Оценка за работу - LMS - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет информатики, математики и компьютерных наук
Кафедра информационных систем и технологий
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
На тему: «Исследование уравнения диффузии со случайной зависимостью
коэффициента диффузии от времени»
Студент группы № 11БИ-2
Шуварин Иван Владимирович
Оценка за работу:
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., профессор
Логвинова Кира Владимировна
Нижний Новгород, 2015
Содержание
Введение……………………………………………………………………………3
Глава 1. Получение уравнения диффузии с зависимостью коэффициента
диффузии от времени .............................................................................................. 5
1.1. Дифференциальное уравнение диффузии………………………………...5
1.2. Нахождение решения уравнения диффузии в общем случае ................... 6
1.3. Телеграфный процесс………………………………………………………9
1.4. Вывод уравнения для ρ(x, t) ……………………………………………...11
Глава 2. Нахождение решения полученного уравнения ……………………..13
2.1. Решение уравнения………………………………………………………..13
2.2. Рассмотрение некоторых предельных случаев……..…………………...24
2.3. Аномальная диффузия…………………………………………………… 26
Заключение………………………………………………………………………..30
Список использованной литературы……………………………………………31
Приложение .……………………………………………………………………...33
2
Введение
Диффузия – один из важнейших физических процессов, с которым человек
сталкивался постоянно еще в глубокой древности. Но аналитическое изучение
диффузии было невозможно без появления молекулярной теории строения
вещества, и когда подобная теория увидела свет, процесс диффузии стал активно
описываться и с аналитической точки зрения. Первым пронаблюдал и описал
процесс диффузии Роберт Броун в 1827 году [17].
Современные представления и знания о диффузии в упорядоченных средах
окончательно сформировались уже в 60-е годы 20 века [8]. Однако в последнее
время значительно вырос интерес к исследованию неупорядоченных структур,
таких как гетероструктурные среды со случайным или периодическим
расположением различных фаз, аморфные или композитные материалы,
легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные
грунты и так далее. Этот процесс непосредственно связан с развитием
высокоточных областей производства, в которых применяются подобные
материалы.
Различные процессы, происходящие в средах с неупорядоченными
структурами, также получили новый толчок к развитию. Одним из таких
процессов и является диффузия. Уравнение для описания процесса диффузии
было получено уже в середине 19 века Адольфом Фиком [15]. За прошедшее
время процесс исследования уравнения диффузии получил серьезное развитие,
были рассмотрены многие его частные виды, однако решения уравнения
диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени не
было получено. Это решение может использоваться в совершенно различных
областях, от промышленных предприятий до сельского хозяйства. Так,
например, с его помощью может быть установлено количество времени, которое
потребуется для проникновения на определенную глубину в почве частицам
вредных химических веществ, которые могут быть выброшены в окружающую
среду при аварии на каком-либо химическом предприятии.
3
Целью данной дипломной работы является получение и анализ решения
частого случая уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии
случайным образом зависит от времени.
Для достижения поставленной цели необходимо решить несколько задач:
1. Получить уравнение диффузии со случайной зависимостью
коэффициента диффузии от времени из общего уравнения диффузии
путем различных преобразований и применения к нему ряда
определенных условий, характерных для процессов в
неупорядоченных структурах.
2. Найти решение полученного уравнения с помощью комбинации
нескольких методов.
3. Проанализировать полученное решение, рассмотреть различные
предельные случаи, построить графики.
4
Глава 1. Вывод уравнения диффузии с зависимостью коэффициента
диффузии от времени
Уравнение
дифференциального
диффузии
уравнения
представляет
в
частных
собой
частный
производных.
Оно
вид
бывает
стационарным и нестационарным. Классическое уравнение диффузии было
выведено в 1855 году Адольфом Фиком и получило имя второго закона Фика.
Первый закон Фика для одномерного случая имеет вид:
𝑗 = −𝐷𝑔𝑟𝑎𝑑𝐶 = −𝐷
𝜕𝐶
𝜕𝑥
В этом уравнении величина 𝑗 – плотность диффузионного потока. В
частном случае одномерной диффузии величина 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐶 представляет собой
повышение концентрации в направлении оси Х. Величина D в уравнении
называется коэффициентом диффузии и имеет размерность площадь/время.
Первый закон Фика редко применяется на практике для исследования
процессов диффузии, лишь для расчетов оценочного характера, так как редко
удается во время опыта измерять поток и градиент концентрации одновременно.
Поэтому практически всегда применяется второй закон Фика или, как еще его
называют, дифференциальное уравнение диффузии, вывод которого вытекает из
первого закона Фика, сочетаемого с законом сохранения энергии.
1.1 Дифференциальное уравнение диффузии
Это уравнение получается на основе представления о случайных
блужданиях атомов в кристаллической решетке или частиц в смесях зернистых
материалов или при рассмотрении вероятности нахождения частицы в том или
ином объеме при ее статистическом перемещении. В данной работе будет
рассмотрен
одномерный
случай
нестационарного
уравнения,
которое
классифицируется как уравнение параболического типа и имеющего такой вид
𝜕𝜌0 𝜕
𝜕𝜌0
−
[𝐷(𝑥, 𝑡)
]
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(1)
5
Здесь 𝜌0 (𝑥, 𝑡) – это концентрация диффундирующего вещества или
плотность распределения вероятности по координате в момент времени 𝑡, то есть
плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный
момент времени в точке с координатой 𝑥 = 0, через время 𝑡 окажется в точке с
координатой 𝑥.
1.2. Нахождение решения уравнения диффузии в общем случае
В дальнейшем будем считать, что коэффициент диффузии 𝐷(𝑥, 𝑡) зависит только
от времени, то есть положим 𝐷(𝑥, 𝑡) = 𝐷(𝑡).
В этом случае уравнение (1) принимает вид
𝜕𝜌0
𝜕 2 𝜌0
− 𝐷(𝑡)
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 2
(2)
Для решения этого уравнения необходимо задать начальные и граничные
условия.
𝜌 (𝑡 = 0, 𝑥) = 𝜑(𝑥) − начальное условие
,
{ 0
𝜌0 (𝑡, ±∞) = 0
− граничные условия
где 𝜑(𝑥) - произвольная функция, имеющая смысл начальной плотности
распределения вероятности по координате 𝑥.
Введем новую переменную
𝜏
𝜏 = ∫ 𝐷(𝑡 ′ ) 𝑑𝑡′
0
и продифференцируем последнее выражение по времени
𝑑𝜏
= 𝐷(𝑡)
𝑑𝑡
(3)
По правилу дифференцирования сложной функции (цепное правило) из
уравнения (2) получаем:
6
𝜕𝜌0 𝑑𝜏
𝜕 2 𝜌0
∙ − 𝐷(𝑡) ∙
=0
𝜕𝜏 𝑑𝑡
𝜕𝑥 2
Здесь 𝜌0 = 𝜌0 (𝜏, 𝑥). Используя (3), получим
𝜕𝜌0
𝜕 2 𝜌0
𝐷(𝑡) − 𝐷(𝑡)
=0
𝜕𝜏
𝜕𝑥 2
𝜕𝜌0 𝜕 2 𝜌0
𝐷(𝑡) (
−
)=0
𝜕𝜏
𝜕𝑥 2
𝜕𝜌0 𝜕 2 𝜌0
−
=0
𝜕𝜏
𝜕𝑥 2
Полученное уравнение имеет те же начальные граничные условия, что и
(4)
уравнение (2), то есть
{𝜌0 (𝑡 = 0, 𝑥) = 𝜑(𝑥);
𝜌0 (𝑡, ±∞) = 0.
