олимпиада по геометрии для учащихся 9 класса

ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА
(время выполнения – 45 мин)
Задача 1. Точка К делит сторону ВС квадрата АВСD в отношении 2:1, считая от вершины
В. Точка L принадлежит стороне АВ. Отрезки АК и LС пересекаются в точке М. Найти
длину стороны квадрата, если LМ = 7 см, а МС = 6 см.
Решение.
K
В
1. Построим чертёж по условию задачи. ВК : КС = 2 : 1; LМ = 7;
M
МС = 6.
T
Выполним дополнительное построение: КТ  АВ.
L
Пусть KC = х, тогда KB = 2х и АВ = ВС = 3х.
2. СКТ ~ СВL , так как KT  АB. Сходственные стороны
КС TC 1 TC

пропорциональны, значит,
; 
; то есть коэффициент
ВС LC 3 LC
А
1
1
подобия этих треугольников k = и TC = LC.
3
3
13
13 5
LC = 13; CT  , МT  6   .
3
3 3
3. КТM ~ ALM по первому признаку подобия треугольников.
МT KT
5
KT
21


Следовательно,
;
; LA =
KT.
LM
LA 3  7 LA
5
1
21 1
7
4. KT  BL , тогда LA =
∙ BL = BL.
5
5 3
3
7
12
AB = BL + AL = BL + BL =
BL;
5
5
5
12
Получили
BL = 3x. Значит, ВL  х .
5
4
С
D
2
25 2
5 
5. По теореме Пифагора из ΔLBC: BL2+BC2= CL2, т.е.  x  + (3x)2 =132 или
x + 9x2 =
16
4
 
