Документ 439341

Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ, профессор
Ю.И. Тюрин
«___» ____________2009
Функциональный анализ.
Рабочая программа для специальности 061800,(080116)
«Математические методы в экономике»
Факультет – естественных наук и математики (ЕНМФ)
Обеспечивающая кафедра – Высшей математики и математической физики (ВММФ,
ЕНМФ)
Учебный план набора 2005 гг.
Курс III
Семестр VI
Курс IV
Семестр VII
Распределение учебного времени.
Лекции
32 час.
Практические занятия
34 час.
Всего аудиторных занятий
66 час.
Самостоятельная работа (внеаудиторная)
33 час.
Общая трудоемкость
99час.
Зачет в
VI семестре
Зачет в
VII семестре
Документ:308807855стр. 1
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Предисловие
1. Рабочая программа составлена на основе ГОС ВПО для специальности:
080116,(061800) "Математические методы в экономике",
РАССМОТРЕНА и ОДОБРЕНА на заседании обеспечивающей кафедры высшей математики
и математической физики 28.08.2009 протокол № 121
2. Разработчик: доцент каф. ВММФ ________________________ А.Л. Лисок
3. Зав. обеспечивающей кафедрой, профессор _______________ А.Ю. Трифонов
4. Рабочая программа СОГЛАСОВАНА с факультетом, выпускающей кафедрой специальности и СООТВЕТСТВУЕТ действующему плану.
Зав. выпускающей кафедрой, профессор ______________А.Ю. Трифонов
УДК 517
Документ:308807855стр. 2
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Аннотация
Рабочая программа, предназначенного для студентов третьего и четвертого курсов специальности «Математические методы в экономике», составлена
в соответствии с требованиями, предъявляемого к дисциплине «Функциональный анализ» образовательным стандартом Томского политехнического университета.
В программе формулируются цели дисциплины, излагается содержание
лекций, приводятся темы и структура практических занятий, указываются методы организации и формы контроля самостоятельной работы студентов, приведены примерные варианты контрольных работ, задания по входному контролю.
Разработчики программы:
Доцент. каф. ВММФ, ЕНМФ Лисок А.Л.
e-mail: [email protected]
The summary
The working program on discipline “Functional analyses” is intended for second and third year students of 080116 direction “Mathematical methods in economics”.
The program is composed in the correspondence with the impose requirements
by the standard on formation of Tomsk polytechnic university. Structure and organization of program correspondents TPU.
The program contains exposition of the purposes of discipline, content of lectures, them of practical occupations, organization methods and form of monitoring of
student independent work. In the end of the program provisional variant of tests, representation of entering monitoring are produced.
The developer - Lisok A.L., faculty ENM
Документ:308807855стр. 3
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В образовании математика – экономиста теория дифференциальные уравнения и вариационные методы составляют непременную часть базового образования. Курс «функционального анализа» служит основой для изучения дисциплин, изучающих математические
модели и методы микро- и макро- в экономики. В результате изучения курса «дифференциальные уравнения в экономике» в рамках предложенной программы студент должен:
1.
Иметь представление об экономических моделях, в которых используются методы
функционального анализа.
2.
Создание отношения к функциональному анализу как к инструменту исследования и
решения экономических задач. Эта цель достигается выработкой у студентов понимания
сущности математической модели и умения моделировать некоторые наиболее доступные
объекты, процессы и явления.
3.
Развитие у студента логического и алгоритмического мышления, математической интуиции, точности и обстоятельности аргументации, т.е. воспитания математической культуры, которая способствовала бы включению будущих специалистов в процесс активного познания, в частности, обеспечила бы им возможность самостоятельного овладения новым математическим аппаратом.
Задачи дисциплины:
Задачи преподавания курса «Функциональный анализ» можно считать достигнутыми,
если после изучения курса студент будет иметь представление

экономических проблемах, допускающие решение методами функционального анализа;

об индукции и дедукции, доказательных и правдоподобных рассуждениях, их роли в
процессе научного познания;

об условном суждении и эквивалентных ему утверждениях;

уметь грамотно применять основные понятия и методы функционального анализа,
представляя реальные границы их применимости;

уметь проверять найденные решения;