(5)
Найдем решение уравнения (5) с начальным условием (6). Предположим, что
для функции 𝜌0 (𝑥, 𝜏 ) и функции 𝜑(𝑥) существует интеграл Фурье, то есть для
функции 𝜑(𝑥) справедлива формула:
𝜑̂(𝜔) =
1
√2𝜋
+∞
∫ 𝜑(𝑥)𝑒 −𝑖𝑥𝜔 𝑑𝑥
−∞
Обозначим:
𝑅[𝜌0 ] = 𝑈(𝜆, 𝜏)
𝑅[𝜑] = Φ(𝜆),
Где 𝑅[… ] – оператор преобразования Фурье. Применим преобразование Фурье
к левой и правой части уравнения (4) и начальному условию (5)
𝜕𝜌0
𝜕 2 𝜌0
𝑅[
] = 𝑅[ 2] ;
{
𝜕𝜏
𝜕𝑥
𝑅[𝜌0 (𝜏 = 0, 𝑥)] = 𝑅[𝜑(𝑥)].
7
В результате получим уравнение с разделяющимися переменными
относительно 𝑈(𝜆, 𝜏)
𝜕𝑈(𝜆, 𝜏)
= −𝜆2 𝑈(𝜆, 𝜏)
𝜕𝜏
решение которого имеет вид
(6)
2𝜏
𝑈(𝜆, 𝜏) = 𝐶𝑒 −𝜆
Для нахождения произвольной постоянной 𝐶 воспользуемся начальным
условием при 𝜏 = 0
𝑈(0, 𝜆) = 𝐶 ∙ 1 = Φ(𝜆)
2𝜏
𝑈(𝜆, 𝜏) = Φ(𝜆)𝑒 −𝜆
2
Обозначим G(𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜏 , G(𝜆) = 𝑅[𝑔(𝑥, 𝜏)]. Тогда
𝑈(𝜆, 𝑡) = Φ(𝜆) ∙ 𝐺(𝜆) = 𝑅[𝜑(𝑥)] ∙ 𝑅[𝑔(𝑥, 𝜏)] = 𝑅(𝜑 ∙ 𝑔)
𝜌0 (𝜏, 𝑥) = 𝑅−1 [𝑈] = 𝑅−1 ∙ 𝑅[𝜑 ∙ 𝑔] = (𝜑 ∙ 𝑔),
где 𝑅−1 [… ] - обратное преобразование Фурье.
Найдем функцию g(𝜏,x):
𝑔=𝑅
где 𝑡 =
1
4𝛼 2
−1
[𝑒
−𝜆2 𝑡
] = √2𝛼 ∙ 𝑅
−1
[
1
√2𝛼
∙
−𝜆2
− 2
𝑒 4𝛼 ],
.
По таблице преобразований функции находим:
𝑔(𝜏, 𝑥) = √2𝛼 ∙ 𝑒 −𝛼
2 𝜆2
(7)
Возвращаясь в уравнении (7) к переменной 𝑡 получим:
𝑔=
√2
2√ 𝑡
∙
−𝜆2
−
𝑒 4𝑡
Запишем свертку функций 𝜑 и g
8
𝜌0 (𝜏, 𝑥) =
1
2√𝜋𝜏
+∞
′)
∫ 𝜑(𝑥 ∙
(𝑥−𝑥 ′ )2
−
𝑒 4𝜏 𝑑𝑥′
(8)
−∞
Таким образом, мы получили точное решение уравнения (4) для произвольного
𝐷(𝑡) [13].
1.3. Телеграфный процесс
Рассмотрим теперь ситуацию, когда 𝐷(𝑡) – случайная функция времени. А
именно будем считать, что 𝐷(𝑡) – телеграфный случайный процесс, то есть
𝐷(𝑡) = 𝐷0 + 𝑎 ∙ (−1)𝑛(0,𝑡) ,
(9)
где 𝑛(0, 𝑡) – число перемен знака в интервале (0, 𝑡); 𝑎 - константа не
зависящая от времени, 𝐷0 − постоянная составляющая коэффициента диффузии.
Поскольку коэффициент диффузии должен быть неотрицательным, будем
считать, что |𝑎| ≤ 𝐷0 . Ведем также обозначение 𝜀(𝑡) = (−1)𝑛(0,𝑡) .
На рисунке 1 представлен график зависимости величины 𝜀(𝑡) от времени
𝜀(𝑡)
1
𝑡
0
-1
Рис. 1. График зависимости 𝜀 от t.
Число перемен знака в интервале (t1 , t 2 ) для телеграфного процесса имеет
распределение Пуассона
9
−μ(t1 −t2 )
𝑃(𝑛(t1 , t 2 )) = e
−μ(t1 − t 2 )𝑛(t1,t2 )
∙
𝑛(t1 , t 2 )
Здесь 𝑃(𝑛(t1 , t 2 )) есть вероятность того, что число перемен знака на интервале
(t1 , t 2 ) равна 𝑛(t1 , t 2 ) и 𝑡1 < 𝑡2 .
Найдем среднее число перемен знака в интервале (𝑡1 , 𝑡2 ):
∞
⟨𝑛(𝑡1 , 𝑡2 )⟩ =
∑
𝑛(𝑡1 , 𝑡2 )𝑃(𝑛(𝑡1 , 𝑡2 )) = 𝜇(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑛(𝑡1 ,𝑡2 )=0
Величина 𝜇 в последнем выражении имеет смысл среднего числа перемен знака
в единицу времени.
Для дальнейших вычислений нам потребуется среднее значение величины 𝜀(𝑡).
∞
⟨𝜀(𝑡)⟩ = (−1)𝑛(0,𝑡) =
∑ (−1)𝑛(0,𝑡) ∙ 𝑃(𝑛(0, 𝑡)) =
𝑛(0,𝑡)=0
∞
=𝑒
−𝜇𝑡
(−1)𝑛(0,𝑡) ∙ (𝜇 ∙ 𝑡)𝑛(0,𝑡)
= 𝑒 −𝜇𝑡
∑
𝑛(0, 𝑡)!
𝑛(0,𝑡)=0
∞
(−𝜇 ∙ 𝑡)𝑛(0,𝑡)
=
∑
𝑛(0, 𝑡)!
𝑛(0,𝑡)=0
= 𝑒 −𝜇𝑡 ∙ 𝑒 −𝜇𝑡 = 𝑒 −2𝜇𝑡
Вычислим корреляционную функцию:
⟨𝜀(𝑡1 ) ∙ 𝜀(𝑡2 )⟩ = ⟨(−1)𝑛(0,𝑡1)+𝑛(0,𝑡2) ⟩
(10)
считая, что 𝑡1 < 𝑡2 .
Заметим, что 𝑛(0, 𝑡2 ) = 𝑛(0, 𝑡1 ) + 𝑛(𝑡2 , 𝑡1 )
⟨(−1)𝑛(0,𝑡1)+𝑛(0,𝑡1)+𝑛(𝑡2,𝑡1) ⟩ = ⟨(−1)2𝑛(0,𝑡1)+𝑛(𝑡2,𝑡1) ⟩ =
∞
∞
= ∑ 𝑃( 𝑛(0, 𝑡1 ) ∙ ∑ (−1)𝑛(𝑡2,𝑡1) 𝑃( 𝑛(𝑡2 , 𝑡1 ) ∙
𝑛(0,𝑡2 )
𝑛(𝑡3 ,𝑡2 )
10
∞
=𝑒
−𝜇(𝑡2 −𝑡1)
(−𝜇(𝑡2 − 𝑡1 )𝑛(𝑡2,𝑡1)
∙ ∑
𝑛(𝑡2 −𝑡1 )!
