ПРОГРАММА

ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ
по специальности
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ
1 Уравнения математической физики
1.1 Уравнения гиперболического типа
Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
Однородное волновое уравнение в характеристических координатах.
Метод нахождения решения задачи Коши для однородного волнового
уравнения.
Общее уравнение колебания струны.
Метод разделения переменных (метод Фурье) решения уравнений с частными
производными.
Задача Штурма-Лиувилля на примере краевой задачи о свободных колебаниях
струны, закрепленной на концах.
Краевая задача для телеграфного уравнения.
Задача Гурса для линейного гиперболического уравнения с двумя
независимыми переменными.
1.2 Уравнения параболического типа
Уравнение распространения тепла в неоднородном изотропном твердом теле.
Задача о распространении тепла в неограниченном стержне.
Метод нахождения интеграла Эйлера-Пуассона.
Существование, единственность и устойчивость решения задачи о
распространении тепла в неограниченном стержне.
1.3 Уравнения эллиптического типа
Уравнение Лапласа в декартовых и сферических координатах.
Уравнение Пуассона.
Первая граничная задача (задача Дирихле).
Вторая граничная задача (задача Неймана).
Смешанная граничная задача.
Теорема единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Теорема устойчивости решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Теорема существования и единственности решения задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в круге единичного радиуса.
Ньютоновский потенциал.
Показать, что ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона.
Потенциалы простого и двойного слоя и их свойства.
Поверхности Ляпунова.
1.4 Уравнения смешанного типа
Теорема Коши-Ковалевской.
Задачу Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
Теорема существования решения задачи Трикоми для уравнения ЛаврентьеваБицадзе.
2 Теория вероятностей и математическая статистика
Классификация случайных событий. Статистическое и классическое
определение вероятностей. Непосредственный подсчет вероятностей.
Несовместные и совместные события. Теоремы сложения вероятностей.
Зависимые и независимые события. Понятие условной вероятности. Теоремы
умножения вероятностей.
Полная система событий. Противоположные события. Соотношения между
вероятностями противоположных событий.
Формулы полной вероятности и Байеса.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Локальная теорема Муавра- Лапласа. Условия ее применимости. Свойства и
график функции  (х).
Формула Пуассона и условия ее применимости.
Интегральная теорема Муавра- Лапласа и условия ее применимости. Свойства
функции Лапласа и ее график.
Следствие из интегральной теоремы Лапласа.
Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Закон ее
распределения. Привести примеры.
Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей,
кривая распределения.
Связь между плотностью распределения и функцией распределения.
Числовые характеристики случайных величин (дискретных и непрерывных) и
их свойства.
Биноминальное,
геометрическое,
гипергеометрическое,
Пуассона
распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики.
Нормальный закон распределения, равномерный, показательный и их
числовые характеристики.
Функции от случайных величин и их закон распределения; свертка; закон
распределения Эрланга k-го порядка.
Условные распределения. Условное математическое ожидание; регрессии.
Ковариация,
ковариационная
матрица,
коэффициент
корреляции.
Корреляционая матрица, ее свойства.
Понятие о законе больших чисел и его значение. Принцип практической
уверенности.
Лемма Чебышева.
Неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
2
Теорема Ляпунова.
Статистическая
совокупность,
группировки
1-го,
2-го
порядков;
вариационный ряд частот, относительных частот; интервальный вариационный ряд
частот, относительных частот, плотностей относительных частот.
Гистограмма,
полигон,
статистическая
(кумулятивная
функция
распределения).
Выборочная средняя, стандартные отклонения, мода, медиана, квантили,
квартили.
Смещенные и несмещенные, состоятельные оценки параметров генеральной
совокупности.
Интервальные оценки: доверительная вероятность, доверительный интервал,
примеры построения.
Оценки законов распределения: критерии согласия.
Проверка гипотез: уровень значимости, мощность критерия, критические
области и их нахождение.
Коэффициент корреляции, прямые регрессии, коэффициент регрессии.
Проверка значимости и интервальные оценки параметров
линейной
корреляционной зависимости.
Статистическое оценивание параметров множественной модели.
Оценка коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов.
Проверка значимости и интервальное
оценивание коэффициентов и
уравнения регрессии.
3 Численные методы
Вычислительный эксперимент, его этапы. Классификация погрешностей
вычислительного эксперимента. Требования к вычислительным методам.
Численные методы решения нелинейных уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с
выбором главного элемента по строке.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с
выбором главного элемента по столбцу.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с
выбором главного элемента во всей матрице.
Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Число
обусловленности, его свойства. Оценка погрешности решения СЛАУ.
Метод вращений решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод отражений решения систем линейных алгебраических уравнений.
Итерационный метод Зейделя решения систем линейных алгебраических
уравнений.
Численное решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
Метод покоординатных итераций.
Метод Ньютона численного решения систем нелинейных уравнений.
Основные понятия проблемы собственных значений: собственное значение,
собственный вектор, спектр и спектральный радиус матрицы, полная и частичная
3
проблема собственных значений. Исходные уравнения для определения
собственных чисел и собственных векторов. Свойства собственных чисел и
собственных векторов матрицы.
Интерполирование функций. Постановка задачи. Линейная интерполяция,
квадратичная интерполяция.
Интерполирование сплайнами. Определение сплайна. Эрмитовы кубические
интерполяционные сплайны. Вывод основных формул, алгоритм построения
сплайна.
Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Формулы трапеции,
Симпсона.
Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Метод Эйлера.
Методы Рунге-Кутта.
Основные понятия теории разностных схем: разностная сетка, разностная
схема, шаблон разностной схемы, явная (неявная) разностная схема, ошибка
аппроксимации и порядок аппроксимации разностной схемы. Пример условно
аппроксимирующей разностной схемы.
Список литературы
1. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов. – М.:
Издательство МГУ, 2004. – 798 с.
2. Будак, Б. М. Сборник задач по уравнениям математической физике. /
Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. – М.: Физматлит, 2003. – 688 с.
3. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К. Б. Сабитов. – М.:
Высшая школа, 2003. – 255 с.
4. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики: учеб. для вузов /
В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. – М.: Физико-математическая литература, 2000. –
400 с.
5. Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для экономических специальностей вузов / В. С. Пугачев - М.:
Физматлит, 2002. – 496 с.
6. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учеб.
пособие для студ. втузов/ Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 3-е изд., перераб. и доп. –
М.: Издат. центр "Академия", 2003. – 464 с.
7. Гмурман, В. Е.
Теория
вероятностей
и
математическая
статистика / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 2004. – 479 с.
8. Самарский, А. А. Численные методы математической физики /
А. А. Самарский, А. В. Гулин – М.: Научный мир, 2000. – 316 с.
9. Бахвалов, Н. С. Численные методы: учеб пособие для вузов /
Н. С. Бахвалов, Н. П. Житков, Г. М. Кобельков. – 3-е изд. перераб. и доп. – М:
Бином. 2003. – 632 с.
10. Бахвалов, Н. С., Численные методы в задачах и упражнениях: учеб
пособие / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. – М.: Высш.шк., 2000. –
190 с.
4
11. Барахнин, В. Б. Введение в численный анализ / В. Б. Барахнин,
В. П. Шапеев. – СПб.: Лань, 2005. – 112 с.
12. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах /
Н. В. Копченова, И. А. Марон. – СПб.: Лань, 2008. – 368 с.
13. Фадеев, М. А. Элементарная обработка результатов эксперимента /
М. А. Фадеев. – СПб.: Лань, 2008. – 128 с.
5