Конспект1

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №5»
Конспект урока
В 9 классе
По теме:
Метод опорного элемента
Учитель : Шуба М.Ю.
Ноябрь 2009 г.
Методическое объединение учителей математики Вязниковского района
УРОК В 9 КЛАССЕ
Тема: Метод опорного элемента.
ЦЕЛИ:
- Отработка метода опорного элемента на разнообразном материале;
- Попутное повторёние учебного материала (одновременно и по
алгебре, и по геометрии) для подготовки к экзаменам;
- Развитие математического мышления (игра с математическими
объектами, связи между объектами, стремление сделать что-то по
другому);
- Развитие изобретательского мышления (на материале математики)
и развитие интереса к математике и мыслительной деятельности.
ПРОВОДИЛ УРОК:
Шуба Михаил Юрьевич, учитель математики, МОУ «Средняя
общеобразовательная школа № 5» г.Вязники, 27 ноября 2008 года.
УЧИТЕЛЬ: Давно в одной восточной стране правил грозный шах. Однажды
ему приснился сон - у него выпали все зубы. Вызвал он первого визиря и
приказал ему объяснить этот сон. Подумал визирь и сказал:
- о великий шах! Огромное горе постигло Вас: все ваши родственники
умрут раньше Вас.
Разгневался шах и приказал казнить первого визиря. Потом он вызвал
второго визиря и приказал ему объяснить сон. Подумал визирь и сказал:
- о великий шах! Огромное счастье пришло к Вам: Вы переживете всех
своих родственников!
Обрадовался шах и велел щедро наградить визиря. Оказывается одно и
тоже можно сказать по-разному. Особенно это относится к математике.
Известный французский ученый Анри Пуанкаре даже сказал, что «математика это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Перефразируя
этот афоризм, можно сказать, что математика - это искусство одно и то же
называть по-разному.
Сегодня, ребята, мы и поучимся этому великому искусству (на боковой
доске начерчен квадрат 5 х 5, разбитый на 25 квадратиков).
УЧИТЕЛЬ: Как Вы думаете, можно ли доску размером
5 x 5 заполнить доминошками размером 1 x 2 ?
(Фраза, которая появляется на доске
после обсуждения задачи);
Найдем число клеток двумя способами.
УЧИТЕЛЬ: На балу каждый кавалер танцевал с тремя дамами, а каждая
дама - с тремя кавалерами. Докажите, что число дам равно числу кавалеров.
(После обсуждения выясняется, что число всех танцев можно посчитать
двумя способами, что и дает решение).
После этого учитель стирает с боковой доски слова «число клеток»,
остается фраза «найдем ... двумя способами», которая является ключевой
для урока; к ней учитель обращается постоянно).
УЧИТЕЛЬ: Можно ли расставить числа в таблице 5 x 5 так, чтобы сумма
чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце отрицательной?
(После обсуждения выясняется, что сумму всех чисел таблицы можно
посчитать двумя способами, что и дает противоречие).
УЧИТЕЛЬ: Итак, ребята, посмотрите на боковую доску. В первой задаче
что мы нашли двумя способами? Число всех клеток. Во 2 задаче? Число всех
танцев. В третьей? Сумму всех чисел.
То есть мы все время опираемся на какую-то величину, чтобы
выразить ее двумя способами. Математики такие величины называют
опорными и тема нашего урока ...
МЕТОЛ ОПОРНОГО ЭЛЕМЕНТА (ОЭ)
Оказывается множество сложных задач можно решить, если одну и ту
же величину выразить двумя разными способами. Поэтому скажите, как вы
думаете, в чем суть этого метода?
(Ученики записывают в справочники по решению нестандартных задач
суть метода).
УЧИТЕЛЬ: у нас были до сих пор задачи, а мы искали опорный элемент
(ОЭ). Как вы думаете, а что будет наоборот?
