Решение планиметрических многовариантных задач (методическая разработка для подготовки

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №87» города Саратова
Решение планиметрических
многовариантных задач
(методическая разработка для подготовки
учащихся 11 классов к ЕГЭ по математике)
Дроздова Алла Владимировна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
Саратов 2013
Содержание
Введение ……………………………………………………………………… …3
Глава 1. Решение многовариантных планиметрических задач в школьном
курсе математики курсе математики……………………..…………..………..4
1.1 Треугольник ……………………………………………...…………….…....5
1.2 Трапеция…………………………………………..………………...…….. 13
Глава 2. Полезные факты о выпуклых многоугольниках…………..………...17
Заключение .……………………………………………………………………..18
Список использованной литературы………………………………………..….19
2
Введение
В
последние
годы
в
экзаменационную
работу
была
включена
планиметрическая задача С4. Задачи С4 из тренировочных, диагностических,
репетиционных и экзаменационных работ ЕГЭ 2010 – 2012 имеют характерную
особенность. В отличие от подавляющего большинства задач школьного
учебника эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая
позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить
несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Подобные задачи
называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения
задач такого типа.
В 2010 году процент приступивших к выполнению задания С4 составил
14%, а в 2011 году – 15,6%. При этом, например, в 2011 году от 1 до 3 баллов
за задачу С4 смогли получить только 4,44% участников экзамена. Большинство
выпускников испытывали
расположения
трудности
геометрических
с
фигур.
рассмотрением второго
случая
Анализ результатов
единого
государственного экзамена ( ЕГЭ ) по математике на территории Саратовской
области в 2012 году показал, что большинство экзаменующихся не смогли
продвинуться дальше исходного чертежа и записи основных формул.
Полностью решили это задание 12 человек (0,1%). Задание С4 проверяло
умение работать с геометрическими объектами на плоскости. В основном это
были задачи, требующие использовать свойства многоугольников, вписанных и
описанных окружностей. Здесь нужны были не только вспомогательные
построения, но и объяснения использованных конфигураций. Типичные
ошибки: неумение строить вписанные и описанные окружности; незнание
свойств
прямоугольных
треугольников,
незнание
теоремы
синусов;
вычислительные ошибки; неумение рационально описать ход решения задачи.
Таким образом, перед учителем встает задача: спланировать подготовку
учащихся таким образом, чтобы они получили максимальный объем
информации, закрепили навыки на достаточном количестве задач, порой не
вошедших в школьный учебник.
3
Глава 1. Решение многовариантных планиметрических задач в школьном
курсе математики
Анализ содержания задачной базы школьных учебников по геометрии
показывает, что многовариантных задач практически нет и они довольно
непривычны для школьников. Поэтому подобные задачи нужно решать, начав с
достаточно простых и постепенно увеличивая их сложность. Полезно при
решении задач задавать следующие вопросы:
«Можно ли построить другую фигуру,
неравную данной, но также
удовлетворяющую условию задачи?»
«При каких числовых значениях заданных элементов нельзя построить
описанную в условии фигуру?» и другие.
Ответы на подобные вопросы позволяют выявить различные ситуации,
возникающие при решении задачи. Проведем некоторую классификацию
типов многовариантных задач, связанных с неоднозначностью описания
взаимного расположения элементов фигуры:
 расположение точек на прямой
Неоднозначность формулировок состоит в том, что в условии не указывается
взаимное расположение точек на прямой относительно друг друга. Можно
записать различные вариантов расположения этих точек.
Иногда наличие
дополнительной информации о расположении точек на прямой (левее, правее,
деление отрезка в заданном отношении) сокращает перебор случаев.
 расположение точек вне прямой
Неоднозначность формулировок состоит в том, что в условии не указывается
взаимное расположение точек и прямой относительно друг друга. При этом
точки могут располагаться в одной или разных полуплоскостях и связанны
некоторым условием (например, принадлежат одной окружности, лежат на
одном перпендикуляре и т.д.).
 выбор обозначений вершин многоугольника
4
К задачам этого типа относят такие задачи, условие которых допускает
различные решения в зависимости от варианта буквенного обозначения вершин
многоугольника.
