ЕГЭ 2015 Решение заданий С

ЕГЭ 2015 Решение заданий С-4 (18)
1.В прямоугольнике
со сторонами
и
на стороне
расположены точки и таким образом, что
при этом — точка пересечения прямых
и
. Площадь треугольника
равна . Найдите длину отрезка, соединяющего точки и .
Решение.
В зависимости от порядка расположения точек
Случай первый.
, где
Тогда
,
и
на
есть 2 случая:
.
.
Случай второй.
, где
Тогда
Ответ: 2 или 2,5.
.
,
.
2.В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и Nтак, что
. Найдите BC если
.
Решение.
Пусть E — точка пересечения биссектрис, BM=x, MN=y NC=z. Так как
точка M лежит между точками B и N возможны 2 случая.
, то
1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные,
да,
2.
следовательно,
.
Точка E —
да
Ответ: 16 или 48.
вне
.
параллелограмма.
,
отку-
Тогда
,
отку-
3.Основание равнобедренного треугольника равно
косинус угла при вершине
равен
Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две
другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно,
что одна из его сторон вдвое больше другой.
Решение.
Пусть вершины и прямоугольника
лежат на основании
равнобедренного треугольника (точка — между и ), а вершины и — на боковых сторонах
и соответственно.
Обозначим
.
Тогда
Предположим, что сторона
жим
Из
что
Тогда
прямоугольника вдвое больше его стороны
Полопрямоугольного
треугольника
находим,
а
так
как
то
Откуда
Тогда
Следовательно,
Пусть теперь сторона
жим
Из прямоугольного треугольника находим, что
Тогда
откуда
прямоугольника вдвое больше его стороны
а так как
. Тогда
Ответ: 512 или 800.
то
Следовательно,
Поло.
4.На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD.
Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что
сторона квадрата равна 1.
Решение.
Пусть точки и
равнобедренный
Пусть
лежат по одну сторону от прямой
, поэтому
— высота треугольника
дим, что
Пусть теперь точки
ник
и
(рис. 1). Треугольник
.
. Из прямоугольного треугольника
.
лежат но разные стороны от прямой
— равнобедренный
—
нахо-
(рис. 2). Треуголь-
, поэтому
.
Из прямоугольного треугольника
находим, что
.Ответ:
или
.
Примечание.
На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения
и
. Тем не
менее, на примере вычисления значения
укажем два способа нахождения этих величин:
или, используя формулу половинного угла:
.
Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:
5.Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник
АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что
и
.
Введем следующие обозначения:
Решение.
,
,
.
1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).
1.
Треугольник АВЕ ―
чит,
равнобедренный,
поэтому
,
.
2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,
,
откуда
.
3. Поскольку
,
получаем:
.
4. Окончательно находим:
.
2 случай (точка A лежит между точками E и С (см. рис. 2).
Аналогично случаю 1 находим
.
О т в е т : 25 или 39.
а
зна-
6..На прямой, содержащей медиану
прямоугольного треугольника
с прямым углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника
, если
,
.
Решение.
По теореме Пифагора
. Тогда
.
Пусть точка лежит на луче
. Медиана
длиннее
, и точка лежит внутри
треугольника
.
Опустим из точки перпендикуляр
на прямую
и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники
и
. Из подобия треугольников находим:
Следовательно,
между
и . В этом случае
Ответ: 2,4; 21,6.
. Пусть теперь точка
и
. Тогда
.
лежит