олимпиада по математике для учащихся 9 класса

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА
(время выполнения – 45 мин)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 БАЛЛА:
1. Число 2014! оканчивается цифрой
А) 2;
Б) 0;
В) 1;
Г) 4;
Д) невозможно определить без применения вычислительных устройств.
2. В прямоугольнике АВКМ сторона АВ в два раза больше стороны АМ.
Прямоугольник повернули против часовой стрелки на 900 вокруг
середины стороны АВ. В результате получился поворот
А)
Б)
В)
Г)
А
В
М
К
Д)
3. Даны числа: 191; 193; 195; 197; 199. Сколько среди них простых?
А) 1;
Б) 2;
В) 3;
Г) 4;
Д) 5.
4. Множество из букв какого слова не является подмножеством объединения множеств
букв, из которых состоят слова «песок» и «пластичность»?
А) точность; Б) стекло; В) новость;
Г) личность; Д) кость.
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 БАЛЛА:
5. В корзине лежат астры четырёх разных цветов, красные и белые георгины и жёлтые
хризантемы. Сколькими способами можно составить букет из трёх астр, двух георгинов и
двух хризантем так, чтобы астры в букете обязательно были разного цвета?
А) 72;
Б) 96;
В) 144;
Г) 192;
Д) 256.
6. В магазин доставили 6 бочек керосина. На рисунке
обозначено, сколько вёдер было в каждой бочке. В первый
же день нашлось два покупателя; один купил целиком две
бочки, другой – три, причём первый купил вдвое меньше
керосина, чем второй. Так что не пришлось даже
раскупоривать бочек.
Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?
А) 20;
Б) 16;
В) 18;
Г) 31;
Д) 19.
7. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты
имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг вершины прямого угла на 450
получается другой равнобедренный треугольник. Найдите площадь четырехугольника,
являющегося общей частью этих двух треугольников.
А)
a2
;
2
Б)
a2
;
4
В)
a 2 (3  2 2 )
;
4
Г)
a 2 ( 2  1)
;
2
Д)
a 2 (2  2 )
.
2
8. Укажите верное утверждение:
А) все простые числа – нечётные;
Б) любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на
произведение простых чисел несколькими различными способами;
В) для любого натурального числа n выражение n2 + n + 11 задаёт простое число;
Г) любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1,
где n – натуральное число;
Д) если любое простое число увеличить на 2, то получится простое число.
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 БАЛЛОВ:
9. Для посадки привезли 5 кустов красных и 7 кустов белых роз. Наугад взяли два куста и
посадили рядом. Какова вероятность того, что розы на этих кустах будут одного цвета?
1
12
31
31
33
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
.
72
66
66
35
35
10. В древнеиндийском трактате содержится такой способ вычисления этой величины:
«…длина стороны увеличивается на треть, а эта треть – на её четверть, и 1/34 этой
четверти вычитается».
Найденное число приближённо равно числу
А) cos 30o;
Б) sin

;
4
В) π;
Г)
3;
Д)
2.
11. Пифагор рассматривал различные последовательности чисел, которые можно было
представить в виде многоугольников, выложенных из камней или бусин. Если, например,
семейство треугольных чисел 1; 3; 6; 10, 15… выглядит так,
то последовательность чисел 12, 22, 35 входит в семейство чисел
А) квадратных;
Б) четырёхугольных;
В) пятиугольных;
Г) шестиугольных; Д) семиугольных.
12. На координатной плоскости фигура задана неравенством:
x2 + y2 ≤ 8 |x| + 4 |y|
Площадь этой фигуры равна
А) 40π+64;
Б) 10π+16;
В) 20π;
Г) 80π;
Д) 80π+128.
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА
(время выполнения – 45 мин)
Ответы и решения
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 БАЛЛА:
1. Число 2014! оканчивается цифрой
А) 2;
Б) 0;
В) 1;
Г) 4;
Д) невозможно определить без применения вычислительных устройств.
Решение. 2014! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 2013 · 2014. В произведении встречается много
множителей, оканчивающихся на 0. Значит и произведение оканчивается на 0.
