Линейная функция. График линейной функции

Линейная функция. График линейной функции
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, kR.
Здесь х – независимая переменная, принимающая произвольные значения
(аргумент), у – функция, k и b – параметры. Если k=0, то линейная функция
становится постоянной y=b.
1. Область определения – множество всех вещественных чисел D(f)=R.
2. Множество значений E(f)=R, если k0, и одно число b, если k=0.
𝑏
3. Функция пересекает оси координат в точках (0; b) и (− ; 0).
𝑘
4. Функция является четной, если k=0; нечетной, если b=0; и ни четной, ни
нечетной, если k0 и b0.
5. Функция не периодичная k(xT)+bkx+b при Т0.
6. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Ее
производная в каждой точке равна k.
7. Промежутки знакопостоянства (зависят от k):
если k>0, то у>0 при x>0, y<0 при x<0;
если k<0, то у>0 при x<0, y<0 при x>0.
8. Экстремумов (точек максимума и минимума) нет.
9. Промежутки монотонности:
если k>0, то у возрастает на всей числовой оси;
если k<0, то у убывает на всей числовой оси.
10. Наибольших и наименьших значений нет.
11. Функция при k0 не ограничена, при k=0 ограничена.
12. Функция имеет обратную функцию 𝑦 =
линейной функцией.
𝑥−𝑏
𝑘
, которая также является
Графиком линейной функции у=kx (прямой пропорциональной
зависимости между переменными х и у) является прямая, проходящая через
начало координат.
Изобразим на плоскости прямую y=kx+b.
Углом наклона этой прямой к оси Ох называется угол α, отсчитываемый
от положительного направления оси Ох против хода часовой стрелки.
Если прямая параллельна оси Ох, то угол наклона считается равным
нулю.
Коэффициент
k
в
коэффициентом прямой.
уравнении
называется
y=kx+b
угловым
Прямая y=kx+b параллельна прямой y=kx.
Из треугольника МОР (Р=90о) видно, что 𝑘 =
𝑦0
𝑥0
=
𝑀𝑃
𝑂𝑃
= tg 𝛼.
Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е. k=tgα. При
положительных k этот угол острый, при отрицательных – тупой. Это
соответствует характеру монотонности линейной функции: при k>0 она
возрастает, при k<0 убывает.
Графиком функции y=kx+b является прямая, параллельная прямой у=kx,
𝑏
сдвинутая вдоль оси Ох на х=− при k0.
𝑘
Для построения графика линейной функции y=kx+b достаточно знать
угловой коэффициент k и одну точку, лежащую на графике.
Если прямая y=kx+b проходит через точку (х0; у0), то будет верным
равенство у0=kх0+b.
Если координаты некоторой точки (х; у) удовлетворяют уравнению
прямой y=kx+b, то они будут удовлетворять и уравнению у – у0=k(х – х0).
Уравнение у – у0=k(х – х0) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом k, проходящей через точку (х0; у0).
Пусть прямая y=kx+b проходит через две точки (х1; у1) и (х2; у2), тогда
имеем два верных числовых равенства у1=kx1+b, y2=kx2+b. Отсюда получаем
равенство y2 – y1=k(x2 – x1).
Так как прямая y=kx+b не параллельна оси Оу, то х2х1. Следовательно,
𝑘=
. Это формула углового коэффициента прямой, проходящей через
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
две данные точки.
Примеры решения задач
Пример 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом 3,
проходящей через точку Т(- 2; 1).
Решение. Пусть у=3х+b – уравнение искомой прямой. Подставив в него
координаты точки Т, получим уравнение 1=3( - 2)+b, откуда b=7.
Следовательно, искомое уравнение у=3х+7.
Ответ: у=3х+7
Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки М( - 2;
9) и Р(4; - 3).
Решение. Пусть y=kx+b – уравнение искомой прямой. Подставив в него
9 = −2𝑘 + 𝑏,
координаты точек М и Р, получим систему уравнений {
.
−3 = 4𝑘 + 𝑏
Решив эту систему уравнений, найдем k= - 2, b=5. Следовательно,
уравнение искомой прямой у= - 2х+5.
Ответ: у= - 2х+5
Пример 3. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом 2,
проходящей через точку (3; - 1).
Решение. В уравнение у – у0=k(х – х0) подставим k=2, х0=3 и у= - 1.
Получим уравнение прямой у+1=2(х – 3), т.е. у=2х – 7.
Ответ: у=2х – 7
Пример 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки ( - 1; 7)
и (2; 4).
Решение. Угловой коэффициент прямой найдем по формуле 𝑘 =
4−7
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
=
= - 1.