Да! Сначала дается какой-либо опорный элемент, а только потом
появляется задача (учитель чертит).
Как вы думаете, высота ВД может
быть ОЭ? Что для этого надо сделать?
(Провести отрезки АВ И ВС и задать
длины сторон A ABC).
На доске появляется чертеж:
Итак, высоту ВД мы можем выразить двумя разными способами:
h2 = c2 - x2
h2 = а2 — (в — х)2
что из этого можно извлечь? Конечно, уравнение:
h2 = c2-x2
=> с2 — х2 = а2 — (в — х)2
h2 = а2 - (в - х)2
В этом уравнении только х неизвестно. Сможем ли мы его найти? А
какое получится уравнение: второй или первой степени?
УЧИТЕЛЬ: Как вы думаете, какую мы с Вами сейчас решили задачу?
«В треугольнике даны стороны, найти его высоту (высоты)»
УЧИТЕЛЬ: Обратите, ребята, внимание: отрезок ВД «Входит» в ∆ АВД и
∆СВД. Они оба прямоугольные и в каждом из них по теореме Пифагора
можно найти отрезок ВД.
Эту конструкцию полезно запомнить.
А теперь смотрите!
(учитель прикладывает к Л ABC два пластмассовых треугольника и
раздвигает их в разные стороны параллельно отрезку АС. Потом появляется
чертеж:
Отрезок ВД «раздвоился» и из треугольника появилась трапеция; хотя в
трапеции проведены две высоты, но только что она была одна. Значит,
появляется идея опереться на них для составления уравнения. Какую
задачу мы можем решить с помощью этой схемы?
Найти высоту трапеции, если даны её
стороны
УЧИТЕЛЬ: С помощью какого метода мы решили эту задачу? С помощью
ОЭ. Но ведь ОЭ должен быть один, а у нас - две высоты. Так как эти высоты
равны, то и для них метод надо ОЭ «срабатывает». Только этот метод надо
уточнить (развить). (В справочники ученики записывают красным цветом).
Одну и ту же величину (или равные величины) вырази двумя способами.
УЧИТЕЛЬ: Ребята! А в каком еще четырехугольнике мы опускаем две
высоты? Да, в параллелограмме!
Оказывается, и здесь метод ОЭ
«срабатывает» и с помощью его можно
вывести удивительное свойство
параллелограмма, которое связывает
стороны с диагоналями. Мы рассмотрим
это свойство на кружке, но может быть, ктото и сам его выведет? Попробуйте!
УЧИТЕЛЬ: Возвращаемся к ∆ ABC Как вы думаете он произвольный или
особенный? А как его сделать особенным? Можно потребовать, чтобы ДА = ДС
или ABC = 90°. Тогда возникает еще один ОЭ. Какой? Высота подсказывает
нам использовать площади. Что же можно выразить двумя способами?
УЧИТЕЛЬ: мы не только попутно получили полезную формулу, но и
полезный совет. Какой?
(Ученики записывают в Справочники):
Совет: если мы нашли (или выразили) какую-либо величину, то посмотри,
нельзя ли ее выразить по-другому.
УЧИТЕЛЬ: кроме этого, мы получили и очень полезные связи, которые
полезно запомнить.
Видишь высоту (перпендикуляр)
вспоминай:
1) Т.Пифагора
2) Площадь
УЧИТЕЛЬ: Ребята! До сих пор у нас ОЭ был отрезок. Как Вы думаете, а
может ли ОЭ быть отношение отрезков? Где у нас встречались отношения
отрезков?
УЧИТЕЛЬ: Помните, мы говорили, что высота h входит в прямоугольные
треугольники АВД и СВД? А здесь каждый из отрезков а! и а2 входит только в
один треугольник. Как же использовать эту идею принадлежности к двум
разным треугольникам? Конечно, добавить треугольники!
УЧИТЕЛЬ: Из этого чертежа можно получить очень много полезного и
интересного, например, свойство выпуклого четырехугольника, решение
олимпиадных задач. Желающие могут узнать про это на кружке.
УЧИТЕЛЬ: Ребята! Мы с вами решали задачи с помощью метода ОЭ.
Но ведь эти задачи кто-то составлял. А как? Да с помощью того же ОЭ.
Вот у нас были отношения отрезков. Рассмотрим по аналогии
отношения чисел:
;что делает автор задачи? Он находит объекты,
которые связаны с данным, а потом «убирает» исходный объект!
Так как дроби и
Связаны с дробью
, то они
связаны
и друг с другом. Значит, если мы знаем
одну из них, то найдет и другую.
Пусть а = 2, в = 3, тогда получаем:«известно, что
. Найдите
Эта задача имеет несколько способов решения. Попробуйте найти их дома.
Точно также было составлено уравнение
Которое было на вступительном экзамене в ННГУ (Нижегородский
госуниверситет). Мы его рассмотрим на кружке, но, может быть, кто-то его
решит и сам!
УЧИТЕЛЬ: Итак, мы рассмотрим много полезного на уроке. Что вы
можете вспомнить?
УЧИТЕЛЬ: А сейчас проверим, что вы из этого поняли и
запомнили. Сейчас каждый получит лист с задачами. Слева - текст
задачи, краткая формулировка или пустое место.
Вам предлагается вникнуть в задачу и справа записать, какой ОЭ
используется для ее решения.
Потом проверяются ОЭ и некоторые задачи предлагаются для решения на
дом обязательно, а некоторые - по желанию.
МЕТОД ОПОРНОГО ЭЛЕМЕНТА (задачи)
1. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с 4
девочками, а каждая девочка - 5 мальчиками.
Сколько в классе девочек?
2. Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани идет 7
дней, а от Астрахани до Нижнего Новгорода - 9 дней.
Во сколько раз скорость теплохода в стоячей воде
больше скорости течения реки?
3. Известно, что а + = 3. Найдите
+
4. В каждой клетке таблицы 5 x 5 записано число.
Известно, что в каждой строке произведение чисел
отрицательно. Докажите, что найдется хотя бы один
столбец, в котором произведение чисел тоже
отрицательно.
5. Известно, что
= 4. Найдите
6. Найдите сумму кубов корней квадратного
уравнения
- Зх - 5 = 0, т.е. найдите
7. Известно, что х +
Найдите
8. На доске написаны числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6. За один ход
разрешается к любым двум из них одновременно
прибавлять по единице. Можно ли за несколько ходов
все числа сделать равными?
9. Решите уравнение:
10. Сравните числа 1714 и 3111 (Российская олимпиада)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
I. Вписанный угол ABC на 50° меньше центрального
угла АОС. Найдите градусную меру дуги ABC.
2. Из вершины прямого угла с ∆ ABC на гипотенузу
опущена высота СД. Найдите ее длину двумя
способами, если катеты треугольника равны 6 и 8.
3. Длины параллельных сторон трапеции равны 4 и
25, а длины параллельных сторон - 20 и 13.
Найдите высоту трапеции (10.24)
4.Докажите,
что радиус окружности, вписанной
прямоугольный треугольник с катетами а и в
гипотенузой с вычисляется по формуле:
в
и
5.Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей
равна 15. Найдите площадь ромба (10.145).
6. Докажите, что сумма расстояний от любой точки,
взятой внутри правильного треугольника до его
сторон есть величина постоянная, т.е. не зависящая
от выбора точки.
7. Основания равнобедренной трапеции а и в , боковая
сторона - с, диагональ - d. Докажите, что d2 = ав + с2
(10.28).
8. Диагонали трапеции разбивают ее на 4 треугольника.
Докажите, что если площади двух из них, прилежащих
к основаниям, равны S1 и S2, то площадь трапеции
равна
(10.413, городская олимпиада, 9 класс)