13.Виброизоляция при случайном воздействии

13.Виброизоляция при случайном воздействии
Снова вернемся к дифференциальному уравнению:
1
у" + 2𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡)
𝑚
(13.1)
где сила 𝐹(𝑡) является случайной функцией времени, вероятностные
характеристики которой будем считать известными.
Требуется определить вероятностные характеристики перемещений у.
В качестве примера из опытных данных установлено, что математическое
ожидание функции 𝐹(𝑡) (средневероятное значение) может быть представлено
функцией:
𝐹(𝑡) = 𝐻𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡
(13.2)
а спектральная плотность дисперсии 𝑆𝐹 равна постоянной величине 𝑆0 в
диапазоне 0 < 𝜔 < 𝜔0 и равна нулю при 𝜔 > 𝜔0 .
∞
Дисперсия случайного воздействия 𝜎𝐹2 = ∫0 𝑆𝐹 (𝜔)𝑑𝜔 равна постоянной
величине 𝑆0 𝜔0 в диапазоне 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0 , Частота 𝜔0 иногда называется частотой
среза.
Переходя к центрированной случайной функции 𝐹 0 (𝑡) (функции
значения которой отсчитываются от ее математического ожидания), получаем,
что вероятностные характеристики силы 𝐹(𝑡) описываются стационарным
случайным процессом с математическим ожиданием 𝑚𝐹 = 0 и дисперсией 𝜏𝐹2 ,
равной 𝑆0 𝜔0 в диапазоне 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0 и равной нулю при 𝜔 > 𝜔0 .
Этот процесс обычно называют ограниченным белым шумом.
Математическое ожидание центрированной случайной функции у на
основании свойств стационарного процесса 𝑚𝑦 = 0, т.е. средневероятностное
обобщенной координаты у определяется решением уравнения (13.1) при 𝐹(𝑡) =
𝐻𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡, которое было найдено при рассмотрении виброизоляции при силовом
возбуждении
𝐻
𝑦 =
sin(𝜔𝑡 − 𝛿)
2
2
2
2
2
)
𝑚√(𝑘 − 𝜔
+ 4𝑏 𝜔
(13.3)
При гармонических вынужденных колебаниях амплитуды гармонической
вынуждающей силы А1 (𝑖𝜔) и обобщенной координаты А2 (𝑖𝜔) связаны
соотношением
А2 (𝑖𝜔) = 𝑊(𝑖𝜔)А1 (𝑖𝜔)
(13.4)
где 𝑊(𝑖𝜔) - частотная передаточная функция.
Действительные амплитуды вынуждающей силы А1 и обобщенной
координаты А2 связаны аналогичным соотношением
А2 = |𝑊(𝑖𝜔)|А1
(13.5)
Это соотношение сохраняется и при случайных обобщенных силах, т.е.
54
амплитуда случайных гармонических колебаний равна амплитуде случайной
вынуждающей силы, умноженной на модуль частотной передаточной функции.
Соответственно дисперсия обобщенной координаты 𝜎𝑦2 равна дисперсии
обобщенной силы 𝜎𝐹2 , умноженной на квадрат модуля частотной передаточной
функции
𝜎𝑦2 = |𝑊(𝑖𝜔)|2 𝜎𝐹2
(13.6)
По аналогичному соотношению преобразуются спектральные плотности
обобщенной координаты 𝑆𝑦 и обобщенной силы 𝑆𝐹 :
𝑆𝑦 (𝜔) = |𝑊(𝑖𝜔)|2 𝑆𝐹 (𝜔)
(13.7)
После определения спектральной плотности вероятности 𝑆𝑦 (𝜔) можно
найти корреляционную функцию
∞
𝐾𝑦 (𝜏) = ∫ 𝑆𝑦 (𝜔) cos 𝜔𝜏 𝑑𝜏
0
(13.8)
и дисперсию стационарного случайного процесса
∞
𝜎𝑦2 = ∫ 𝑆𝑦 (𝜔) cos 𝑑𝜏
0
(13.9)
С учетом изложенного выше, найдем спектральную плотность (13.7)
процесса (13.3)
𝑆𝑦 (𝜔) = |𝑊(𝑖𝜔)|2 𝑆0 при 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0
(13.10)
𝑆𝑦 (𝜔) = 0 при 𝜔 > 𝜔0
В рассматриваемом примере модуль частотной передаточной функции
для приведенной реакции виброизолятора 𝑅(𝑦, у′) = −𝑐у − 𝑟у’ может быть
определен как отношение амплитуды силы 𝑅(𝑦, у′) к амплитуде обобщенной
силы Н. Это отношение совпадает с коэффициентом передачи сил
𝑘 4 + 4𝑏 2 𝜔 2
|𝑊𝑅 (𝑖𝜔)| = √ 2
(𝑘 − 𝜔 2 )2 + 4𝑏 2 𝜔 2
Следовательно, спектральная плотность дисперсии силы 𝑅(𝑦, у′ ) в
диапазоне 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0
𝑘 4 + 4𝑏 2 𝜔2
2
𝑆𝑅 = |𝑊(𝑖𝜔)| 𝑆𝐹 = 𝑆0 2
(𝑘 − 𝜔 2 )2 + 4𝑏 2 𝜔 2
(13.12)
или
𝑆𝑅 = 𝑐 2 𝑆𝑦 + 𝑏 2 𝑆𝑣
(13.13)
где 𝑆𝑦 и 𝑆𝑣 - спектральные плотности обобщенной координаты у и ее
55
обобщенной скорости у′.
Дисперсия силы 𝑅(𝑦, у′ )при 𝜔0 → ∞
𝜔0
𝑘 4 + 4𝑏 2 𝜔2
𝜋𝑆0 𝑘 4𝑏
(𝐺𝑅2 )𝜔0→∞ = ∫ 𝑆0 2
𝑑𝜔
=
𝑘( − )
(𝑘 − 𝜔 2 )2 + 4𝑏 2 𝜔 2
4
𝑏 𝑘
0
(13.14)
возрастает
При 𝑏 → 0 и при 𝑏 → ∞ дисперсия силы 𝑅(𝑦, у’)
неограниченно.
Минимальное значение дисперсии силы 𝑅(𝑦, у’) имеет при 𝑏 = 𝑘/2, в
этом случае
(𝜎𝑅2 )𝜔0→∞ = 𝜋𝑆0 𝑘
(13.15)
Следовательно, при случайном возбуждении типа белого шума для
уменьшения дисперсии силы, передаваемой на основание, надо выполнить
соотношение 𝑏 = 𝑘/2 и уменьшить собственную частоту k (с увеличением
коэффициента демпфирования до 𝑏 = 𝑘/2).
56