уметь самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на
опыт, приобретенный в процессе изучения курса функционального анализа.
Документ:308807855стр. 4
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
I.
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Содержание теоретической части дисциплины.
ШЕСТОЙ
С Е М Е С Т Р (лекц. - 16 час., пр. зан. - 18 час., сам. раб. 17 час.)
Модуль I (4 / 4 / 4).
Элементы теории множеств.
Множества. Операции над множествами. Функция на множестве. Бинарные отношения. Бесконечные множества. Мощность множества. Теорема Кантора—Бернштейна. Упорядоченность на множестве. Вполне упорядоченные множества. Аксиома выбора. Теорема Цермело.
Лемма Цорна.
Модуль II (8 / 10 / 8).
Линейные функциональные пространства
Метрические пространства. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические
пространства. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы в линейных
нормированных пространствах. Норма оператора. Линейное нормированное пространство
линейных ограниченных операторов. Равномерная и точечная сходимость операторов. Линейные ограниченные функционалы на линейных нормированных пространствах. Понятие
функционала, примеры функционалов. Целевые функции в экономических задачах как примеры функционалов. Теорема Хана-Банаха. Сопряженный оператор. Скалярное произведение. Линейное пространство со скалярным произведением. Гильбертово пространство. Теорема о проекции. Теорема Рисса. Ортонормированный базис в H. Ортогонализация ГрамаШмидта. Счетный базис.
Модуль III (4 / 4 / 5)
Интегральные уравнения
Основные классы интегральных уравнений. Экономические задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям. Интегральные преобразования и их свойства. Уравнения Фредгольма и
Вольтера. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Уравнения Абеля. Резольвента
уравнения Фредгольма. Интегральные уравнения с разностным ядром. Уравнения типа
свертки. Существование решения. Ряд Неймана. Решение интегральных уравнений методами операционного исчисления. Теорема Гильберта – Шмидта.
СЕДЬМОЙ
С Е М Е С Т Р (лекц. - 16 час., пр. зан. - 16 час., сам. раб. 17 час.)
Модуль IV (8 / 8 / 8).
Анализ в функциональных пространствах
Производная и интеграл абстрактной функции вещественной переменной. Дифференцирование по Фреше и Гато. Производная Фреше функционала. Уравнение Эйлера. Вариация
функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Преобразование вариации.
Функция Лагранжа с многими переменными и принцип наименьшего действия. Система
уравнений Эйлера – Лагранжа второго порядка. Функция Лагранжа с производными высших
порядков. Система уравнений Эйлера – Лагранжа порядка выше второго. Преобразования
Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Примеры построения функций Гамильтона и гамильтоновых уравнений. Свойства гамильтоновых систем. Интегралы гамильтоновых систем. Примеры применения вариационного исчисления в задачах экономики. Модель Лонга и Зиберта.
Модуль V (8 / 8 / 9).
Документ:308807855стр. 5
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Спектральная теория операторов
Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Унитарные операторы. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Проекционные операторы. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Положительные операторы. Спектр самосопряженного оператора. Точечный и непрерывный спектры. Резольвента. Собственные значения самосопряженного оператора. Неограниченные операторы. Характеристические числа и
собственные функции интегральных операторов Фредгольма. Теорема Гильберта-Шмидта и
её следствия. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля.
II.
Содержание практических занятий.
ШЕСТОЙ
С Е М Е С Т Р (пр. зан. - 18 час., сам. раб. 17 час.)
1. Множества. Операции над множествами. Функция на множестве. Бинарные отношения.
2. Бесконечные множества. Мощность множества.
3. Упорядоченность на множестве. Вполне упорядоченные множества.
4. Метрические пространства. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства.
5. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах.
6. Норма оператора. Линейное нормированное пространство линейных ограниченных операторов.
7. Равномерная и точечная сходимость операторов.
8. Линейные ограниченные функционалы на линейных нормированных пространствах.
9. Сопряженный оператор. Скалярное произведение.
СЕДЬМОЙ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
С Е М Е С Т Р (пр. зан. - 16 час., сам. раб. 17 час.)
Уравнение Эйлера. Вариация функционала.
Преобразования Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.
Линейное пространство со скалярным произведением. Гильбертово пространство.
Теорема о проекции. Теорема Рисса.
Спектр самосопряженного оператора. Точечный и непрерывный спектры. Резольвента.
Собственные значения самосопряженного оператора.
Неограниченные операторы.
Характеристические числа и собственные функции интегральных операторов Фредгольма.
Теорема Гильберта-Шмидта и её следствия.
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля.
III.
Самостоятельная (внеаудиторная) работа студентов.
(33 часа)
Самостоятельная вне аудиторная работа включает в себя подготовку к лекционным и практическим занятиям, (из расчета 1 час на лекцию и на практическое занятие), выполнение инДокумент:308807855стр. 6
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
дивидуальных заданий, (время регламентируется преподавателем в зависимости от объема и
сложности задания), изучение разделов курса, вынесенных на самостоятельную проработку.
IV.
Текущий и итоговый контроль.
