Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук (ПОМИ РАН) 191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27 тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77 e-mail: [email protected] УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по научной работе ПОМИ РАН доктор ф.-м. наук _______________ С. И. Репин «__»___________ 2015 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Дополнительные главы функционального анализа основная образовательная программа подготовки аспиранта по направлению 01.06.01 Математика и механика направленность (профиль) подготовки - Математическая физика Федеральный ГОС ВО Форма обучения: очная Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал В.н.с., д.ф.-м.н. М.И. Белишев Санкт-Петербург 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ - Целью преподавания является подготовка специалистов, обладающих знаниями в области теории C*-алгебр, способных сопоставлять эти знания с более общими представлениями о теории операторов, а так же применять методы теории к решению задач иных дисциплин, таких как обратные задачи математической физики. - Задачами освоения дисциплины являются: - изучение теории коммутативных и некоммутативных C*-алгебр и ее применения в теории операторов. - обсуждение вопросов канонической реализации C*-алгебр, а также их использования для восстановления римановых многообразий произвольной топологии по отображению Dirichlet-to-Neumann. Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» Код ПК-2 Результат обучения (компетенция) выпускника ООП Готовность применять методы математической теории рассеяния в теоретико-прикладных задачах математики и механики. Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя: - умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для решения теоретических задач. - умение представить полученные научные результаты. - знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины. - умение применять освоенные теоретические методы в смежных дисциплинах. 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА АСПИРАНТУРЫ Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах функционального анализа, алгебры, а так же обратных задач. Дисциплина «Дополнительные главы функционального анализа» дает аспирантам понимание методов теории С*-алгебр, а так же на примере задачи о восстановлении римановой поверхности по Dirichlet to Neumann оператору демонстрирует применение методов теории для решения задач смежных дисциплин. 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ 3.1 Виды учебной деятельности Трудоемкость по курсам Итого, ач Виды учебной работы 3 курс. ач/сем Лекции (Л) 18 Практические занятия (ПЗ) 18 Самостоятельная работа (СР) 36 Экзамен (Э) 1 Общая трудоемкость освоения дисциплины в академических часах, ач 3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы Изучаемый вопрос 1 Коммутативные банаховы алгебры. 2 Каноническая реализация коммутативной C*-алгебры. 3 Представления C*-алгебр. 4 Спектр C*-алгебры. 5 Применение к обратным задачам. Итого по видам учебной работы Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч. 18 18 36 1 72 Л, ач 3 3 ПЗ, ач 3 3 СР, ач 6 6 4 4 4 18 4 4 4 18 72 8 8 8 36 4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ Разделы дисциплины Содержание разделов Коммутативные банаховы алгебры. Определения и примеры банаховых алгебр. Коммутативные банаховы алгебры. Спектр и преобразование Гельфанда. Каноническая реализация равномерной коммутативной банаховой алгебры. Каноническая реализация коммутативной C*-алгебры. C*-алгебры. Теорема Гельфанда-Наймарка о канонической реализации коммутативной C*-алгебры. Представления C*-алгебр. Положительные функционалы и состояния. ГНС-конструкция. Спектр C*-алгебры. Примитивные идеалы и спектр. Топология Джекобсона. Применение к обратным задачам. Задача Кальдерона о восстановлении римановой поверхности по D-Nоператору. 5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме зачета. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии, такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение. Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов, полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций «Дополнительные главы функционального анализа» базируется на знаниях, приобретенных слушателями на предыдущих этапах обучения, в частности алгебры, функционального анализа и уравнений математической физики. 6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ 6.1 Критерии оценивания Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» является приобретение им знания: - Определение и основные свойства банаховых алгебр. - Определения и основные свойства коммутативных банаховых алгебр, преобразования Гельфанда. - Определения и основные свойства С*-алгебр, топологии Джекобсона. - Формулировка и структура доказательства теоремы Гельфанда-Наймарка. - Описание спектра С*-алгебры посредством мультипликативных функционалов и примитивных идеалов. - Построение ГНС-конструкции и ее роль в доказательстве теоремы ГельфандаНаймарка. - Определение и основные свойства Dirichlet to Neumann оператора. - Постановка задачи восстановления римановой поверхности по Dirichlet to Neumann оператору и применение к ней теории С*-алгебр. - Умение применять теорию С*-алгебр к другим обратным задачам. - Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике. 6.2 Оценочные средства Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы функционального анализа» является посещение лекций и успешная сдача зачета для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.03 Математическая физика и выполнения квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации. 7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Рекомендованная литература 1. Дж.Мерфи. C*-алгебры и теория операторов. Факториал, Москва, 1997. 2. М.А.Наймарк. Нормированные кольца. Наука, Москва, 1968. Дополнительная литература 1. В.А.Тихомиров. Банаховы алгебры. Дополнение в книге А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, Москва, 1976. 8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук (ПОМИ РАН) 191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27 тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77 e-mail: [email protected] УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по научной работе ПОМИ РАН доктор ф.-м. наук _______________ С. И. Репин «__»___________ 2015 г. Фонд оценочных средств Дополнительные главы функционального анализа основная образовательная программа подготовки аспиранта по направлению 01.06.01 Математика и механика направленность (профиль) подготовки - Математическая физика Санкт-Петербург 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ - Целью преподавания является подготовка специалистов, обладающих знаниями в области теории C*-алгебр, способных сопоставлять эти знания с более общими представлениями о теории операторов, а так же применять алгебраические подходы к решению задач иных дисциплин, таких как обратные задачи математической физики. - Задачами освоения дисциплины являются: - изучение теории коммутативных и некоммутативных C*-алгебр и ее применения в теории операторов. - обсуждение вопросов канонической реализации C*-алгебр, а также их использования для восстановления римановых многообразий произвольной топологии по отображению Dirichlet-to-Neumann. Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» Код ПК-2 Результат обучения (компетенция) выпускника ООП Готовность применять методы математической теории рассеяния в теоретико-прикладных задачах математики и механики. Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя: - умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для решения теоретических задач; - умение представить полученные научные результаты. - знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины; 2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ 6.1 Критерии оценивания Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» является приобретение им знания: - Определение и основные свойства банаховых алгебр. - Определения и основные свойства коммутативных банаховых алгебр, преобразования Гельфанда. - Определения и основные свойства С*-алгебр, топологии Джекобсона. - Формулировка и структура доказательства теоремы Гельфанда-Наймарка. - Описание спектра С*-алгебры посредством мультипликативных функционалов и примитивных идеалов. - Построение ГНС-конструкции и ее роль в доказательстве теоремы ГельфандаНаймарка. - Определение и основные свойства Dirichlet to Neumann оператора. - Постановка задачи восстановления римановой поверхности по Dirichlet to Neumann оператору и применение к ней теории С*-алгебр. - Умение применять теорию С*-алгебр к другим обратным задачам. - Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике. 6.2 Оценочные средства Аттестация производится в форме экзамена. Тесты: 1. Примером С*-алгебры является: a. Пространство непрерывных функций на компактном топологическом пространстве. b. Пространство финитных непрерывных функций на локально компактном топологическом пространстве. c. Пространство непрерывных функций на локально компактном топологическом пространстве. d. a и b. 2. С*-алгебра является: a. Банаховой алгеброй. b. Коммутативной алгеброй. c. Ассоциативной алгеброй. d. a и c. 3. Данная алгебра не содержит единицу: a. Алгебра комплексных чисел. b. C(X), X -- компактно. c. С0(X), X -- локально компактно, но не компактно. d. b и c. 4. Если x -- элемент банаховой алгебры с единицей, то его спектр: a. Открыт. b. Замкнут. c. Ограничен. d. b и c. 5. Спектр самосопряженного элемента унитальной банаховой алгебры: a. Пустой. b. Вещественный. c. Мнимый. d. Отрицательный. 6. Если u -- мультипликативный функционал на унитальной С*-алгебре, то: a. u не ограничен. b. Норма u меньше единицы. c. Норма u равна единице. d. Норма u больше единицы. 7. Элемент С*-алгебры называется положительным, если: a. Он самосопряжен. b. Его спектр положителен. c. Его спектр неотрицателен. d. a и b. e. a и c. 8. Состояние -- это: a. Множество устойчивых значений переменных параметров объекта. b. Положительный линейный функционал с единичной нормой. c. Точка в фазовом пространстве. d. Функция распределения плотности вероятности в фазовом пространстве 9. Множество состояний является: a. Коническим. b. Звездным. c. Открытым. d. Выпуклым. 10. Теорема Гельфанда-Наймарка дает a. Мультипликативный вариант теоремы Хана – Банаха. b. Универсальное описание всех C*-алгебр. c. Критерий сепарабельности С*-алгебр. Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы функционального анализа» является посещение лекций, практических занятий, самостоятельная работа и успешная сдача экзамена для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.03 Математическая физика и выполнения квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.