𝑛(𝑡3 ,𝑡2 )
Применяем формулу по свертке ряда Маклорена и получаем:
∞
𝑒
−𝜇(𝑡2 −𝑡1)
(−𝜇(𝑡2 − 𝑡1 )𝑛(𝑡2,𝑡1)
∙ ∑
= 𝑒 −𝜇(𝑡2−𝑡1) ∙ 𝑒 −𝜇(𝑡2−𝑡1) = 𝑒 −2𝜇(𝑡2−𝑡1)
𝑛(𝑡2 −𝑡1 )!
𝑛(𝑡3 ,𝑡2 )
Из полученного выражения видно, что величина 𝜏 =
1
2𝜇
- это корреляционное
время. А это означает, что на временах |𝑡2 − 𝑡1 | корреляционная функция (10)
обращается в ноль.
1.4. Вывод уравнения для 𝝆(𝒙, 𝒕)
Подставляя в уравнение (2) выражение для коэффициента диффузии с учетом
телеграфного процесса 𝐷(𝑡) = 𝐷0 + 𝑎𝜀(𝑡), получим
𝜕𝜌0
𝜕 2 𝜌0
𝜕 2 (𝜌0 ∙ 𝜀)
− 𝐷0
−𝑎
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 2
Усредняя последнее уравнение по числу перемен знака, и используя
обозначения 𝜌 = ⟨𝜌0 ⟩, 𝑓 = ⟨𝜀 ∙ 𝜌0 ⟩, находим
𝜕𝜌
𝜕2𝜌
𝜕2𝑓
− 𝐷0 2 − 𝑎 2 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(11)
Умножим (11) на 𝜀(𝑡) и усредним по числу перемен знака
𝜕𝜌
𝜕2𝑓
𝜕2𝜌
(12)
⟨𝜀 ⟩ − 𝐷0 2 − 𝑎 2 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Кроме того, учтем, что для пуассоновского случайного процесса имеет место
соотношение [11]:
𝜕
𝜕𝐴
⟨𝜀𝐴⟩ = −2𝜇⟨𝜀𝐴⟩ + ⟨𝜀 ⟩
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(13)
11
Здесь 𝐴
𝑡
- функционал вида 𝐴 [∫0 𝜀(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ ]. В нашем случае плотность
распределения
вероятности
𝜌0
имеет
именно
такой
функционал
и,
следовательно, полагая в (13) 𝐴 = 𝜌0 получим
𝜕𝑓
𝜕𝜌0
⟩
= −2𝜇𝑓 + ⟨𝜀
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(14)
Уравнения (11), (12) и (14) образуют полную систему уравнений. Исключая из
этой системы величины 𝑓 и ⟨𝜀
𝜕𝜌0
𝜕𝑡
⟩, получим окончательное уравнение для
𝜌(𝑥, 𝑡)
𝜕2𝜌
𝜕𝜌
𝜕2𝜌
𝜕3𝜌
𝜕4𝜌
2
2
+ 2𝜇
− 2𝜇𝐷0 2 − 2𝐷0 2 + (𝐷0 − 𝑎 ) 4 = 0
𝜕𝑡 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑥
(15)
12
Глава 2. Нахождение решения полученного уравнения
2.1. Решение уравнения
Поскольку уравнение (15) линейно относительно 𝜌(𝑥, 𝑡), его можно
решить используя преобразование Фурье по координате 𝑥 и преобразование
Лапласа по времени. В результате получается линейное алгебраическое
уравнение для 𝜌(𝑘, 𝑞) (где 𝑘 – параметр преобразования Фурье, 𝑞 - параметр
преобразования Лапласа. Сделав обратное преобразование Фурье можно
получить искомое решение. Однако, обратные преобразования сделать не
удалось. Поэтому для нахождения решения воспользуемся другим подходом.
В выражении (7) для величины 𝜌0 (𝜏, 𝑥), имеющей смысл плотности
распределения вероятности по координате 𝑥, величина 𝜏 является случайной
величиной. Поэтому для нахождения средней плотности распределения
вероятности 𝜌(𝑥, 𝑡) необходимо усреднить 𝜌0 (𝜏, 𝑥) по 𝜏. Для этого нужно найти
𝜌(𝜏|𝑡) - плотность распределения по 𝜏 при фиксированном значении 𝑡. В этом
случае искомое распределение 𝜌(𝑥, 𝑡) можно представить в виде
∞
𝜌(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝜌0 (𝜏, 𝑥) ∙ 𝜌(𝜏|𝑡)𝑑𝜏,
(16)
0
Где условная плотность вероятности может быть вычислена следующим
образом
𝑡
𝜌(𝜏|𝑡) = ⟨𝛿 (𝜏 − ∫ 𝐷(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ )⟩
(17)
0
В данном случае, угловые скобки <…> означают усреднение по числу перемен
знака, а функция 𝛿(𝑢) – дельта-функция Дирака.
Запишем интегральное представление дельта-функции Дирака:
13
+∞
1
𝛿(𝑢) =
∙ ∫ 𝑒 𝑖𝛼𝑢 𝑑𝛼
2𝜋
(18)
−∞
Учитывая (18) из уравнения (17) получим:
+∞
𝑡
1
′
′
𝜌(𝜏|𝑡) = ⟨
∫ 𝑒 𝑖𝛼∙(𝜏−∫0 𝐷(𝑡 )𝑑𝑡 𝑑𝛼 ⟩
2𝜋
(19)
−∞
С учетом того, что коэффициент диффузии есть телеграфный случайный
процесс (9) получим
+∞
′
𝑡
1
𝑖𝛼𝑎 ∫0 (−1)𝑛(0,𝑡 ) 𝑑𝑡 ′
𝑖𝛼∗(𝜏−𝐷0 𝑡)
𝜌(𝜏|𝑡) =
∙ ∫ 𝑒
⟨𝑒
⟩ 𝑑𝛼
2𝜋
(20)
−∞
Обозначим:
𝑡
𝑛(0,𝑡′ ) 𝑑𝑡 ′
⟨Ф(𝑡)⟩ = ⟨𝑒 𝑖𝛼𝑎 ∫0 (−1)
⟩
Продифференцируем ⟨Ф(𝑡)⟩ по времени
𝑡
𝑑⟨Ф(𝑡)⟩
𝑛(0,𝑡′ ) 𝑑𝑡 ′
= 𝑖𝛼𝑎 ∙ ⟨(−1)𝑛(0,𝑡) 𝑒 𝑖𝛼𝑎 ∫0 (−1)
⟩
𝑑𝑡
(21)
и введем новую функцию:
𝑡
⟨Ψ(𝑡)⟩ = ⟨(−1)𝑛(0,𝑡) 𝑒 𝑖𝛼𝑎 ∫0 (−1)
𝑛(0,𝑡′ ) 𝑑𝑡 ′
⟩
Тогда уравнение (21) примет вид:
𝑑⟨Ф(𝑡)⟩
= 𝑖𝛼𝑎 ∙ ⟨Ψ(𝑡)⟩
𝑑𝑡
(22)
Кроме того, при выводе уравнения для 𝜌(𝑥, 𝑡) было использовано соотношение
(13), которое в наших обозначениях примет вид:
𝑑⟨Ψ(𝑡)⟩
𝑑Ф(𝑡)
⟩
= −2𝜇 ∙ ⟨Ψ⟩ + ⟨ε ∙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
14
Или
𝑑⟨Ψ(𝑡)⟩
(23)
= −2𝜇 ∙ ⟨Ψ⟩ + 𝑖𝛼𝑎 ∙ ⟨Ф(𝑡)⟩
𝑑𝑡
Уравнения (22) и (23) с учетом начальных условий ⟨Ф(0)⟩ = 1, ⟨Ψ(0)⟩ = 1,
образуют полную систему уравнений.
Выразим из уравнения (22) функцию Ψ(𝑡)
⟨Ψ(𝑡)⟩ =
1 𝑑⟨Ф(𝑡)⟩
∙
𝑖𝛼𝑎
𝑑𝑡
и продифференцируем ее по времени
𝑑⟨Ψ(𝑡)⟩
1 𝑑 2 ⟨Ф(𝑡)⟩
=
∙
𝑑𝑡
𝑖𝛼𝑎
𝑑𝑡 2
Подставляя полученное для
𝑑Ψ(𝑡)
𝑑𝑡
выражение в (23) получим
𝑑 2 ⟨Ф(𝑡)⟩
𝑑⟨Ф(𝑡)⟩
+
2𝜇
+ 𝛼 2 𝑎2 ⟨Ф(𝑡)⟩ = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянным коэффициентом. Запишем для него характеристическое
уравнение
𝜆2 + 2𝜇𝜆 + 𝛼 2 𝑎2 = 0
Откуда находим
𝜆1.2 = −𝜇 ± √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
Данное характеристическое уравнение имеет два различных действительных
корня 𝜆1 и 𝜆2 . Следовательно, уравнение имеет два линейно независимых
решения. Общее решение представляет собой их линейную суперпозицию
⟨Ф(𝑡)⟩ = 𝐶1 𝑒 𝜆1 + 𝐶2 𝑒 𝜆2
⟨Ф(𝑡)⟩ = 𝐶1 𝑒 (−𝜇+√𝜇
2 −𝛼 2 𝑎 2 )𝑡
+ 𝐶2 𝑒
(−𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
15
Коэффициенты
𝐶1 и 𝐶2
находим
из
условий
⟨Ф(0)⟩ = 1, ⟨Ψ(0)⟩ = 1.
Соответствующие вычисления можно посмотреть в Приложении 1, здесь
приведем только окончательный результат:
1
𝜇 − 𝑖𝑎𝛼
−𝑡(𝜇+√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )
⟨Ф(𝑡)⟩ = (1 −
+
)∙𝑒
2
√𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
+
1
𝜇 − 𝑖𝑎𝛼
−𝑡(𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )
(1 +
)∙𝑒
2
√𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
(24)
Выражение (24) можно представить в виде (см. Приложение 2)
(𝜇 − 𝑖 ∙ 𝑎 ∙ 𝛼) ∙
⟨Ф(𝑡)⟩ = 𝑒 −𝜇∙𝑡
sinh(√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ) ∙ 𝑡
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
+ cosh (√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ) ∙ 𝑡
[
(25)
]
Далее, подставляя полученное для Ф(t) выражение (25) в уравнение (20), для
условной плотности распределения по 𝜏 получим
+∞
1
𝜌(𝜏|𝑡) =
∙ ∫ 𝑒 𝑖𝛼(𝜏−𝐷0 𝑡) 𝑑𝛼 ∙ 𝑒−𝜇∙𝑡 ∙
2𝜋
−∞
∙ [(𝜇 − 𝑖𝑎𝛼) ∙
sinh 𝑡(√𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 )
√𝜇2
−
𝛼 2 𝑎2
+ cosh 𝑡 (√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 )]
Последнее выражение удобно разбить на три слагаемых
Первое слагаемое
+∞
sinh(√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑡)
𝜇
∫ (
) 𝑒 𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷0 𝑡) 𝑑𝛼
2𝜋
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
−∞
после вычисления интеграла [14] получим
16
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
𝜇
2
√
∙ 𝐼0 (𝜇 ∙ 𝑡 −
𝜃
−
)
(𝑡
)
|𝑎|
2|𝑎|
𝑎2
(26)
Здесь 𝐼0 (𝑢) – это модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Функциями
Бесселя
называются
функции,
являющиеся
каноническими
решениями дифференциального уравнения Бесселя:
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑥
+
𝑥
+ (𝑥 2 − 𝛼 2 )𝑦 = 0,
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
где
𝛼
–
произвольное
вещественное
число,
называемое
порядком.
Модифицированные функции Бесселя – это функции Бесселя от чисто мнимого
аргумента. Функции Бесселя являются одним из видов цилиндрических функций
[12].
𝜃(𝑧) = {
1, если 𝑧 > 0,
0, если 𝑧 < 0.
(27)
Второе слагаемое:
+∞
2
2
2
𝑖 ∙ 𝑎 ∙ 𝛼 𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷 𝑡) sinh(√𝜇 − 𝛼 ∙ 𝑎 ) ∙ 𝑡
0
− ∫
∙𝑒
∙
𝑑𝛼 =
2𝜋
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
−∞
+∞
sinh(√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ) ∙ 𝑡
𝑎 𝜕
=−
∫
𝑒 𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷0 𝑡) 𝑑𝛼 =
2𝜋|𝑎| 𝜕𝜏
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
−∞
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
𝑎 𝜕
2
√
=−
∙
𝜃
−
[𝐼0 (𝜇 ∙ 𝑡 −
)
(𝑡
)]
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝜏
𝑎2
(28)
Третье слагаемое:
+∞
1
∫ cosh (√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷0 𝑡) 𝑑𝛼 =
2𝜋
−∞
17
+∞
2
2
2
1
𝜕 sinh(√𝜇 − 𝛼 ∙ 𝑎 ∙ 𝑡)
=
∫ [
] ∙ 𝑒𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷0𝑡) 𝑑𝛼 =
2𝜋
𝜕𝜏
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
−∞
+∞
2
2
2
1
𝜕 sinh(√𝜇 − 𝛼 ∙ 𝑎 ∙ 𝑡) 𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷 𝑡)
0 ] 𝑑𝛼 −
=
∫
∙𝑒
[
2
2
2
2𝜋
𝜕𝑡
√𝜇 − 𝛼 ∙ 𝑎
−∞
+∞
sinh(√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑡)
1
−
∫
𝑒 𝑖𝛼∙(𝜏−𝐷0𝑡) ∙ (−𝑖 ∙ 𝛼 ∙ 𝐷0 )𝑑𝛼 =
2
2
2
2𝜋
√𝜇 − 𝛼 ∙ 𝑎
−∞
=
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
1 𝜕
2
√
∙
𝑡
−
𝜃
−
[𝐼0 (𝜇
)
(𝑡
)] +
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝑡
𝑎2
+
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
𝐷0 𝜕
𝜃
−
[𝐼0 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
)
(𝑡
)] =
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝜏
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|2
1 𝜕
𝜕
2
=
( + 𝐷0 ) [𝐼0 (𝜇√𝑡 −
) 𝜃 (𝑡 −
)]
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝑡
𝜕𝜏
𝑎2
(29)
Подставим выражения (27), (28) и (29) в (20)
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
𝜇
2
√
𝜌(𝜏|𝑡) =
∙ 𝐼0 (𝜇 ∙ 𝑡 −
𝜃
−
)
(𝑡
)−
|𝑎|
2|𝑎|
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
𝑎 𝜕
2
√
−
∙
𝜃
−
[𝐼0 (𝜇 ∙ 𝑡 −
)
(𝑡
)] −
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝜏
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|2
1 𝜕
𝜕
2
√
( + 𝐷0 ) [𝐼0 (𝜇 ∙ 𝑡 −
) 𝜃 (𝑡 −
)] =
|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝑡
𝜕𝜏
𝑎2
= 𝑒 −𝜇∙𝑡
1
1 𝜕𝐴
1
𝜕𝐴
(𝐷0 − 𝑎) ,
𝜇𝐴 + 𝑒 −𝜇∙𝑡
+ 𝑒 −𝜇∙𝑡
2|𝑎|
2|𝑎| 𝜕𝑡
2|𝑎|
𝜕𝜏
(30)
18
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
|(𝜏 − 𝐷0 𝑡)|
∙
𝜃
−
)
(𝑡
)
|𝑎|
𝑎2
где 𝐴 = 𝐼0 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
Вернемся к уравнению (16)
∞
𝜌(𝑡, 𝑥) = ∫ 𝜌0 (𝜏, 𝑥) ∙ 𝜌(𝜏|𝑡) 𝑑𝜏
0
Будем считать, что начальная плотность распределения вероятности имеет вид
𝜑(𝑥) = 𝛿(𝑥)
что соответствует точечному источнику. В этом случае выражение (14) для
𝜌0 (𝜏, 𝑥) принимает вид
1
𝜌0 (𝜏, 𝑥) =
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
∙
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
Подставляя полученные выражения в (30) находим
∞
𝜌(𝑡, 𝑥) = ∫
0
1
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
∙
∙ 𝑒 −𝜇∗𝑡 ∙
1
𝜕
𝜕
[𝜇 + + (𝐷0 − 𝑎) ] 𝐴 𝑑𝜏
2|𝑎|
𝜕𝑡
𝜕𝜏
Слагаемые в последнем выражении удобно сгруппировать следующим образом
∞
𝜌(𝑡, 𝑥) = ∫
0
∞
+∫
0
1
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
∙
1
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
∙
∙ 𝑒 −𝜇∙𝑡
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
∙ 𝑒 −𝜇∙𝑡 ∙
𝜇
𝐴𝑑𝜏 +
2|𝑎|
1 𝜕𝐴
𝜕𝐴
( + (𝐷0 − 𝑎) ) 𝑑𝜏
2|𝑎| 𝜕𝑡
𝜕𝜏
С учетом явного выражения для 𝐴 получим
∞
𝜌(𝑡, 𝑥) = ∫
0
1
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
∙
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
∙ 𝑒 −𝜇∙𝑡 ∙
𝜇
𝐼 ∙ 𝜃𝑑𝜏 +
2|𝑎| 0
19
∞
+∫
0
1
√4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜏
∙
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
𝜕𝐼0
𝜕𝐼0
(𝐷
+
−
𝑎)
(
)𝜃 +
0
1
𝜕𝑡
𝜕𝜏
−𝜇𝑡
∙𝑒
(
) 𝑑𝜏
𝜕𝜃
𝜕𝜃
2|𝑎|
+ ( + (𝐷0 − 𝑎) ) 𝐼0
𝜕𝑡
𝜕𝜏
(31)
Для нахождения частных производных от функции Бесселя воспользуемся
рекуррентным соотношением
𝑥 ∙ 𝐼𝑛 ′ = 𝑛 ∙ 𝐼𝑛 (𝑥) + 𝑥𝐼𝑛+1 (𝑥)
Так как аргумент функции Бесселя в данном случае является функцией,
воспользуемся правилом для дифференцирования сложной функции. В итоге
получаем
𝜕𝐼0 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
)
𝑎2
𝜕𝑡
𝐼1 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
=
√𝑡 2 −
𝜕𝐼0 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
)
𝑎2
𝜕𝜏
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
)
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
𝑎2
𝐼1 (𝜇 ∙ √𝑡 2 −
=
√𝑡 2 −
∙ 𝜇 ∙ (𝑡 +
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
)
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
𝑎2
𝐷0 (𝜏 − 𝐷0 𝑡)
)
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)
∙𝜇∙(
)
𝑎2
Для нахождения частных производных от функции 𝜃, необходимо рассмотреть
два случая:
1. 𝜏 > 𝐷0 𝑡 → 𝜃 (𝑡 −
С учетом того, что
𝜕
𝜕𝑢
𝜏−𝐷0 𝑡
|𝑎|
)
𝜃(𝑢) = 𝛿(𝑢) получим
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝐷0
= 𝛿 (𝑡 −
) ∙ (1 + ) ;
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝑡
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡
1
= −𝛿 (𝑡 −
;
)∙
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝜏
𝜏 − 𝐷0 𝑡
> 0.
{
|𝑎|
20
Тогда
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝑎
+ (𝐷0 − 𝑎)
= 𝛿 (𝑡 −
) (1 + )
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝑡
𝜕𝜏
2. 𝜏 < 𝐷0 𝑡 → 𝜃 (𝑡 +
𝜏−𝐷0 𝑡
|𝑎|
)
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝐷0
= 𝛿 (𝑡 +
) (1 − ) ;
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝑡
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡 1
= 𝛿 (𝑡 +
;
)
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝜏
𝜏 − 𝐷0 𝑡
< 0.
{
|𝑎|
Тогда
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝑎
+ (𝐷0 − 𝑎)
= 𝛿 (𝑡 −
) (1 − )
|𝑎|
|𝑎|
𝜕𝑡
𝜕𝜏
Подставим найденные выражения в уравнение (31):
∞
𝜌(𝑡, 𝑥) = ∫
0
∞
+∫
0
1
√4𝜋𝜏
∙
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
∙ 𝑒 −𝜇𝑡
1
√4𝜋𝜏
1
2|𝑎|
𝐼0 ∙ 𝛿 (𝑡 −
∙ 𝑒 −𝜇𝑡 ∙
𝜇
𝐼 ∙ 𝜃𝑑𝜏 +
2|𝑎| 0
𝐼1
(
− (𝐷0 − 𝑎)
∙
𝑥2
−
𝑒 4𝜏
√𝑡 2 −
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)2
𝑎2
∙ 𝜇 ∙ (𝑡 +
𝐷0 (𝜏 − 𝐷0 𝑡)
)
𝑎2
(𝜏 − 𝐷0 𝑡)
∙𝜇∙(
) ∙𝜃+
2
2
𝑎
(𝜏
−
𝐷
𝑡)
0
√𝑡 2 −
𝑎2
)
𝐼1
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝑎
𝜏 − 𝐷0 𝑡
𝑎
) (1 + ) + 𝐼0 𝛿 (𝑡 −
) (1 − ) 𝑑𝜏
|𝑎|
|𝑎|
|𝑎|
|𝑎|
(32)
21
В уравнении (32) сделаем замену переменных:
𝜏−𝐷0 𝑡
|𝑎|
= 𝑡′, 𝑑𝜏 = |𝑎|𝑑𝑡′.
Рассмотрим каждое слагаемое (32) отдельно. После замены первое слагаемое
примет вид
∞
2
𝑥
𝜇
1
−
′ 𝑎+𝐷 𝑡)
−𝜇𝑡
4(𝑡
0
𝑒
∫
∙𝑒
∙ 𝐼0 (𝜇√𝑡 2 − (𝑡 ′ )2 ) 𝜃(𝑡 − |𝑡 ′ |)𝑑𝑡 ′
2 √4𝜋(𝑡 ′ 𝑎 + 𝐷0 𝑡)
0
или с учетом определения функции 𝜃
𝑡
2
𝑥
𝜇
1
−
′ 𝑎+𝐷 𝑡)
−𝜇∙𝑡
4(𝑡
0
𝑒
∙ ∙ ∫
∙𝑒
∙ 𝐼0 (𝜇 ∙ √𝑡 2 − (𝑡 ′ )2 ) 𝑑𝑡 ′
2
√4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑡 ′ 𝑎 + 𝐷0 𝑡)
−𝑡
(33)
Аналогичным образом преобразуем и второе слагаемое, учитывая тот факт, что
𝐼0 (0) = 1 и интегральное свойство дельта - функции Дирака
+∞
∫ 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑎)
−∞
получим
𝑒
−𝜇∙𝑡
𝑡
(1 +
+𝑒
−𝜇𝑡
(𝑡 +
𝑎 ∙ 𝑡′
)
|𝑎|
𝑥2
𝐼1 (𝜇 ∙ √𝑡 2 − (𝑡 ′ )2 )
𝜇
− ′
4(𝑡
𝑎+𝐷
𝑡)
0
∫
𝑒
𝑑𝑡 ′ +
2
√4𝜋(𝑡 ′ 𝑎 + 𝐷0 𝑡)
√𝑡 2 − (𝑡 ′ )2
−𝑡
2
𝑎
)
|𝑎|
1
(
2 √4𝜋(𝑎 + 𝐷0 )𝑡
𝑥2
−
𝑒 4(𝑎+𝐷0)𝑡 ) +𝑒 −𝜇𝑡
(1 −
𝑎
)
|𝑎|
2
𝑥
1
4(|𝑎|−𝐷
0 )𝑡 )
(34)
𝑒
(
2 √4𝜋(𝐷0 − 𝑎)𝑡
Сложив выражения (33) и (34) получаем:
𝑡
2
𝑥
𝜇
1
−
′ 𝑎+𝐷 𝑡)
−𝜇𝑡
4(𝑡
0 𝐼 (𝜇√𝑡 2 − (𝑡 ′ )2 ) 𝑑𝑡 ′ +
𝜌(𝑡, 𝑥) = 𝑒
∫
𝑒
0
2 √4𝜋(𝑡 ′ 𝑎 + 𝐷0 𝑡)
−𝑡
𝑡
(𝑡 +
𝑎 ∙ 𝑡′
)
|𝑎|
𝑥2
𝐼1 (𝜇 ∙ √𝑡 2 − (𝑡 ′ )2 )
𝜇
−
′
−𝜇∙𝑡
4(𝑡
𝑎+𝐷
𝑡)
0
+𝑒
∫
𝑒
𝑑𝑡 ′
′
2
′
2
2
√4𝜋(𝑡 𝑎 + 𝐷0 𝑡)
√𝑡 − (𝑡 )
−𝑡
2
22
𝑎
(1 + )
𝑥2
1
−
|𝑎|
−𝜇𝑡
+𝑒
∙ (
∙ 𝑒 4(𝑎+𝐷0)𝑡 )
2 √4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑎 + 𝐷0 ) ∙ 𝑡
(1 −
+𝑒
−𝜇𝑡
𝑎
)
|𝑎|
2
𝑥
1
4(|𝑎|−𝐷
0 )𝑡 )
∙ (
∙𝑒
2 √4 ∙ 𝜋 ∙ (𝐷0 − 𝑎) ∙ 𝑡
(35)
В выражении (35) удобно перейти к безразмерной переменной 𝜀
𝑡 ′ = 𝜀𝑡, где (−1 ≤ 𝜀 ≤ 1)
Получим
1
2
𝑥
𝜇
1
−
−𝜇∙𝑡
4𝜋𝑡𝐷
0 (1+|𝛼|𝜀) 𝐼 (𝜇𝑡 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
𝜌(𝑡, 𝑥) = 𝑒
∙ ∙ √𝑡 ∫
𝑒
0
2
(1 + |𝛼|𝜀)
√4𝜋𝐷
0
−1
1
2
𝑥
𝜇
𝛼
1
−
−𝜇∙𝑡
(1+|𝛼|𝜀)
4𝜋𝑡𝐷
0
+𝑒
∙ ∙ √𝑡 ∫ (1 +
𝜀)
𝑒
|𝛼| √4𝜋𝐷0 (1 + |𝛼|𝜀)
2
−1
𝐼1 (𝜇𝑡√1 − 𝜀 2 )
√1 − 𝜀 2
2
𝑥
1 −𝜇∙𝑡
𝛼
1
−
4𝜋𝑡𝐷
0 (1+|𝛼|𝜀) −
𝑑𝜀 + 𝑒
𝑒
(1 + )
|𝛼|
2
√4𝜋𝑡𝐷0 (1 + |𝛼|)
2
𝑥
1 −𝜇∙𝑡
𝛼
1
−
(1−|𝛼|)
4𝜋𝑡𝐷
0
+ 𝑒
𝑒
(1 − )
|𝛼| √4𝜋𝑡𝐷0 (1 − |𝛼|)
2
Здесь 𝛼 =
𝑎
, −1 ≤ 𝛼 ≤ 1
𝐷0
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости начального
условия и условия нормировки
+∞
𝜌(𝑥, 0) = 𝛿(𝑥) и ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 1,
−∞
что косвенно подтверждает правильность полученного решения.
23
Для построения графиков и анализа полученного решения удобно перейти к
безразмерным переменным
𝐷0
𝑡0 = 𝜇𝑡 и 𝑥 = 𝑥0 √
𝜇
Следует учесть правило перехода к новым переменным:
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 ) = 𝜌(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑥
𝐷0
= 𝜌(𝑥, 𝑡)√ ,
𝑑𝑥0
𝜇
где в правой части необходимо x и t выразить через 𝑥0 и 𝑡0 .
Получим:
1
2
𝑥0
1
1
−
− 𝑡0
(1+|𝛼|𝜀)
4𝑡
0
)
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 = 𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒
𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 + |𝛼|𝜀)
−1
1
+𝑒
− 𝑡0
(1 +
𝛼
𝜀)
|𝛼|
2
𝑥0
1
𝐼1 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 )
−
(1+|𝛼|𝜀)
4𝑡
0
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒
𝑑𝜀 +
2
√1 − 𝜀 2
|𝛼|𝜀)
√4𝜋(1
+
−1
2
𝑥0
1 −𝑡
𝛼
1
−
(1+|𝛼|)
4𝑡
0
+ 𝑒 (1 + )
𝑒 0
−
|𝛼| √4𝜋𝑡0 (1 + |𝛼|)
2
2
𝑥0
1 −𝑡
𝛼
1
−
(1−|𝛼|)
4𝑡
0
0
+ 𝑒 (1 − )
𝑒
|𝛼| √4𝜋𝑡0 (1 − |𝛼|)
2
(36)
2.2. Рассмотрение некоторых предельных случаев
Рассмотрим в (36) некоторые частные случаи:
1) Если 𝛼 ≥ 0, тогда
1
2
𝑥0
1
1
−
−
𝑡
(1+𝛼𝜀)
4𝑡
0
0
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 ) = 𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒
𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 + 𝛼𝜀)
−1
24
𝑥0 2
−
𝜀)𝑒 4𝑡0(1+|𝛼|𝜀) 𝐼1 (𝑡0 √1 −
1
+𝑒
− 𝑡0
(1 +
1
∙ ∙ √𝑡0 ∫
2
√4𝜋(1 + 𝛼𝜀)
𝜀 2)
√1 − 𝜀 2
−1
𝑑𝜀 + 𝑒 −𝑡0
𝑥0 2
−
𝑒 4𝑡0(1+𝛼)
√4𝜋𝑡0 (1 + 𝛼)
2) Если 𝛼 < 0, тогда
1
2
𝑥0
1
1
−
− 𝑡0
(1−𝛼𝜀)
4𝑡
0
)
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 = 𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒
𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 − 𝛼𝜀)
−1
𝑥0 2
−
𝜀)𝑒 4𝑡0(1−𝛼𝜀) 𝐼1 (𝑡0 √1
1
+𝑒
− 𝑡0
(1 −
1
∙ ∙ √𝑡0 ∫
2
√4𝜋(1 − 𝛼𝜀)
− 𝜀 2)
√1 − 𝜀 2
−1
𝑑𝜀 + 𝑒 −𝑡0
𝑥0 2
−
𝑒 4𝑡0(1+𝛼)
√4𝜋𝑡0 (1 + 𝛼)
3) Рассмотрим предельный случай, когда 𝛼 = −1, тогда 𝑎 = −𝐷0
1
𝑥0 2
−
𝑒 4𝑡0(1+𝜀)
1
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 ) = 𝑒 − 𝑡0 ∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 + 𝜀)
−1
𝑥0 2
−
𝜀)𝑒 4𝑡0(1−𝛼𝜀) 𝐼1 (𝑡0 √1
1
+𝑒
− 𝑡0
(1 −
1
∙ ∙ √𝑡0 ∫
2
√4𝜋(1 + 𝜀)
−1
√1 −
− 𝜀 2)
𝜀2
𝑑𝜀 + 𝑒 −𝑡0 𝛿(𝑥0 ),
где 𝛿(𝑥0 ) – дельта-функция Дирака и учтено, что
2
1 −𝑥0
lim
𝑒 𝛾 = 𝛿(𝑥0 )
𝛾→0 √𝜋𝛾
Пока мы считаем, что а – произвольное фиксированное число. Обычно
полагают, что а – случайная величина с плотностью вероятности, равной
1
1
2
2
𝜌(𝑎) = 𝛿(𝑎 − 𝑎0 ) + 𝛿(𝑎 + 𝑎0 ), то есть реализуются два значения 𝑎 (𝑎0 и −
1
𝑎0 ) с вероятностями каждое.
2
Если усреднить уравнение (41) по 𝛼, то члены в (41), линейные по 𝛼, исчезают,
получаем
25
1
2
𝑥0
1
1
−
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 ) = 𝑒 − 𝑡0 ∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒 4𝑡0(1+𝛼0𝜀) 𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 + 𝛼0 𝜀)
−1
1
2
𝑥0
1
1
𝐼1 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 )
−
− 𝑡0
(1+𝛼
4𝑡
𝜀)
0
+𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒 0
𝑑𝜀 +
2
(1 + 𝛼0 𝜀)
√1 − 𝜀 2
√4𝜋
−1
𝑥0 2
−
(1+𝛼
4𝑡
0)
𝑒 0
𝑥0 2
−
(1−𝛼
4𝑡
0)
𝑒 0
|𝑎|
1
1
𝑎
+ 𝑒 −𝑡0
+ 𝑒 −𝑡0
, где 𝛼0 =
=
2
𝐷0 𝐷0
√4𝜋𝑡0 (1 + 𝛼0 ) 2
√4𝜋𝑡0 (1 − 𝛼0 )
(37)
В (37) рассмотрим предельный случай, когда 𝛼0 → 1:
1
2
𝑥0
1
1
−
−
𝑡
4𝑡
0
𝜌(𝑥0 , 𝑡0 ) = 𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒 0(1+𝜀) 𝐼0 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 ) 𝑑𝜀 +
2
√4𝜋(1 + 𝜀)
−1
1
2
𝑥0
1
1
𝐼1 (𝑡0 √1 − 𝜀 2 )
−
− 𝑡0
(1+𝜀)
4𝑡
0
+𝑒
∙ ∙ √𝑡0 ∫
𝑒
𝑑𝜀 +
2
√1 − 𝜀 2
√4𝜋(1
+
𝜀)
−1
𝑥 2
− 0
𝑒 8𝑡0
1
1
+ 𝑒 −𝑡0
+ 𝑒 −𝑡0 𝛿(𝑥0 )
2
√8𝜋𝑡0 2
2.3. Аномальная диффузия
𝜕𝜌
𝜕 2 𝜌0
Для обычного уравнения диффузии
− 𝐷0
= 0; 𝜌(𝑥, 0) = 𝛿(𝑥)
𝜕𝑡
𝜕𝑥 2
было получено решение 𝜌(𝑥, 𝑡) =
1
√4𝜋𝐷0
𝑥2
−
𝑒 4𝐷0𝑡 , которое
позволяет
вычислить среднее значение квадрата смещения примеси:
+∞
̅̅̅2 = ∫ 𝑥 2 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 2𝐷0 𝑡
𝑥
(38)
−∞
Из уравнения (38) следует, что среднее значение квадрата смещения
примеси пропорционально времени. В таком случае реализуется обычная
26
(нормальная) диффузия. В том случае, когда коэффициент диффузии – случайная
функция времени, как это предполагается в данной работе, этот закон
нарушается.
Необходимый результат можно получить, используя полученный выше
закон распределения (37). Однако в этом случае вычисления получаются
излишне сложными. Поступим иначе:
1
В переменных (𝑥, 𝜏) было получено решение 𝜌(𝑥, 𝑡) = ⟨
√4𝜋𝜏
𝑥2
−
𝑒 4𝜏 ⟩ , где
𝑡
𝜏 = ∫ 𝐷(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ и усредние проводится по реализации случайной
0
функции 𝐷(𝑡), где 𝐷(𝑡) = 𝐷0 + 𝑎(−1)𝑛(0,𝑡) = 𝐷0 + 𝑎𝜀(𝑡′).
Воспользуемся уравнением (38) и получим:
+∞
+∞
̅̅̅2 = ∫ 𝑥 2 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = ⟨ ∫ 𝑥 2
𝑥
−∞
−∞
𝑡
1
√4𝜋𝜏
𝑥2
−
𝑒 4𝜏 𝑑𝑥 ⟩
𝑡
= 2⟨𝜏⟩ = 2 ∫⟨𝐷(𝑡 ′ )⟩𝑑𝑡′ =
0
𝑡
𝑎
2 ∫ 𝐷0 + 𝑎⟨𝜀(𝑡′)⟩𝑑 𝑡 ′ = 2𝐷0 𝑡 + 2𝑎 ∫ 𝑒 −2𝜇𝑡′ 𝑑𝑡 ′ = 2𝐷0 𝑡 + (1 − 𝑒 −2𝜇𝑡 )
𝜇
0
(39)
0
Если здесь перейти к новым безразмерным переменным 𝑡0 = 𝜇𝑡 и 𝑥 = 𝑥0 √
𝐷0
𝜇
,
то получим:
𝑎
̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒 −2𝑡0 ), где 𝛼 =
𝐷0
(40)
Рассмотрим в (40) некоторые предельные случаи:
1) Если 𝛼 = 0, то есть отсутствуют флуктуации, то получаем ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 −
обычная диффузия.
27
2) Тот же результат получим и при усреднении по a, когда а принимает
значения 𝑎0 и − 𝑎0 с вероятностями
1
2
каждое. Заметим здесь, что эта
ситуация описывается уравнением (37), которое существенно отличается
от решения (38). При этом нужно иметь в виду, что моменты 4-го и других
более высоких порядков отличаются от стандартных и зависят от 𝑎0 .
3) Если 𝑡0 ≫ 1 (𝜇𝑡 ≫ 1), то ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼, (−1 ≤ 𝛼 ≤ 1)
(47)
4) Если 𝑡0 ≪ 1 (𝜇𝑡 ≪ 1), то ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 (1 + 𝛼), (−1 ≤ 𝛼 ≤ 1)
5) В частом случае, когда 𝛼 = 1, то есть 𝑎 = 𝐷0 , ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 4𝑡0 , что в два раза
больше, чем в случае нормальной диффузии.
