Квадратные неравенства

Квадратные неравенства
Квадратным неравенством или неравенством второй степени с
неизвестным х называются неравенства вида 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 или 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 < 0, где a, b, c – заданные числа, а0.
Существует два метода решения квадратных неравенств: графический и
аналитический.
При аналитическом методе решения находятся корни квадратного
трехчлена и он раскладывается на множители.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐=а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 – корни трехчлена 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Пусть а положительно и D>0, следовательно, неравенство 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 >
0 равносильно неравенству (х – х1)(х – х2)>0.
Точки х1 и х2 делят числовую ось на три интервала: ( - ∞; х1); (х1; х2); (х2;
+∞).
х1
х2
Множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: ( - ∞;
х1) и (х2; +∞).
Для неравенства 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 при а>0 и D>0 решением является
интервал (х1; х2).
При а<0 и D>0 решением неравенства 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 является
интервал (х1; х2), решением неравенства 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 - объединение
интервалов ( - ∞; х1) и (х2; +∞).
В случае когда а>0 и D=0 неравенство 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 можно
𝑏
переписать в виде 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )2 > 0, где х0=− - корень трехчлена 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
2𝑎
при х=х0 многочлен (𝑥 − 𝑥0 )2 = 0. При хх0 многочлен (𝑥 − 𝑥0 )2 принимает
положительные решения.
Следовательно, решением неравенства будет любое действительное х,
кроме х=х0: т.е х( - ∞; х0)(х0; +∞).
Неравенство 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 при а>0 и D=0 не имеет решений.
При D<0 действительных корней нет. Поэтому неравенства вида 𝑎𝑥 2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 или 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 или вообще не имеют решений, или
множеством решений является вся числовая прямая.
При графическом методе решения определяется одно из шести
возможных расположений графика – в зависимости от знаков старшего
коэффициента а и дискриминанта D.
D>0
D=0
D<0
a>0
a<0
Примеры решения задач
Пример 1. Решить неравенство 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 > 0.
Решение. Квадратное уравнение 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 имеет два корня х1=2 и
х2=3. а=1>0, следовательно, решением данного неравенства являются
интервалы ( - ∞; 2) и (3; +∞).
Ответ: ( - ∞; 2)(3; +∞)
Пример 2. Решить неравенство −3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 > 0.
Решение. Корнями квадратного уравнения −3𝑥 2 − 5𝑥 + 2=0 являются
1
числа – 2 и . а= - 3<0, следовательно, решением неравенства −3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 >
3
1
0 является интервал ( - 2; ).
3
1
Ответ: ( - 2; )
3
Пример 3. Решить неравенство 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 < 0.
Решение. D=(- 6)2 - 4·1·9=0. а=1>0, следовательно, неравенство не имеет
решений.
Ответ: 
Пример 4. Решить неравенство 5𝑥 2 − 6𝑥 + 2 > 0.
Решение. D=(- 6)2 - 4·5·2= - 4<0. Действительных корней нет. Однако,
функция 5𝑥 2 − 6𝑥 + 2 принимает положительные значения при любом х.
Следовательно, решением неравенства является вся числовая прямая.
Ответ: ( - ∞; +∞)
Пример 5. Решить неравенство 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 > 0.
Решение. Квадратное уравнение 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 имеет два различных
корня х1=2 и х2=3. Следовательно, квадратный трехчлен 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 можно
разложить на множители: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3).
Поэтому данное неравенство можно записать (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) > 0.
Произведение двух множителей положительно, если они имеют
одинаковые знаки:
𝑥 − 2 > 0,
1. х – 2>0 и x – 3>0. Эти неравенства образуют систему: {
.
𝑥−3>0
𝑥 > 2,
Решая систему, получаем {
, откуда 𝑥 > 3.
𝑥>3
𝑥 − 2 < 0,
2. х – 2<0 и x – 3<0. