Урок - игра "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Урок игра «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Цели урока: повторение и систематизация знаний изученного;
продолжить формировать практические навыки;
Развитие интереса к математике через решение старинных задач; учить видеть связь между
математикой и окружающей жизнью.
Оборудование: плакат к игре «Прогрессио – движение вперед», мультимедийный проектор.
Ребята разбиты на 3 группы. За столом трое мудрецов.
Учитель.
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и моря,
Строенье звезд и вся Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
«Прогрессио - движение вперед»
Учитель. Сегодня у нас необычный урок, а соревнования. Вы разделены на 3 команды. У
нас пройдет несколько туров. Судить наши соревнования будут судья, которые сами себя
представят.
За столом сидят: Архимед, Гаусс, Магницкий.
Архимед.
Кто формулу суммы квадратов нашел?
И верной дорогой к прогрессу пришел?
Математик и физик. Я – Архимед.
О жизни моей ходит много легенд.
Гаусс. О! Я – Карл Гаусс! Нашел моментальную сумму всех натуральных чисел от 1 до 100,
будучи учеником начальной школы.
Магницкий. Имею честь, представится. Я Леонтий Филиппович Магницкий – создатель
первого учебника «Арифметика».
Учитель. Скажите, ребята, почему эти ученые вдруг собрались вместе за одним столом?
Какой вопрос математики их объединяет?
Давайте посмотрим на сценку.
Сценка:
/В классе появляется индусский царь с двумя слугами./
Царь: Я, индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен остроумием
этой игры и разнообразием в ней положений. Позовите изобретателя Сету!
Сета: (входит) Слушаю, мой повелитель!
Царь: Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты
придумал. Назови награду, которая удовлетворит тебя, и ты ее получишь.
Сета: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно
пшеничное зерно.
Царь: Простое пшеничное зерно?
Сета: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за
четвертую – 8, за пятую – 16 и так до 64-ой клетки.
Царь: (смеется) Ты удивил и рассмешил меня, Сета.
/Уходят. На обратной стороне доски запись: 1

2
 48

16

... /
64
Архимед: О, мудрецы! Стоит ли царю смеяться? И так (открывает доску). За первую
клетку царь должен отдать 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую
– 16 и так до 64-ой клетки. Что вы можете сказать об этих числах и сколько зерна должен
отдать царь?
Ребята в группах обсуждают задачу. Один из учеников записывает решение на доске:
Числа являются членами геометрической прогрессии.
b1 = 1, q = 2, S64 - ?
S 64




b1 1  q 64 1  1  2 64 1  2 64



 2 64  1
1 q
1 2
1
Учитель: А как велико это число?
Гаусс: Математика – это точная наука. Царь должен отдать
18 446 744 073 709 551 615 зерен.
18 квинтильонов
446 квадрильонов
744 триллиона
073 биллиона (миллиарда)
709 миллионов
551 тысячу
615
Архимед: Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей
поверхности Земли, считая моря и океаны, горы и пустыни, Арктику с Антарктикой, и
получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за пять он смог бы
рассчитаться.
Учитель: спасибо, наимудрейшие. Так какой вопрос математики объединяет наших
Мудрецов?
(Обращается к классу. Ребята дают ответ: «Прогрессия»)
Учитель. И так, тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Ученики класса работают в командах, а капитаны в конце урока назовут лучшего игрока команды.
Игру капитанов оценит учитель.
Учитель. И так 1 тур. Разминка.
Гаусс: А сейчас под скрип пера о лист бумаги.
Заполните сии листы!
Да помогут вам наши начинанья!Раздаются заготовки листов для проверки
знаний. Вся информация записывается по плану:
№
1
2
3
Прогрессии
Определение
Формула n первых членов
Сумма n первых членов
прогрессии
Арифметическая
an+1=an+d
an=a1+d(n-1)
Sn =
Sn =
4
Свойства
an=
Геометрическая
bn+1=bng (g≠0)
bn=b1gn-1
(𝒂𝟏 +𝒂𝒏 )𝒏
𝟐
𝒃𝟏 (𝒈𝒏 −𝟏)
Sn =
𝟐𝒂𝟏 +𝒅(𝒏−𝟏)
𝟐
𝒂𝒏+𝟏 +𝒂𝒏−𝟏
∙n
𝟐
Sn =
𝒃𝟐𝒏
𝒈−𝟏
𝒃𝒏 𝒈−𝒃𝟏
𝒈−𝟏
=𝒃𝒏−𝟏 ∙𝒃𝒏+𝟏
Ребята заполняют таблицы 3-4 минуты. Жюри проверяет.
В это время ребята отвечают устно. Сформулируйте определение арифметической
прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии? Какая
последовательность чисел называется геометрическая прогрессия? Что называют
знаменателем геометрической прогрессии?
Учитель. А теперь устно.
1. Является ли последовательность арифметической прогрессией?
(ап): 1;1;2;3;…….
(bn): 2004; 2008;2012;2016;…..
(cn): 4;9;16;25;……….
(dn): 16;13;10;7;……..
(en): 32;16;8;4;….
2. Известно, что а1=1; d=1.
Задайте эту последовательность.
3. Последовательность (ап) – арифметическая прогрессия, в которой а1=4; d=2.
Найдите 50-й член прогрессии.
Учитель. А теперь послушаем из истории пргрессий.
2 тур. Из истории прогрессий.
Арифметические прогрессии в древности.
Архимед.
В клинописных табличках вавилонян в египетских пирамидах (II в. до н.э.), встречаются
примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса
Ахмеса:
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между
1
каждым человеком и его соседом 8 меры»
Вот формула, которой пользовались египтяне:
𝑆
𝑑
a = 𝑛 - (n – 1 )∙ 2 ( s=
𝑎+𝑏
2
∙n).
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами
хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Некоторые
формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым.
Ариабхата (v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но
правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии
впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202 г. ( Леонардо Пизанский).
Слово жюри.
Учитель. Итак, мы вспомнили основные определения и формулы, а теперь посмотрим,
как вы их применяете к решению задач. Переходим к основному этапу.
3 тур. «Прогрессии в жизни и быту».
Решите задачи. Слайд.
Наши гости принесли задачи.
Магнитский. Эта задача из старинного учебника арифметики Магнитского.
Покупка лошади.
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что
считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи
только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За
первый гвоздь дай мне всего 1⁄4
копейки, за второй - 1⁄2 копейки, за третий – 1 копейку и т.д.»
Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.
На сколько покупатель проторговался?
Решение:
1
1
b1=4 , b2=2 , b3=1.
𝑏
1⁄
Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит нужно найти S24. g=𝑏2 =1⁄2 =2,
1
S=0,25(224 – 1)= 0,25(102410244 – 1)=4194303,75=42000 рублей.
4
41943,03 -156 =41787 рублей.
Вывод:
При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
Гаусс. Молодцы, ребята. Справились с задачей. А теперь решите мою.
Эта задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие:
«Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и
Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление
юношества и упражняющихся в Математике» (1795)
Вознаграждение воина.
Служившему воину, дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую – 2
копейки, за третью -4 копейки и т.д. По исчислению воин получил вознаграждение в
сумме 655 рублей 36 копеек. Спрашивается число его ран.
Решение:
b1=1, b2=2, b3=4
4
Sn=655,36. g = 2 =2, Sn = 2n – 1=65535, 2n =65536, n=16
Вывод:
При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и
остаться при этом в живых.
Архимед. И с этой задачей вы справились! А теперь решите мою.
Выгодная сделка.
Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге
счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на
мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный.
Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».
«Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по
сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен
по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2
копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим
выгодность сделки.
Решение:
Богач-миллионер заплатил незнакомцу:
S30 = 230 – 1 =10737418,23 =11 миллионов рублей.
Незнакомец заплатил богачу: 30∙100 тыс =3000 тыс. = 3000000 рублей.
Убыток 11000000 – 3000000=8000000 рублей.
Вывод:
Оказывается и не смешно. Недаром народная мудрость гласит: «Уговор дороже денег».
Учитель. Подошел к концу и этот тур. Слово жюри.
4 тур. Блиц - турнир.
Каждая команда в течение 4 минут должна ответить «кто быстрее».За каждый верный
ответ - 1 балл. В случае, если команда не знает ответа или не хочет терять времени,
команда говорит «Дальше».
Вопросы командам:
1. {а𝑛 } - арифметическая прогрессия, a1=4, d=3. Назовите a3.
2. Чему равна сумма первых трех членов арифметической прогрессии {а𝑛 } , если а1 =
7, а2 = 15 ?
3. Если в арифметической прогрессии {а𝑛 }: a1 = 2, d = 5, то чему равен двадцать
первый её член?
Итог урока:
Учитель. Математика математикой, а в жизни с растущими геометрическими
прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии
растет стадо – скоро ему не хватит пастбища. Если число распадов (в куче)
плутония – дело идет к атомному взрыву. А если доходы фирмы , не связывайтесь
с этими «благодетелями»!
Слово жюри: подсчитываются баллы каждой команды.
А теперь капитаны назовут лучшего игрока команды.
Все сегодня молодцы! Спасибо за урок.
Команде победителю присваивается звание «Знатоки прогрессий».
Домашнее задание.
ОГОУ СПО «Черноярский губернский колледж»
Открытый урок с использованием современных технологий
Учитель математики
Полякова Т.А.
2009 год