Ответ: Б) 0.
2. В прямоугольнике АВКМ сторона АВ в два раза больше стороны АМ.
Прямоугольник повернули против часовой стрелки на 900 вокруг
середины стороны АВ. В результате получился поворот
А)
Б)
В)
Г)
А
В
М
К
Д)
Ответ: Д).
3. Даны числа: 191; 193; 195; 197; 199. Сколько среди них простых?
А) 1;
Б) 2;
В) 3;
Г) 4;
Д) 5.
Решение. Только число 195 составное. Оно имеет 8 делителей: 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195.
Остальные простые.
Ответ: Г) 4.
4. Множество из букв какого слова не является подмножеством объединения множеств
букв, из которых состоят слова «песок» и «пластичность»?
А) точность; Б) стекло; В) новость; Г) личность; Д) кость.
Ответ: В) новость.
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 БАЛЛА:
5. В корзине лежат астры четырёх разных цветов, красные и белые георгины и жёлтые
хризантемы. Сколькими способами можно составить букет из трёх астр, двух георгинов и
двух хризантем так, чтобы астры в букете обязательно были разного цвета?
А) 72;
Б) 96;
В) 144;
Г) 192;
Д) 256.
Решение. Так как астры должны быть разного цвета, то их выбираем 24 (4·3·2)
способами. Два георгина можно выбрать тремя способами - 2 красных, 2 белых или один
красный, второй – белый. Все хризантемы одинакового цвета, значит, добавляются любые
два цветка, вариантов выбора не добавляется. Итак, всего можно составить 72 разных по
цвету букета (24·3).
Ответ: А) 72.
6. В магазин доставили 6 бочек керосина. На рисунке
обозначено, сколько вёдер было в каждой бочке. В первый же
день нашлось два покупателя; один купил целиком две бочки,
другой – три, причём первый купил вдвое меньше керосина,
чем второй. Так что не пришлось даже раскупоривать бочек.
Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?
А) 20;
Б) 16;
В) 18;
Г) 31;
Д) 19.
Решение. Пусть первый покупатель купил a + b = x вёдер
керосина, а второй c + d + e = 2x вёдер. Вместе они купили 3х вёдер. Значит, суммарное
содержимое всех проданных бочек должно делиться на три. Все бочки содержат 119
вёдер, при делении 119 на 3 получим остаток 2. Значит, в оставшейся бочке должно быть
такое количество литров керосина, которое делится на 3 с остатком 2.
15 и 18 делятся на 3 без остатка; 16, 19, 31 делятся на 3 с остатком 1.
20 делится на 3 с остатком 2.
Следовательно, осталась бочка, в которой 20 вёдер.
Ответ: А) 20.
7. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты
имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг вершины прямого угла на 450
получается другой равнобедренный треугольник. Найдите площадь четырёхугольника,
являющегося общей частью этих двух треугольников.
a2
a2
a 2 (3  2 2 )
a 2 ( 2  1)
a 2 (2  2 )
А)
; Б)
; В)
; Г)
; Д)
.
2
4
2
2
4
Решение. Выделим синим четырёхугольник, являющийся общей частью
треугольников.
a2
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника
; площадь его
2
a2
половины
.
Чтобы
найти
площадь
маленького
равнобедренного
4
прямоугольного треугольника, найдём его сторону как разность стороны и
высоты равнобедренного прямоугольного треугольника.
а-
двух
2
2 2
а=
а.
2
2
a 2 (3  2 2 )
2 2 2
площадь =(
а) , после преобразования
.
2
4
Площадь синего четырёхугольника получим как разность половины исходного
a2
треугольника и маленького равнобедренного прямоугольного треугольника
4
a 2 (3  2 2 )
a 2 ( 2  1)
=
.
4
2
Ответ: Г).
8. Укажите верное утверждение:
А) все простые числа – нечётные;
Б) любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на
произведение простых чисел несколькими различными способами;
В) для любого натурального числа n выражение n2 + n + 11 задаёт простое число;
Г) любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1, где
n – натуральное число;
Д) если любое простое число увеличить на 2, то получится простое число.
