Версия для печати - Информационно

О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОТФЕЛЯ С КОМИССИЕЙ
В МОДЕЛИ МАРКОВИЦА
Аль-Натор М.С.
Финансовый университет при Правительстве РФ
[email protected]
Исследуются модель Марковица (портфели без коротких позиций) с комиссией.
Рассматриваются классические задачи выбора оптимального портфеля.
Показано, что при некоторых ограничениях на комиссию эти задачи сводятся к
аналогичным задачам без комиссии.
Ключевые слова: портфель, ожидаемая доходность портфеля, риск портфеля,
оптимальные портфели, длинная позиция, короткая позиция, функция полезности.
Введение
Данная работа является непосредственным продолжением и обобщением [1-3].
В работе исследуется однопериодная модель Марковица (портфели без коротких
позиций) с комиссией и с фиксированным конечным инвестиционным горизонтом.
Приведены формулы для функций ожидаемой доходности и риска портфелей с
комиссией, зависящей от актива, типа позиций и от того, открывается или закрывается
данная позиция. При некоторых ограничениях на комиссию получены точные границы
для этих функций.
Рассматривается задача выбора оптимального портфеля. Как показано в работе,
классические задачи нахождения оптимального портфеля при некоторых ограничениях
на комиссию сводятся к аналогичным задачам без комиссии с помощью аффинного
преобразования. Для произвольной комиссии эти задачи аналитически усложняются изза рационального характера зависимости функций ожидаемой доходности и риска от
весов и комиссии.
Обозначения и предположения
Предположим, что рынок состоит из 𝑛 активов 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 . Портфель будем
обозначать вектором весов 𝒙 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 (вектор-столбец), где 𝑥𝑘 – вес актива 𝐴𝑘 .
Заметим, что для любого портфеля 𝒙 сумма весов равна 1(бюджетное ограничение).
В работе рассматриваются однопериодные портфельные сделки с конечным и
фиксированным инвестиционным горизонтом. Кроме того, все портфели предполагаются
инвестиционными (т.е. портфели, для которых выручка от коротких продаж не покрывает
расходы на открытие длинных позиций портфеля). Для простоты изложения будем
предполагать, что дивиденды отдельно не выплачиваются.
В дальнейшем мы рассматриваем только портфели Марковица (модель Марковица).
Для этой модели не допускаются короткие позиции, поэтому помимо бюджетного
ограничения должны выполняться дополнительные ограничения 0 ≤ 𝑥𝑘 ≤ 1, 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Модель Блека (портфели с единственным бюджетным ограничением. Для них возможны
короткие позиции) была исследована в [1-3]. Основные понятия и задачи портфельного
анализа можно найти в [4-6].
Пусть 𝑅𝑘 – случайная величина ценовой доходности актива 𝐴𝑘 , 𝑟𝑘 = 𝐸(𝑅𝑘 ) – ожидаемая
доходность актива 𝐴𝑘 , 𝑅(𝒙) – доходность портфеля 𝒙 без учета транзакционных издержек,
𝑟(𝒙) = 𝐸(𝑅(𝒙)) – ожидаемая доходность портфеля 𝒙. В этом случае (см. [5-6])
𝑟(𝒙) = 𝒙𝑇 𝒓 = (𝒙, 𝒓),
а риск (вариация) доходности портфеля равен
𝑉(𝒙) = 𝒙𝑇 𝐶𝒙 = (𝐶𝒙, 𝒙),
𝑛
где 𝒓 = (𝑟1 , … , 𝑟𝑛 )𝑇 , ( ⋅ , ⋅ ) – стандартное скалярное произведение в ℝ𝑛 , 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1 –
ковариационная матрица доходностей активов: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 );
𝜶 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) – вектор начальных комиссий, где 𝛼𝑘 – комиссия при открытии
позиции по активу 𝐴𝑘 ; 𝜷 = (𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 ) – вектор конечных комиссий, где 𝛽𝑘 – комиссия
при закрытии позиции по активу 𝐴𝑘 .
Положим 𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )𝑇 , где 𝑎𝑘 = 1 + 𝑟𝑘 – ожидаемый коэффициент роста актива
𝐴𝑘 за инвестиционный период. Для векторов 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 )𝑇 , 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 )𝑇
положим также 𝒖𝒗 = (𝑢1 𝑣1 , 𝑢2 𝑣2 , … , 𝑢𝑛 𝑣𝑛 )𝑇 .
Основные результаты и выводы
Применяя результаты [1-3] к модели Марковица, получаем следующие теоремы (в
теореме 2 получены более точные границы для значений 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) и 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙) по сравнению с
[1-3]).