2+1
Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом – 1, проходящей
через точку (- 1; 7): у – 7= - 1(х+1), т.е. у= - х+6.
Ответ: у= - х+6
Взаимное расположение графиков линейных функций
Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые
либо пересекаются, либо параллельны.
Пересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом
случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и то же
значение у для обеих функций.
Графики двух линейных функций, заданные формулами вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏,
пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если
коэффициенты при х одинаковы.
Доказательство. Пусть 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 - две различные
линейные функции. Рассмотрим уравнение 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 .
Имеем 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 ; (𝑘1 − 𝑘2 )𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 . Если 𝑘1 ≠ 𝑘2 , то это
уравнение имеет единственный корень. В этом случае графики пересекаются.
Если 𝑘1 = 𝑘2 и 𝑏2 ≠ 𝑏1 , то уравнение не имеет корней. В этом случае графики
функций параллельны.
Упражнения
1. Укажите угловой коэффициент прямой:
𝑥
1) 𝑦 = 3𝑥 + 8
2) 𝑦 = 9 −
5) 𝑦 = 𝑥 + 1
6) 𝑦 = 12𝑥 − 7
9) 𝑦 = 3,5𝑥 − 7
10) 𝑦 = 5 − 1,5𝑥
12
3) 𝑦 = −
7𝑥
12
7) 𝑦 = 9 − 4𝑥
2
4) 𝑦 = 4 + 𝑥
3
𝑥
8) 𝑦 = − 4
6
2. Укажите угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через
точку М, если:
1
1) 𝑘 = − , 𝑀(−1; −2) 2) 𝑘 = −√100, 𝑀(−4; 1)
1
3) 𝑘 = , 𝑀(−2; 0)
9
2
2
4) 𝑘 = 4, 𝑀(−1; 4)
5) 𝑘 = , 𝑀(7; −1)
6) 𝑘 = 2, 𝑀(1; −1)
8) 𝑘 = −2, 𝑀(3; 0)
9) 𝑘 = √121, 𝑀(2; 6)
3
2
7) 𝑘 = , 𝑀(3; 6)
3
10) 𝑘 = −1, 𝑀(0; 3)
4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если:
1) 𝐴(1; −2), 𝐵(−3; 2)
2) 𝐴(−1; −2), 𝐵(2; 3)
3) 𝐴(1; 1), 𝐵(4; 4)
4) 𝐴(−6; 3), 𝐵(−1; −1)
5) 𝐴(2; 5), 𝐵(3; 0)
6) 𝐴(−1; 2), 𝐵(3; −3)
7) 𝐴(0; −1), 𝐵(1; 0)
8) 𝐴(0; −1), 𝐵(3; 2)
9) 𝐴(−4; −5), 𝐵(2; 1)
10) 𝐴(2; 3), 𝐵(−3; 2)
5. Составьте уравнение прямой проходящей через точку Р и параллельной
данной прямой, если:
𝑥
1) 𝑃(−1; − 1), 𝑦 = 5 − 𝑥
2) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = − 1
3)
4) 𝑃(−5; 3), 𝑦 = 4𝑥 − 7
5) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = √𝜋 + 0,1𝑥
6) 𝑃(4; 1), 𝑦 = 5 − 𝑥
7) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = √5 − 0,7𝑥
8) 𝑃(−5; −1), 𝑦 = −𝑥 + 5
9) 𝑃(−5; 2), 𝑦 = 6 −
𝑥
3
4
10) 𝑃(2; −3), 𝑦 = −𝑥 + 5
6. Составьте уравнение прямой:
1) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку
пересечения прямых у=2х и у=х+3
2) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 30о
3) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку
пересечения прямых у=5 – х и у=х – 3
4)
5) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку
пересечения прямых у=2х - 3 и х=9
6) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 120о
7) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку
пересечения прямых у=1 – 2х и у=2х – 3
8) Проходящей через точку А(3; 1) и пересекающей ось Ох под углом 60о
9) Параллельной прямой 4(х+2у) – 8=5х – 2 и проходит через точку
пересечения прямых у=4х и у=х – 3
10) Пересекающей ось Ох под углом 30о и проходящей через точку
пересечения прямых х+3у= - 7 и 2х +15у= - 11
7.
1) Под каким углом пересекает ось Ох прямая, проходящая через точки
М( - 1; 2) и N( - 4; - 1)?
2) Найдите угловой коэффициент прямой у=kx+5, если она пересекается с
прямой у= -0,5х – 1 в точке с абсциссой, равной 0,8.
3)
4)
5) Под каким углом пересекает ось Ох прямая, проходящая через точки
М(1; 2) и N(5; - 2)?