Решение.
А) неверно, 2 – чётное простое число;
Б) неверно, любое натуральное число, отличное от единицы, представимо в виде
произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка
следования сомножителей (основная теорема арифметики);
В) неверно, для n = 11 выражение n2 + n + 11 задаёт составное число 143;
Г) верно, любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1,
где n – натуральное число;
Д) неверно, если например простое число 7 увеличить на 2, то получится 9 - составное
число.
Ответ: Г)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 БАЛЛОВ:
9. Для посадки привезли 5 кустов красных и 7 кустов белых роз. Наугад взяли два куста и
посадили рядом. Какова вероятность того, что розы на этих кустах будут одного цвета?
1
12
31
31
33
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
.
72
66
66
35
35
Решение. Посчитаем вероятность того, что оба куста будут с розами красного цвета.
5
Вероятность того, что первый куст с красными розами , а того, что второй куст
12
4
окажется тоже с красными цветами - . Вероятность того, что оба куста с красными
11
5 4
5
розами:
· =
.
12 11 33
Посчитаем вероятность того, что оба куста будут с розами белого цвета. Вероятность того,
7
что первый куст с белыми розами , а того, что второй куст окажется тоже с белыми
12
6
7 6
7
цветами - . Вероятность того, что оба куста с белыми розами:
· =
.
11
12 11 22
5
7 31
Найдём сумму:
+
=
.
33 22 66
Ответ: Г).
10. В древнеиндийском трактате содержится такой способ вычисления этой величины:
«…длина стороны увеличивается на треть, а эта треть – на её четверть, и 1/34 этой
четверти вычитается».
Найденное число приближённо равно числу

;
В) π;
Г) 3 ;
Д) 2 .
4
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
33
169
169
Решение. 1+ + ∙ ∙ ∙ =1+ +
∙ =1+ +
=1+
=1
3 4 3 34 4 3
3 12 34 12
3
34  12
34  12
408
А) cos 30o;
≈1,4142
Ответ: Д)
2.
Б) sin
11. Пифагор рассматривал различные последовательности чисел, которые можно было
представить в виде многоугольников, выложенных из камней или бусин. Если, например,
семейство треугольных чисел 1; 3; 6; 10, 15… выглядит так,
то последовательность чисел 12, 22, 35 входит в семейство чисел
А) квадратных;
Б) четырёхугольных;
В) пятиугольных;
Г) шестиугольных; Д) семиугольных.
Решение. Треугольные числа: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28… можно представить в виде
n(n  1)
треугольников и задать формулой
.
2
Квадратные числа 1; 4, 9; 16; 25 … разместим на квадратах, формула общего члена n2.
Последовательность пятиугольных чисел начинается с 1; 5. Продолжаем рисовать
пятиугольные числа. Третье число – 12.
Проверим и следующее число. Понятно, что последовательность 12,22,35 входит в
n(3n  1)
семейство пятиугольных чисел. Формула общего члена
.
2
Ответ: В) пятиугольных.
12. На координатной плоскости фигура задана неравенством:
x2 + y2 ≤ 8 |x| + 4 |y|
Найдите площадь фигуры
А) 40π+64;
Б) 10π+16;
В) 20π;
Г) 80π;
Д) 80π+128.
Решение. Рассмотрим часть фигуры для положительных х и у.
Преобразуем неравенство и увидим, что граница
фигуры сверху будет задана уравнением
(х-4)2 + (у-2)2 = 20, а снизу осями
координат.
Площадь её складывается из площади
1
20
полукруга R 2 =
= 10π и площади
2
2
1
треугольника  4∙8 =16.
2
Заданная фигура будет складываться из 4-х таких частей. Значит, площадь равна
4(10π + 16) = 40π+64;
Ответ: А).
Из набранного количества баллов складывается рейтинг успешности учащихся.
Критерии оценивания заданий приведены в таблице.
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на
решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не
рассмотрение отдельных случаев, но может стать
правильным после
небольших исправлений или дополнений.
4
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в
задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при
ошибочном решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.