Текущий контроль изучения курса функционального анализа студентами осуществляется:
А) путем периодического опроса у доски на практических занятиях;
Б) по итогам выполнения и защиты лабораторных работ;
Итоговым контролем является семестровый зачет.
Результаты текущего контроля оцениваются в баллах в соответствии с прилагаемым рейтинг
– листом.
Распределение баллов внутри каждого раздела курса производится преподавателем, ведущим
практические занятия.
Рейтинг – лист
по курсу «Функциональный анализ»
для студентов 3 курса ЕНМФ ТПУ
IX семестр.
Лекции – 36ч.
Практические занятия – 18 ч.
Самостоятельная работа – 90 ч.
Всего в семестре – 144ч.
Общий рейтинг за семестр – 1000 баллов.
Модуль
Элементы теории множеств.
Линейные функциональные пространства
Интегральные уравнения
Зачет
Анализ в функциональных пространствах
Спектральная теория операторов
Зачет
V.
Рейтинг
200
300
200
300
350
350
300
Контрольные вопросы
Множества. Операции над множествами. Функция на множестве. Бинарные отношения.
Бесконечные множества. Мощность множества. Теорема Кантора—Бернштейна.
Упорядоченность на множестве. Вполне упорядоченные множества.
Аксиома выбора. Теорема Цермело. Лемма Цорна.
Метрические пространства. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства.
6. Линейные нормированные пространства.
7. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах.
8. Норма оператора. Линейное нормированное пространство линейных ограниченных операторов.
9. Равномерная и точечная сходимость операторов.
10. Линейные ограниченные функционалы на линейных нормированных пространствах. Теорема Хана-Банаха.
11. Сопряженный оператор. Скалярное произведение.
12. Линейное пространство со скалярным произведением. Гильбертово пространство.
1.
2.
3.
4.
5.
Документ:308807855стр. 7
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Теорема о проекции. Теорема Рисса.
Ортонормированный базис в H. Ортогонализация Грама-Шмидта. Счетный базис.
Производная и интеграл абстрактной функции вещественной переменной.
Дифференцирование по Фреше и Гато.
Производная Фреше функционала. Уравнение Эйлера.
Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Унитарные операторы.
Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Проекционные операторы.
Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Положительные операторы.
Спектр самосопряженного оператора. Точечный и непрерывный спектры. Резольвента. Собственные значения самосопряженного оператора.
22. Неограниченные операторы.
23. Характеристические числа и собственные функции интегральных операторов Фредгольма.
24. Теорема Гильберта-Шмидта и её следствия.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Дополнительные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Множества. Операции над множествами.
Функция на множестве. Бинарные отношения.
Мощность множества.
Упорядоченность на множестве.
Теорема Цермело.
Лемма Цорна.
Метрические пространства.
Сходимость в метрическом пространстве.
Открытые и замкнутые множества.
Линейное пространство.
Линейные функционалы и их типы.
Теорема Хана-Банаха.
Нормированные пространства.
Норма оператора
Сопряженный оператор. Скалярное произведение.
Линейное пространство со скалярным произведением. Гильбертово пространство.
Ортонормированный базис в H.
Дифференцирование по Фреше и Гато.
Уравнение Эйлера.
Унитарные операторы.
Проекционные операторы.
Положительные операторы.
Спектр самосопряженного оператора. Точечный и непрерывный спектры.
Неограниченные операторы.
Характеристические числа и собственные функции интегральных операторов Фредгольма.
Теорема Гильберта-Шмидта. Теорема Стеклова.
Билет № 1
1. Норма оператора. Линейное нормированное пространство линейных ограниченных
операторов.
2. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Унитарные операторы.
3.1. Является ли линейным пространством множество всех действительных чисел, в котором сумма любых двух элементов a и b определена как a+b, а произведение любого
элемента a на любое число  -- как a.
3.2. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального
отражения относительно плоскости x-z=0.
Документ:308807855стр. 8
Дата создания 13.02.08 г. 12:18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1- 21/01
Учебная и справочная литература.
1. Глазман И.М., Любеч Ю.И. Конечномерный линейный анализ. – М.: Наука, 1969.
2. Ильин А.М., Абуева В.А., Алесенко Л.П. Элементы функционального анализа. –
Свердловск: Изд-во УПИ, 1989. – 45 с.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. – 496 с.
5. Малыхин В.В. Финансовая математика., М., ЮНИТИ, 2000, 245 с.
6. Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Ч. I. Мартингальный
подход. – Минск БГУ 2003 – 458 с.; Ч. II. Определение рыночной стоимости ценных
бумаг. – Минск БГУ 2003. – 318 с.
7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977.
8. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: Изд-во МГУ, 1986. – 368 с.
9. Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг, Т. Изд-во ТГПУ, 2000, 178 с.
10. Финансовая математика. Учебное пособие. Под.ред. Половникова В.А., Пилипенко
А.Ч. М. ВЗФЭИ, 2004 – 358 с.
11. O’Hara M. Market Microstructure Theory. Blackwell Publisher Inc., 2000. 290 p.
12. Merton R.C. Continuous Time Finance. Blackwell, 1998. 732 pp.
13. Nison S. Japanese Candlestick Charting Techniques. New York Institute of Finance, 1991.
315 pp.
14. Roll R. The Behavior of Interest Rates. New York; Basic Books, Ink. – 1970.
15. Wilmott P., Dewynke J., Howison S. Option Pricing. Oxford Financial Press, 1998. 457 p.
Документ:308807855стр. 9
Дата создания 13.02.08 г. 12:18