Теорема 1. Для ожидаемой доходности портфеля 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) с учетом комиссий 𝜶, 𝜷 в
модели Марковица справедливо следующее соотношение
(𝒙, 𝒓 − 𝜶) − (𝜷, 𝒙𝒂 )
𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) =
.
1 + (𝜶, 𝒙)
В частности, риск (вариация) доходности портфеля определяется по правилу
(𝐶𝒙, 𝒙) − 2(𝐶𝒙, 𝒙𝛽 ) + (𝐶𝒙𝛽 , 𝒙𝛽 )
̅𝛽 , ̅
𝒙𝛽 )
(𝐶𝒙
̅ 𝛽 = 𝒙 − 𝒙𝛽 .
𝑉𝜶,𝜷 (𝒙) =
=
, 𝒙
[1 + (𝒂, 𝒙)]2
[1 + (𝒂, 𝒙)]2
Заметим, что 𝑟𝟎,𝟎 (𝒙) = 𝑟(𝒙) и 𝑉𝟎,𝟎 (𝒙) = 𝑉(𝒙).
Замечание. Вопреки идеальному случаю без комиссии при 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 𝑛
функция 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) в общем случае зависит от весов. Но, если комиссия не зависит от активов
и от открытия или закрытия позиций: 𝜶 = 𝜷 = (𝛼, 𝛼, … , 𝛼), тогда 𝑟𝜶,𝜶 (𝒙) не зависит от
весов, именно
𝑟𝛼 (𝒙) = 𝑎𝛼 𝑟 − 𝑏𝛼 , 𝑎𝛼 = (1 − 𝛼)/(1 + 𝛼) ,
𝑏𝛼 = 2𝛼/(1 + 𝛼) .
Заметим, что функции 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙), 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙) определены на компакте. Отсюда они достигают
своего максимума и минимума. В следующей теоремы даны оценки границ для значений
функций 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙), 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙).
Для 𝒛 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 положим
‖𝒛‖1 = ∑𝑛𝑘=1|𝑧𝑘 | (норма вектора 𝒛), 𝑧min = min(𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 ), 𝑧max = max(𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 ).
Теорема 2. Фиксируем векторы комиссий 𝜶, 𝜷. Тогда для модели Марковица имеем
𝑛[‖𝒓‖1 + ‖𝜶‖1 + ‖𝜷‖1 (1 + 𝑟max )]
,
|𝑟𝜶,𝜷 (𝒙)| <
1 + 𝛼min
2
1 − 𝛽max
0 ≤ 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙) < 𝑛 (
) max |𝑐 |.
1 + 𝛼min 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑖𝑗
В частности, если 𝜶 = 𝟎, то
|𝑟𝟎,𝜷 (𝒙)| < 𝑛[‖𝒓‖1 + ‖𝜷‖1 (1 + 𝑟max )],
0 ≤ 𝑉𝟎,𝜷 (𝒙) < 𝑛(1 − 𝛽min )2 max |𝑐𝑖𝑗 |.
1≤𝑖,𝑗≤𝑛
а если 𝜶 ≠ 𝟎, 𝜷 = 𝟎, то
𝑛[‖𝒓‖1 + ‖𝜶‖1 ]
𝑛
,
0 ≤ 𝑉𝜶,𝟎 (𝒙) <
max |𝑐 |.
|𝑟𝜶,𝟎 (𝒙)| <
(1 + 𝛼min )2 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑖𝑗
1 + 𝛼min
Рассмотрим один частный случай, для которого удается получить точные границы для
𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) и 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙). Пусть 𝜶 = 𝜷 = (𝛼, 𝛼, … , 𝛼). Положим 𝑟𝜶,𝜷 (𝒙) = 𝑟𝛼 (𝒙), 𝑉𝜶,𝜷 (𝒙) = 𝑉𝛼 (𝒙).
Нам понадобится понятие функции полезности. Напомним [5,6], что для портфельных
сделок без комиссии функция полезности определяется как 𝑈(𝒙) = 𝑟(𝒙) − 𝑉(𝒙)/𝜃, где
𝜃 > 0 – коэффициент неприятия риска. Для нашего случая с фиксированной комиссией
положим 𝑈𝛼 (𝒙) = 𝑟𝛼 (𝒙) − 𝑉𝛼 (𝒙)/(𝜃𝑎𝛼 ). Заметим, что 𝑈0 (𝒙) = 𝑈(𝒙). Тогда
𝑟𝛼 (𝒙) = 𝑎𝛼 𝑟(𝒙) − 𝑏𝛼 ,
𝑉𝛼 (𝒙) = 𝑎𝛼2 𝑉(𝒙),
𝑈𝛼 (𝒙) = 𝑎𝛼 𝑈(𝒙) − 𝑏𝛼 ,
𝑎𝛼 𝑟m𝑖𝑛 − 𝑏𝛼 ≤ 𝑟𝛼 (𝒙) ≤ 𝑎𝛼 𝑟max − 𝑏𝛼 .
