Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан.

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан.
4 класс, финальный тур. 11 февраля 2016 года. Решения задач.
1. Двоечник Вася разорвал тетрадь на пять частей. Потом ему
показалось, что этого мало, и он разорвал одну из получившихся
частей ещё на пять частей, затем одну из получившихся частей —
ещё на пять частей, и так далее. Всего он сделал так десять раз.
Сколько частей получилось в итоге?
Ответ. 41 часть.
Решение. Каждый раз, когда Вася рвет какой-то кусок на пять частей,
общее количество кусков (частей) увеличивается на 4 (из одного куска
получается пять). Поскольку всего Вася делал так 10 раз, а изначально
был один кусок, в конце их будет 1+4×10=41.
2. Аня, Катя, Паша, Леша и Дима сидят на пяти стульях за круглым
столом. Аня и Паша сидят рядом, а Катя и Дима не сидят рядом
друг с другом. Определите двоих, кто сидит рядом с Лешей.
Ответ. Катя и Дима.
Решение. Если рядом с Лешей сидит кто-то из пары Аня и Паша, то
следующий за ним второй из этой пары. Остается два соседних места
для Кати и Димы – противоречие. Значит, рядом с Лешей не могут
сидеть ни Аня, ни Паша, то есть рядом с ним сидят Катя и Дима. А на
оставшихся двух соседних местах сидят Аня и Паша.
3. Две кошки, Маня и Даня, поймали вместе 42 мышки в течение трех
дней. Маня каждый день ловила в два раза больше мышек, чем в
предыдущий. А Даня каждый день ловил на две мышки больше, чем в
предыдущий. За все три дня обе кошки поймали одинаковое
количество мышей. Сколько мышей поймал Даня и поймала Маня в
первый день?
Ответ. Даня 5 мышей, Маня 3 мыши.
Решение. Так как кошки поймали поровну мышей, значит каждая из
них поймала по 21 мыши за три дня. Маня каждый день ловила в два
раза больше, чем в предыдущий. Если в первый день поймала х
мышей, то всего х + 2х + 4х = 7х = 21, откуда х = 3. Даня каждый день
ловил на две мыши больше, чем в предыдущий. Если он поймал у
мышей в первый день, то всего у него у + (у + 2) + (у + 4) = 3у + 6 = 21
мышей, откуда у = 5.
4. Разрежьте по сторонам клеток квадрат 3×3 на две части и
квадрат 4×4 на две части. И из получившихся четырех частей
сложите новый квадрат.
Решение. К примеру, так:
единственное!
. Это решение не
5. Алиса хочет сделать зелье роста. У нее есть два флакона весом 1 г
и 3 г и четыре компонента весом 6 г, 7 г, 8 г и 9 г. Чтобы сделать
зелье, нужен один флакон и два компонента. Вес зелья в Стране
Чудес рассчитывается как произведение весов флакона и
компонентов! Может ли Алиса сделать и унести два зелья, если она
не может поднять больше, чем 200 г?
Ответ. Может.
Решение. Если взять флакон весом 1 г, добавить компоненты весом 8 г
и 9 г и сделать зелье, а из оставшихся ингредиентов сделать второе
зелье, то общий вес двух зелий будет равен: 1×8×9+3×6×7=198.
Других решений нет.
6. Петя загадал трехзначное число и высказал про него пять
утверждений:
1) Первая цифра этого числа 1;
2) Вторая цифра – 2;
3) Третья цифра – 3;
4) Все цифры этого числа разные;
5) Цифры этого числа идут в порядке возрастания.
Известно, что ровно четыре из этих утверждений верны. Какое
утверждение ложно? И можно ли определить, что за число загадал
Петя? (Трехзначное число не может начинаться с нуля).
Ответ. Ложно утверждение 3). Определить загаданное число
невозможно.
Решение. Если предположить, что ложно утверждение 4) или 5), то
утверждения 1) – 3) должны быть верны, но в этом случае цифры все
разные и идут в порядке возрастания – противоречие. Значит,
утверждения 4) и 5) верны!
Предположим, что ложно утверждение 1), то есть первая цифра не 1.
Выясним, какая цифра может быть первой. Ноль не может быть на
первом месте. Цифра 2 также не может быть, т.к. все цифры числа
различны. И никакая цифра от 3 до 9 тоже не может быть первой, т.к.
тогда она стоит раньше цифры 2 (на втором месте) и, следовательно,
цифры идут не в порядке возрастания. Противоречие.
Допустим, ложно утверждение 2) и вторая цифра не 2. Выясним, какая
цифра может быть второй. 1 и 3 не могут быть т.к. все цифры разные, а
эти две у нас уже есть. Цифра 0 не может быть, так как она меньше 1.
Цифры от 4 до 9 не могут быть, т.к. они больше 3, а цифры должны быть
в порядке возрастания. Снова противоречие.
Следовательно, ложным может быть только утверждение 3) и третья
цифра не 3, Она может быть 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Во всех этих случаях
условия 4) и 5) выполнены. Таким образом, однозначно установить
загаданное число невозможно.