 выбор некоторого элемента фигуры
К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая
величина элемента фигуры, но не указано какого конкретно из имеющихся. В
случае линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника
или длина отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В
случае углового элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры.
 многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании
взаимного расположения фигур
При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для
рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. Можно
выделить, например, следующие случаи, приводящие к неоднозначной
трактовке
условия
задачи
и
касающиеся:
взаимного
расположения
прямолинейных фигур; взаимного расположения окружностей; интерпретации
аналитического способа решения задачи.
Рассмотрим некоторые свойства треугольника и трапеции, которые если и
приводятся в учебниках, то в основном только как задачи на доказательство и
покажем их применение при решении задач.
1.1 Треугольник
 Если
отрезок
треугольника,
соединяющий
вершину
треугольника
с
противоположной стороной делит её в некотором отношении, то площади
прилежащих к ним треугольников делятся в этом же отношении (отношение
площадей треугольников с равными высотами).
Пример 1. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что
BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть
площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF.
Решение.
5
∆AEF
∆ADK, следовательно
.
DH – общая высота треугольников ADK и ADB, поэтому
AP – общая высота треугольников ADВ и ABС, поэтому
, то есть
, то есть
, то есть
Получаем,
.
О т ве т :
 Если в треугольнике проведён отрезок, соединяющий какие либо 2 точки на
сторонах этого треугольника, то отношение площадей малого треугольника
к площади большего треугольника равна отношению произведения их
смежных сторон выходящих из одной вершины (отношение площадей
треугольников с равным углом).
Пример 2. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что
треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с
основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если
известно, что
и
.
Решение.
6
Введем
1
следующие
случай
(точка
обозначения:
E
лежит
AB=BE=c,
между
BC=a,
точками
1. Треугольник АВЕ ― равнобедренный, поэтому
A
BD=h.
и
С).
а значит,
.
2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,
, откуда
получаем:
.
Поскольку
,
.
3. Окончательно находим:
2 случай (точка A лежит между точками E и С).
Аналогично случаю 1 находим
.
О т ве т : 25 или 39.
 Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1 , тогда
треугольник А1В С1 подобен данному с коэффициентом подобия равным
|cos B|.
7
Пример 3. Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника
ABC, проведенных из вершин A и C соответственно. Известно, что
= k, BC
= a, AB = b. Найдите сторону АС.
Решение.
1 случай: высоты опускаются на стороны ∆АВС – остроугольный.
2 случай: высоты опускаются на продолжения сторон, т.е. угол B – тупой.
Треугольники EВD и АВС подобны по двум углам, тогда
т.е. cos B =
= k и k = |cos B|,
k.
По теореме косинусов для треугольника АВС имеем:
АС2 = АВ2 + ВС2 – 2ВС ∙ АВ ∙ cos B.
Получаем АС2 = b2+а2 +2аbk (1 случай) или АС2 = b2+а2 – 2аbk (2 случай)
АС =
или АС =
Ответ:
или
.
.
 Если r – радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, а p – его
полупериметр, то SABC = r∙p.
Пример 4 (МИОО, 2011). Расстояние между параллельными прямыми равно
12. На одной из них лежит точка С, а другой — точки А и В, причем
треугольник АBС — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдете
радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
8
Решение.
Заметим, что либо
, либо
(или
).
1 случай: АС=ВС=13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности
треугольника АBС с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в
треугольник АBС. Тогда СН — высота и медиана треугольника АBС. Из
прямоугольного
треугольника
АНС
находим,
что
.
Тогда SABC = AH∙HC = 5∙12 = 60, SABC = (AB+AC+BC)∙ r1 = 18 r1
Из равенства 18r1=60 находим, что r1=
.
2 случай: АВ=ВС=13, СН — высота треугольника ABC, r2— радиус
окружности,
вписанной
в
треугольник
Тогда
ABC.
BH=5,
AH=AB+BH=13+5=18.
Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
SABC = ∙13∙12=78, SABC = (AB+AC+BC)∙ r2 = (13+3
Из равенства (13+3
)∙ r2 = 78 получаем, что r2 =
)∙ r2.