Согласно этим формулам, можно сделать следующие выводы:
1. портфель с минимальным риском и портфель с максимальной полезностью не
зависят от комиссии 𝛼;
2. задача нахождения портфеля с минимальным риском при заданном уровне
доходности и задача нахождения портфеля с максимальной доходностью при заданном
уровне риска сводятся с помощью аффинного преобразования к аналогичным задачам без
комиссии.
Эти выводы сохраняются и для случая, когда портфельная сделка для всех активов
открывается с фиксированной комиссией 𝜶 = (𝛼, 𝛼, … , 𝛼) но закрывается без комиссии
(𝜷 = 𝟎). В этом случае тоже удается получить точные границы для функций ожидаемой
доходности и риска. Введем следующие обозначения: 𝑟𝜶,𝟎 (𝒙) = 𝑟𝛼 (𝒙), 𝑉𝜶,𝟎 (𝒙) = 𝑉𝛼 (𝒙),
𝑈𝛼 (𝒙) = 𝑟𝛼 (𝒙) − 𝑉𝛼 (𝒙)/(𝜃𝑐𝛼 ), 𝑐𝛼 = 1/(1 + 𝛼), 𝑑𝛼 = 𝛼𝑐𝛼 . Тогда
𝑟𝛼 (𝒙) = 𝑐𝛼 𝑟(𝒙) − 𝑑𝛼 ,
𝑉𝛼 (𝒙) = 𝑐𝛼2 𝑉(𝒙),
𝑈𝛼 (𝒙) = 𝑐𝛼 𝑈(𝒙) − 𝑑𝛼 ,
𝑐𝛼 𝑟min − 𝑑𝛼 ≤ 𝑟𝛼 (𝒙) ≤ 𝑐𝛼 𝑟max − 𝑑𝛼 .
Аналогичные выводы верны для случая, когда портфельная сделка для всех активов
открывается без комиссии (𝜶 = 𝟎) но закрывается с фиксированной комиссией 𝜷 =
(𝛽, 𝛽, … , 𝛽). В этом случае тоже удается получить точные границы для функций
ожидаемой доходности и риска. Введем обозначения 𝑟𝟎,𝜷 (𝒙) = 𝑟𝛽 (𝒙), 𝑉𝟎,𝜷 (𝒙) = 𝑉𝛽 (𝒙),
𝑈𝛽 (𝒙) = 𝑟𝛽 (𝒙) − 𝑉𝛽 (𝒙)/(𝜃(1 − 𝛽)). Тогда
𝑟𝛽 (𝒙) = (1 − 𝛽)𝑟(𝒙) − 𝛽,
𝑉𝛽 (𝒙) = (1 − 𝛽)2 𝑉(𝒙), 𝑈𝛽 (𝒙) = (1 − 𝛽)𝑈(𝒙) − 𝛽,
(1 − 𝛽)𝑟m𝑖𝑛 − 𝛽 ≤ 𝑟𝛽 (𝒙) ≤ (1 − 𝛽)𝑟max − 𝛽.
Литература
1. Al-Nator M.S., Al-Nator S.V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under
uncertainty // XXXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. – June,
Trondheim, Norway. – Moscow, IPI RAN. – 2014. – Pp. 14–16.
2. Al-Nator M.S., Al-Nator S.V., Kasimov Yu. F. Portfolio analysis with transaction costs under
uncertainty // Journal of Mathematical Sciences, Springer Science+Business Media New York,
Vol. 214, No.1, April 2016, Pp. 12–21.
3. Аль-Натор М.С., Аль-Натор С.В. Однопериодные портфельные сделки с комиссией в
условиях неопределенности // В книге: Информационно-телекоммуникационные
технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем, материалы
Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2015. С. 210-212.
4. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений.
Часть 2. Учебное пособие. Финансовый университет. 2013.
5. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений.
Часть 3. Учебное пособие. Финансовый университет. 2014.
6. Luenberger D.G. Investment science. Oxford University Press, New York. 2013.
ON THE CHOICE OF AN OPTIMAL PORTFOLIO WITH
COMMISSION FOR THE MARKOWITZ MODEL
Al-Nator M.S.
Financial University under the Government of Russian Federation
[email protected]
The Markowitz model (portfolios without short positions) with commission is investigated.
We consider the classical problems of the choice of an optimal portfolio. It is shown that
under certain restrictions on the commission, these problems can be reduced to similar
problems without commission.
Кеу words: portfolio, expected portfolio return, portfolio risk, optimal portfolios, long
position, short position, Utility function.