169.
Решив уравнение, получим х = 4. Значит, АВ = 43 = 12.
Ответ: 12 см.
Задание 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты точки К, L, М так, что АК =
2КВ, 2ВL = 3LС, 3СМ = 4МА. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площади
треугольников АКМ, ВLК, СLМ, КLМ.
Дано: АВС - треугольник; АК = 2КВ; 2ВL = 3LС; 3СМ = 4МА; S∆АВС = 1.
Найти: S∆АКМ; S∆ВLK; S∆CLM; S∆KLM.
Решение.
1. Дополнительное построение. Проведем отрезки ВМ и АL.
2. Треугольники АВМ и МВС имеют общую высоту, значит, их
площади относятся как 3:4.
3
4
3. S∆АВС = 1, тогда S∆АВМ = , S∆ВМС = .
7
7
4. S∆АВМ = S∆АКМ + S∆КМВ.
В
К
L
А
С
М
5. Треугольники АКМ и КМВ имеют общую высоту, значит, их площади относятся как 2:1.
3 2 2
Тогда S∆АКМ =   .
7 3 7
6. S∆ВМС = S∆ВМL + S∆CLM .
7. Треугольники МLС и МВL имеют общую высоту, значит, их площади относятся как 2:3.
4 2 8
Тогда S∆CLM =  
.
7 5 35
8. Треугольники АВL и АLС имеют общую высоту, значит, их площади относятся как 3:2.
3
Тогда S∆АLВ = .
5
9. Треугольники ВLК и АLК имеют общую высоту, тогда их площади относятся как 1:2.
1 3 1
Тогда S∆ВLК =   .
3 5 5
2 8 1 2
11. S∆КLМ = S∆АВС - S∆АКМ - S∆CLM - S∆КLВ = 1     .
7 35 5 7
2
1
2
8
Ответ: S∆АКМ = ; S∆CLM =
; S∆КLВ = ; S∆КLМ = .
35
7
5
7
Задание 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
построены квадраты ABFH и BCDK (во внешнюю
сторону). Докажите, что продолжение медианы ВЕ
треугольника АВС является высотой треугольника BFК.
Решение. Продолжим медиану ВЕ и достроим
параллелограмм АВСМ.
N – точка пересечения ВЕ с FК.
ΔАВМ = ΔВFК (стороны равны и взаимно
перпендикулярны).
NВК + МВС + 900 составляют развёрнутый угол, т.е.
NВК + МВС = 900.
NКВ =АМВ = МВС. Значит, в треугольнике NВК
NКВ+ NВК = 900. Следовательно, КNВ = 900, т.е.
BN  FK. Значит, BN –высота.
К
D
N
F
В
С
Е
Н
А
М
Задание 4. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен
равносторонний треугольник ABD. Найти расстояние от центра треугольника АВD до
вершины С, если АВ=6, а отношение катетов равно 3 .
Решение.
В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС: АС= 3 : 1.
Значит, АС=3, ВС=3 3 .D
А
1. Пусть вершины С и D оказались по разные стороны от прямой
АВ.
АСВ = 900, отсюда, точки А, В, С лежат на одной окружности с
диаметром АВ. Отметим точку О – центр треугольника АВD. АР
С
–медиана, значит, АО : ОР =2:1;
АР = 3 3 ; АО = 2 3 , ОР = 3 ; АРВ = 900, отсюда точка Р лежит на
той же окружности с диаметром АВ.
АС = РВ = 3, очевидно, что АРВС – прямоугольник, т.е. САР = 900.
В ΔАСО по теореме Пифагора ОС2 = 32 + (2 3 )2.
O
D
P
В
А
В
С
O
P
D
ОС = 21 .
2. Пусть вершины С и D оказались по одну сторону от прямой АВ.
АСВ = 900, САВ = 600, отсюда, АС и АD лежат на одной прямой, ВС и АР – высоты
ΔABD. Отметим точку О – центр треугольника АВD. ВС – медиана, значит, СО : ОВ =1: 2;
ВС = 3 3 ; СО = 3 .
Ответ:
21 или 3 .
Задание 5. В остроугольном равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена высота АН, продолжение которой пересекает описанную около треугольника
окружность в точке D. Найдите площадь треугольника АВС, если АН = 9, AD = 13.
Решение. Введём систему координат так, как показано на рисунке.
Н(0; 0), А(0; 9), В(b;, 0), С(-с; 0), D (0; -4), где b – длина отрезка ВН, с - длина отрезка СН.
y
A
O
C
B
H
x
D
Зная, что центр описанной окружности равноудалён от точек А, В, С и D, найдём
середины отрезков ВС и AD.
bс 5
Значит, О(
; ).
2
2
bс 2
5
Запишем уравнение окружности (х ) + (у - )2 = R2.
2
2
Используя координаты точек А и В, получим систему уравнений:
bс 2
5
(0 ) + (9 - )2 = R2;
2
2
bс 2
5 2
(b ) + (0 - ) = R2.
Отсюда, bс=36.
2
2
Найдем ρ(В,С) = b + c; ρ(А,В) = b2  92 . Треугольник равнобедренный, поэтому
b2  92 . Значит, с = 3, b = 12.
1
135
Длина отрезка ВС равна 15, и площадь треугольника S = ∙15∙9 =
.
2
2
Ответ: 67,5.
получаем уравнение b + c =
Задание 6. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а длина средней
линии равна 7. Найдите площадь трапеции.
Решение. Введем систему координат так, как показано на рисунке.
А(- а;0), В(0; b), С(b; 0), D(0; -a), где а > 0, b > 0.
а b
Тогда М(
; ) – как середина отрезка АВ,
2 2
y
b a
N( ;
) – как середина отрезка СD.
2 2
B
Используя формулу расстояния между двумя
M
точками, запишем для средней линии равенство
ab
=7.
A
C
x
2
Отсюда а + b = 7 2 .
H
N
Запишем уравнение прямой ВС: х + у – b = 0;
ей параллельной прямой AD: х + у + а = 0;
им перпендикулярной прямой ВН: х - у + b= 0.
Найдём точку Н, как общую точку прямых ВН
D
bа ba
и АD: Н(;
).
2
2
ab
По формуле расстояния между двумя точками, запишем ρ(Н, В) =
, т.е. высота
2
трапеции равна 7.
ab
h = lh, S = 49.
Найдём площадь по формуле S =
2
Учителю. Обсудите, как изменится решение при изменении длины средней линии, каков
ответ в общем случае.
Если длина средней линии такой трапеции будет l, то площадь l2.
Ответ: 49.
Критерии оценивания заданий приведены в таблице.
Баллы
7
6-7
5-6
4
2-3
0-1
0
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на
решение.
Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не
рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после
небольших исправлений или дополнений.
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев,
или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при
ошибочном решении).
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
Решение отсутствует.
Нельзя уменьшать количество баллов за то, что решение слишком длинное.
Исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) также не являются
основанием для снятия баллов. В то же время любой сколь угодно длинный текст
решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА
(время выполнения – 45 мин)
K
В
M
С
T
L
А
D
Задача 1. Точка К делит сторону ВС квадрата АВСD в
отношении 2:1, считая от вершины В. Точка L принадлежит стороне АВ. Отрезки АК и LС
пересекаются в точке М. Найти длину стороны квадрата, если LМ = 7 см, а МС = 6 см.
В
К
L
А
С
М
Задание 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС
взяты точки К, L, М так, что АК = 2КВ, 2ВL = 3LС, 3СМ = 4МА. Площадь треугольника
АВС равна 1. Найдите площади треугольников АКМ, ВLК, СLМ, КLМ.
Дано: АВС - треугольник; АК = 2КВ; 2ВL = 3LС; 3СМ = 4МА; S∆АВС = 1.
Найти: S∆АКМ; S∆ВLK; S∆CLM; S∆KLM.
К
D
N
F
В
С
Е
Н
А
М
Задание 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
построены квадраты ABFH и BCDK (во внешнюю сторону). Докажите, что продолжение
медианы ВЕ треугольника АВС является высотой треугольника BFК.
D
А
С
O
P
В
Задание 4. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника
АВС построен равносторонний треугольник ABD. Найти расстояние от центра
треугольника АВD до вершины С, если АВ=6, а отношение катетов равно 3 .
Задание 5. В остроугольном равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена высота АН, продолжение которой пересекает описанную около треугольника
окружность в точке D. Найдите площадь треугольника АВС, если АН = 9, AD = 13.
Задание 6. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а длина средней
линии равна 7. Найдите площадь трапеции.
Из набранного количества баллов складывается рейтинг успешности учащихся.