6) Если же 𝛼 = −1, то в уравнении (40) необходимо учитывать
следующий член разложения и
2
𝑡0
̅̅̅̅̅̅
𝑥0 2 =
2
Далее построим несколько графиков для уравнения (40):
1. ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒 −2𝑡0 ), где 𝛼 = −0,9;
2. ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒 −2𝑡0 ), где 𝛼 = −0,5;
3. ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒 −2𝑡0 ), где 𝛼 = 0;
−2𝑡0 ),
2
̅̅̅̅̅
4. 𝑥
где 𝛼 = 0,5;
0 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒
5. ̅̅̅̅̅
𝑥0 2 = 2𝑡0 + 𝛼(1 − 𝑒 −2𝑡0 ), где 𝛼 = 0,9;
На Рисунке 3 продемонстрированы графики функций (1-5).
28
Рисунок 3. График зависимости среднего значения квадрата смещения частиц
примеси от времени.
29
Заключение
Основной целью данной работы было получение решения уравнения
диффузии, в котором коэффициент диффузии зависит от времени. Для
достижения этой цели был выполнен определенный ряд задач.
Во-первых, было найдено точное уравнение диффузии со случайной
зависимостью коэффициента диффузии от времени путем преобразований и
наложения ряда условий на общее уравнение диффузии. Также в рамках решения
данной
задачи
был
рассмотрен
телеграфный
процесс
и
вычислена
корреляционная функция.
Во-вторых, для полученного уравнения диффузии было найдено точное
решение в квадратурах. Для этого были применены различные методы решения
дифференциальных уравнений, рассмотрены модифицированные функции
Бесселя и их свойства, а также учтен тот факт, что коэффициент диффузии,
зависящий от времени, есть телеграфный случайный процесс.
В-третьих, в данной работе была исследована зависимость среднего
квадрата смещения частицы от времени. В результате этого исследования был
выявлен эффект аномальной диффузии. Также были построены графики,
отражающие данную зависимость.
Таким образом, можно утверждать, что все задачи, поставленные в работе,
были решены, и основная цель была достигнута.
Дальнейшее исследование и развитие в данной области может заключаться
в попытках адаптации полученного решения для нужд практического
применения в различных областях исследовательской и хозяйственной
деятельности человека.
30
Список использованной литературы
1.
Логвинова К.В. Исследование процессов диффузии в неоднородных
средах со случайно проницаемостью. 2005. – 14 с.
2.
Kozyrev O.R. Diffusion in Random Porous Media / Logvinova K.V., Kozyrev
O.R., Stepanyants Y.A., Morozov V.P. // Intern. Conference Topical Problems of
Nonlinear Physics. - 2003.
3.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 4, часть 1./ М. Наука.
1974. – 389 с.
4.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2, часть 2. / М. Наука. 1974.
– 371 с.
5.
Kozyrev O. Disordered Structures Models for Heterogeneous Media / Kozyrev
O., Logvinova K., Morozov V.// European Journal of Scientific Research, 2011. - p.
464—467
6.
Logvinova K.V. A fractional equation for anomalous diffusion in a randomly
heterogeneous porous media/ Logvinova K.V., Neel M.-Cr.// Chaos. 2004. P. 982 –
987.
7.
Kozyrev O. Small Scale Models for the Spreading of Matter in Disordered
Porous Media/ Kozyrev O., Logvinova K.V.// European Journal of Scientific
Research. 2010. - p. 64-78
8.
Д. К. Белащенко, “Механизмы диффузии в неупорядоченных системах
(компьютерное моделирование)”, УФН, 1999. - С. 361–384.
9.
Crank J. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial
differential equations of the heat-conduction type/ Crank J. Nicolson P., Hartree D.
R.// Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1996. - p. 50–67
10.
Gromov E. The Anomalous Diffusion in Stochastically Bent Thin Tubes/
Gromov E., Logvinova K., Morozov V., Tyutin V.//, EuroJournals Publishing, Inc.
2011. - p.170-176.
11.
С.М.Рытов, Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский Введение в статистическую
радиофизику. Часть 2. Случайные поля. Москва, Наука, 1978.
31
12.
Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Том 1. 1949.
13.
Араманович И.Г. Уравнения математической физики/ Араманович И.Г.,
Левин В.И.// Наука, 1969 – 162 с.
14.
Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения, ГИФМЛ, 1963.
15.
J. Philibert One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and
beyond. Diffusion Fundamentals, 2005.
16.
Evans, L.C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
1998.
17.
Броуновское движение [Электронный ресурс] // Энциклопедия физики и
техники. Режим доступа: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0380.html. –
Загл. с экрана.
32
Приложение 1
𝑑 2 Ф(𝑡)
𝑑Ф(𝑡)
+
2
∙
𝜇
+ 𝛼 2 𝑎2 Ф(𝑡) = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Получено дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным
коэффициентом. Запишем для него характеристическое уравнение
𝜆2 + 2𝜇𝜆 − 𝛼 2 𝑎2 = 0
𝜆1.2 = −𝜇 ± √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
Данное характеристическое уравнение имеет два неравных действительных
корня 𝜆1 и 𝜆2 . В этом случаем имеем два линейно независимых решения.
Общее решение будет иметь вид:
Ф(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜆1 + 𝐶2 𝑒 𝜆2
Ф(𝑡) = 𝐶1 𝑒
(−𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
+ 𝐶2 𝑒
(−𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
Подставим начальные условия:
Ф(0) = 𝐶1 + 𝐶2 = 1
Следовательно
𝐶2 = 1 − 𝐶1
Продифференцируем общее решение уравнения по t
𝑑Ф(𝑡)
(−𝜇+√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
= (−𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) 𝐶1 𝑒
+
𝑑𝑡
+ (−𝜇 − √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) 𝐶2 𝑒
Ψ(𝑡) =
Ψ(𝑡) =
(−𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
1
𝑑Ф(𝑡)
∙
𝑖∙𝛼∙𝑎
𝑑𝑡
1
(−𝜇+√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
+
(−𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) 𝐶1 𝑒
𝑖∙𝛼∙𝑎
33
+
Ψ(0) =
1
(−𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 𝑎2 )𝑡
(−𝜇 − √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) 𝐶2 𝑒
𝑖∙𝛼∙𝑎
1
(𝐶 (−𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) + 𝐶2 (−𝜇 − √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ))
𝑖∙𝛼∙𝑎 1
Так как по условию Ψ(0) = 1, получаем:
1
(𝐶1 (−𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 ) + 𝐶2 (−𝜇 − √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 )) = 1
𝑖∙𝛼∙𝑎
𝐶1 =
𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 − 𝑖 ∙ 𝛼 ∙ 𝑎
2√𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
1 𝜇 + √𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2 − 𝑖 ∙ 𝛼 ∙ 𝑎
=
=
2
√𝜇2 − 𝛼 2 𝑎2
1
𝜇−𝑖∙𝛼∙𝑎
= (1 +
)
2
√𝜇2 + 𝛼 2 𝑎2
Подставим полученное уравнение в выражение для 𝐶2
1
𝜇−𝑖∙𝛼∙𝑎
𝐶2 = 1 − 𝐶1 = (1 −
)
2
√𝜇2 + 𝛼 2 𝑎2
Таким образом, частное решение дифференциального уравнения при заданных
условиях будет иметь вид:
1
𝜇−𝑖∙𝑎∙𝛼
−𝑡(𝜇+√𝜇2 −𝛼 2 ∙𝑎2 )
⟨Ф(𝑡)⟩ = (1 −
+
)∙𝑒
2
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
+
1
𝜇−𝑖∙𝑎∙𝛼
−𝑡(𝜇−√𝜇2 −𝛼 2 ∙𝑎2 )
(1 +
)∙𝑒
2
√𝜇2 − 𝛼 2 ∙ 𝑎2
34