +3x=9n^2-9(*) x^2+3x-9(n^2

Акмуллинская олимпиада
1. x^2 +3x=9n^2-9(*)
x^2+3x-9(n^2-1)=0
D=b^2-4ac=9-4(-9(n^2-1))=9+36(n^2-1)=9(1+4n^2-4)=9(4n^2-3)
Чтобы при nэZ , уравнение (*) имело целые корни, надо чтобы
1) √D был целым числом или если √D целое
2) x1=-3+√D/2- целое
x2=-3-√D/2-целое
Проверим 1 условие: √D=√9(4n^2-3)=3√4n^2-3 – должно быть целым.
При n=0 √D=3√-3 --------n=1 √D=3√1=3, значит x1=-3+3/2=0
x2=-3-3/2=-3
n=2 √D=3√13 не целое
n=3 √D=3√33 не целое
Легко увидеть, что при n неравное 1,√D – не целое число
Ответ: при n=1 x=0,x=-3
2.Т.к. площадь треугольника с вершинами из точек k не больше одного,
значит эти точки находятся недалеко друг от друга. Следственно, самые
большые треугольники будут площадью 1 и нетрудно заметить что все эти
точки поместятся в треугольник площадью 4.
3. Пусть каждая машина производит количество мячей равное своему
номеру. Тогда , если все машины исправны общая сумма мячей будет равна:
10*1+10*2+10*3+10*4+10*5+10*6+10*7+10*8+10*9+10*10=550.
Если испортилась, например, 4 машина, то масса 4 мячей равна 4*5=20 и
общая масса 550-20=530. Следовательно, взвешимаем все мячи и если
разница равна 20, то сломалась 4 машина.
Если испортилась 7 машина, то 7 мячей по 5 грамм равно 35, общая масса
всех мячей =515г. Значит 550-515=35:5=7машина
Если сломалась n машина, то разница от общей массы 5n.Значит 5n:5=n
получаем № машины.
4.2^n+7=k^2, где k принадлежит N (1,2,3,4..)
2^n=k^2-7
Т.к. k^2-7 это ответ 2^n, то
Система: k^2-7˃0 (т.к. n =1;2;3;4.. натуральный , 2^n=2;4;8;16…. )
k^2-7≥2
(k^2-7):2
Подберем k натуральное: k =1, нет
k =2, нет
k=3, тогда k=2,n =1
k =4, нет
k =5, нет
Легко увидеть, что при k ≠1, k не целое число
Ответ: k=2,n =1
5.A=a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2=
=( a^2+2b^2-2ab)( a^2+2b^2+2ab)
6.Если мы берем любые положительные числа в арифметическую
прогрессию, то сумма квадртов всегда больше четвертого члена. Если берем
отрицательные числа, то то же что и в первом случае.Значит остается только
один случай : -1,0,1,2(d=1) ,2 =(-1)^2+0^2+1^2
7. x^2+(x/x-1)^2=8
x^4-2x^3+x^2+x^2-8x^2+16x-8/(x-1)^2=0
x^4-2x^3+ -6x^2+16x-8/(x-1)^2=0
Разложим многочлен с четвертой степенью на множители. Для этого решим
уравнение:
x^4-2x^3+x^2+x^2-8x^2+16x-8=0
Находим делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8
При x=2, ур-е равно 0
x^4-2x^3+x^2+x^2-8x^2+16x-8: x-2= (x-2)(x^3-6x+4)
Разложим многочлен с етьей степенью на множители.Для этого решим
уравнение:
x^3-6x+4=0
Находим делители 4: ±1, ±2, ±4
При x=2, ур-е равно 0
x^3-6x+4: x-2=(x-2)(x^2+2x-2)
(x-2)(x^2+2x-2) (x-2)/ (x-1)^2=0
(x^2+2x-2) (x-2)^2/ (x-1)^2=0
Система: (x^2+2x-2) (x-2)^2=0 x=2,x=-1±√3
(x-1)^2≠0
x≠1
Ответ: x=2,x=-1±√3
8. tg 20*tg40*tg60*tg80=3
tg20*tg(60-20)*tg(60+20)*tg60=3
tg20*((tg60-tg20)/1+tg60*tg20))*((tg60+tg20)/(1-tg60*tg20))*tg60=3
tg20*(((tg60)^2-(tg20)^2)/(1-(tg60)^2(tg20)^2*tg60=3
tg20*((3-(tg20)^2)/(1-3(tg20)^2)*tg60=3
((3tg20-(tg20)^3)/(1-3(tg20)^2)*tg60=3
tg(3*20)*tg60=3
√3*√3=3(20,40,60,80-градусы)
9. Обычная шахматная доска 8*8.Если 1 ладья может занять любое место ,то
2 может занять оставшиеся при условии что 1 ладья ей не бьет.Так можно
долго рассуждать, и прийти к выводу что ответ будет 8!=1*2*3*4*5*6*7*8=
=40320.Значит 8 ладей можно поставить 40320 разными способами.