.
Примечание.
Можно предположить, что возможен ещё и третий случай, когда ВС=АВ и эти
стороны образуют острый угол. Тогда высота СН будет лежать внутри
треугольника АВС и AC=4
. В этом случаем радиус будет равен r3 =
. Однако, можно заметить заметит, что этот случай не возможен:
расстояние между прямыми 12, длина АС должна быть не меньше
12, а
9
4
Ответ:
.
 Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
 Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих
треугольников.
Пример 5. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите
угол МВС.
Решение.
1 случай: ∆АВС – остроугольный.
2 случай: ∆АВС – тупоугольный, угол B – тупой.
Пусть MBC = . Найдем площадь треугольника АВС двумя способами.
Так как медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих
треугольника, то
С
другой стороны,
Учитывая, что AH=BM, приравняем
площади
Получаем, что
или =
=
Ответ:
Отсюда
.
.
 Если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам, то его
площадь можно вычислить по формулам:
S=
10
Пример 6. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на
стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом
P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.
Решение.
В зависимости от порядка расположения точек M и N на AD есть 2 решения:
1 случай: SMNP =
, где
. Тогда 2x2 + x
, где
. Тогда 2x2 – x –
– 10 =0, следовательно, х=2.
2 случай: SMNP =
10 =0, следовательно, х=2,5.
Ответ: 2 или 2,5.
 Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от
вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
 Пусть
окружность
касается
стороны
BC
треугольника
.
ABC
и
продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки
касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника
ABC.
Пример 7 (ЕГЭ, 2010). В треугольнике ABC AB = 12 , BC = 5, CA = 10 . Точка
11
D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9 . Окружности, вписанные
в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках
E и F . Найдите длину отрезка EF .
Решение.
Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой BC , то существует
два ее положения, при которых будет выполняться условие BD : DC = 4 : 9 .
Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.
Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Тогда для окружности вписанной в треугольник
ADC имеем DE =
ADB: DF =
, а окружности вписанной в треугольник
.
1 случай: Пусть точка D лежит на отрезке BC (рис. а). Тогда x =
Значит, EF = |DE – DF| = |
1
–
|=
,y=
.
.
случай: Пусть точка D лежит вне отрезке BC (рис. б). Тогда x = 4, у = х +
ВС = 9. Значит EF = |DE – DF| = .
2
cлучай расположения точки D правее точки С невозможен.
Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на
отрезке АD, то при вычислении длины отрезка ЕF использован знак модуля.
Ответ:
.
 Формулы для вычисления длины биссектрисы:
12
а) la=
, где la – длина биссектрисы, проведенной из вершины A;
б) la=
, где
– отрезки стороны c, на которые рассекает ее
биссектриса.
 Медианы треугольника вычисляется через длины его сторон по формуле:
=
.
 Длина стороны треугольника по известным трем медианам вычисляется по
формуле: a =
.
1.2 Трапеция
 Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от
трапеции равнобедренный треугольник.
 Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами,
лежащими на прямых, содержащих основания.

Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем
треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг другу, а
треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, то есть
имеют равные площади.

В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
середины оснований, точка пересечения диагоналей, точка пересечения
продолжений боковых сторон.

Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку
пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,
делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее
гармоническое оснований трапеции: MN =
13
 Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции, то
,
где MN=m, BC=b, AD=a.
Пример 8. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям,
разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2: 3.
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
Решение. Неизвестно как относятся площади трапеций BCFE и AEFD
как 2:3
или как 3:2. Поэтому эту задачу будем решать в общем виде. Обозначим
искомый
отрезок
ЕF
через
х.
Тогда
задача
решается
с
помощью
дополнительного построения и подобия треугольников. Если использовать
теоретический материал, то задача решается намного проще.
1 случай:
тогда
,
,
,
.
14
2 случай:
тогда
,
,
,
.
Ответ:
или
.
 В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции,
равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме
оснований трапеции.
Пример 9. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8
соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя
линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.
Решение.
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции,
равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме
оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а
полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.