6) Найдите угловой коэффициент прямой у=kx - 1, если она пересекается с
прямой у=8х+2 в точке с абсциссой, равной - 0,2.
7)
8)
9)
10)
8. Найдите корни линейных функций:
1) 𝑦 = 𝑥 + 5
2) 𝑦 = 3 −
𝑥
2
2
3) 𝑦 = (𝑥 − 1) + 1
3
4) 𝑦 = 0,01𝑥 + 1
5) 𝑦 = 1 − 𝑥
6) 𝑦 = 6(𝑥 − 1) + 2
7) 𝑦 = 0,5𝑥 + 4,5
9) 𝑦 = 3𝑥 + 4
10) 𝑦 = −3(2 − 𝑥) + 1
8) 𝑦 = 15 − 3𝑥
9. Решите уравнение:
1) 2𝑥 + 3 = 5𝑥 − 1
2) 1 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1
𝑥+1
5) 𝑥 + 1=0
6)
9) −2(1 − 𝑥 − 3(𝑥 + 2)) = 𝑥
10)
2
𝑥−1
3)
3𝑥+5
=
𝑥−3
=
2𝑥−1
2𝑥+1
7)
=2
2−𝑥
𝑥+2
4)
8)
1
4
10. Решите неравенство:
1) 2𝑥 + 7 > 0
2) 7𝑥 + 3 ≥ 𝑥 − 2 3)
5) 2 + 5𝑥 ≤ 5
6) −3(2 − 𝑥) ≥ 𝑥
9) −3 + 2𝑥 < 0
10)
1
𝑥+5
7)
3
2−𝑥
≤0
2
3𝑥+1
4)
1
3−2𝑥
<0
8) 3𝑥 − 1 < 0
≥0
>0
Дополнительные задания
1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке:
1) у=2х+1 на [ - 1; 1]
2) у=х+0,5 на [ - 1; +∞)
3)
4)
5) у=2 - х на [0; 5]
6)
7)
8)
9) у=2 - 3х на ( - ∞; 2]
10)
2. Постройте график линейной функции:
1) 𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑥
2) 𝑦 = −𝑥 + 4,5
1
5) 𝑦 = + 1
6) 𝑦 = 𝑥 − 3
9) 𝑦 = −2𝑥 + 1
10) 𝑦 = 0,2𝑥 + 5
2
2
3) 𝑦 = 𝑥 + 1,5
4) 𝑦 = −3𝑥 + 4
7) 𝑦 = −𝑥 − 3,5
8) 𝑦 = −𝑥 + 3
3. Принадлежит ли графику функции точка:
1) 𝑦 = 1,2𝑥 − 7 𝐴(110; 113) 2) 𝑦 = −0,5𝑥 𝐴(0; −1)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Каково взаимное расположение графиков функций?
1) 𝑦 = 7𝑥 − 4 и 𝑦 = 7𝑥 + 8
2) 𝑦 = 3𝑥 − 5 и 𝑦 = −6𝑥 + 1
3) 𝑦 = −20𝑥 + 13 и 𝑦 = −8 − 20𝑥
4) 𝑦 = 10𝑥 + 8 и 𝑦 = −10𝑥 + 6
5) 𝑦 = 12𝑥 и 𝑦 = −8𝑥
6) 𝑦 = −1,5𝑥 + 6 и 𝑦 = 0,5𝑥 + 10
7) 𝑦 = −4𝑥 и 𝑦 = −4𝑥 − 5
8) 𝑦 = 0,5𝑥 − 4 и 𝑦 = 0,5𝑥 + 8
9) 𝑦 = 7𝑥 и 𝑦 = 7𝑥 − 3
10) 𝑦 = 3𝑥 + 1 и 𝑦 = −4𝑥 + 1
5. Найдите точки пересечения графиков функций:
1) 𝑦 = 10𝑥 − 8 и 𝑦 = −3𝑥 + 5
2) 𝑦 = 37𝑥 − 8 и 𝑦 = 25𝑥 + 4
3) 𝑦 = 14 − 2,5𝑥 и 𝑦 = 1,5𝑥 − 18
4) 𝑦 = 14𝑥 и 𝑦 = 𝑥 + 26
5) 𝑦 = 20𝑥 − 70 и 𝑦 = 70𝑥 + 30
6) 𝑦 = −5𝑥 + 16 и 𝑦 = −6
7) 𝑦 = −6𝑥 + 9 и 𝑦 = 2𝑥 − 7
8) 𝑦 = −0,5𝑥 + 2 и 𝑦 = 2,5𝑥 − 10
9) 𝑦 = 𝑥 и 𝑦 = −3𝑥 − 3,6
10) 𝑦 = 0,2𝑥 − 9 и 𝑦 = 0,2𝑥 + 1