1 случай:
предположим, что BC=30, AD=20. Стороны BC и AD
треугольников MBC и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с
коэффициентом
. Значит,
Заметим, что
гипотенузой
.
, поэтому треугольник прямоугольный с
.
Радиус
его
вписанной
окружности
равен:
.
15
2 случай: пусть теперь
. Аналогично предыдущему случаю
,
можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника
Треугольники
вписанной
и
подобны с коэффициентом
окружности
треугольника
равен 6.
. Значит, радиус
равен
.
Ответ: 4; 6.
 Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то
высота равна средней линии и площадь трапеции равна квадрату высоты.
 В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание
равна полусумме оснований (средней линии), а проекция боковой стороны
на большее основание равна полуразности оснований.
Пример 10. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100, AB =
CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в
точке K . Найдите длину отрезка CK .
Решение.
Опустим из вершин B и C трапеции на сторону AD перпендикуляры BE и CF
соответственно. Тогда АЕ =
= 28, AF =
= 72.
Из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников ABE и ACF находим
BE и AC :
BE =
=
= 21,
AC =
=
= 75.
Возможны два случая расположения окружности, заданной в условии.
o
1 случай: oкружность вписана в треугольник ACD. Получаем
CK =
=
= 5.
16
2 случай:
окружность является вневписанной для треугольника ACD.
Получаем AO =
= 105, тогда СО = АО – АС =105 – 75= 30.
=
Так как СК = СО, то СК = 30. Ответ: 5; 30.
Глава 2. Полезные факты о выпуклых многоугольниках
Приведем несколько полезных фактов:
 Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами
некоторого параллелограмма.
 Стороны
этого
параллелограмма
параллельны
соответствующим
диагоналям четырехугольника.
 Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон
четырехугольника в точке своего пересечения делятся пополам.
 Сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоенной сумме
квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
 Если биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке
O, то в него можно вписать окружность. Точка O будет центром этой
окружности.
 Если в многоугольник можно вписать окружность, то радиус окружности
выражается формулой: r =
, где S и p – соответственно площадь и
полупериметр многоугольника.
 Если
перпендикуляры,
восстановленные
к
серединам
всех
сторон
многоугольника, пересекаются в одной точке O , то вокруг него можно
описать окружность и ее центром будет точка O.
 Любые два правильных n-угольника подобны друг другу. В частности, если
у них стороны одинаковы, то они равны.
 Диагонали
правильного
шестиугольника
разбивают
его
на
шесть
правильных треугольников.
 Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многоугольника до
его сторон (или их продолжений) не зависит от положения точки:
h1 + h2 +……+ hn = const.
17
Заключение
В
данной
работе
были
рассмотрены
решения
многовариантных
планиметрических задач. Спектр таких задач очень разнообразен. Были
подобраны примеры на использование свойств («опорных» задач) треугольника
и трапеции. Так же необходимо рассмотреть задачи на использование свойств
параллелограмма, прямоугольника и окружности; на комбинацию различных
фигур.
18
Список использованной литературы
1
Гордин Р.К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4 / Под ред. А.Л. Семенова,
И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. – 148 с.
2
Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями/Н.Д. Золотарёва, Н.Л.
Семендяева, М.В. Федотов – Москва: Фойлис, 2010. – 296 с.
3
ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред.
А.Л.Семенова, И.В. Ященко. – Москва: Экзамен, 2010.
Интернет-источники
1
Корянова
А.Г.,
Прокофьева
А.А.
Математика
ЕГЭ
2012.
Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (типовые задания
С4), 2012. – 65 с. Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор
http://alexlarin.net/ege/2012/c42012.html
2
Корянова
А.Г.,
Прокофьева
А.А.
Математика
ЕГЭ
2011.
Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (типовые задания
С4), 2011. – 39с. Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор
http://alexlarin.net/ege/2011/C4-2011.html
3
Задачи С4.Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ
http://reshuege.ru/test?id=1588007&nt=False&pub=dz
Источники иллюстраций
1
Чертежи к задачам С4.http://reshuege.ru/test?id=2425633&nt=False&pub=dz
2
Иллюстрации автора.
19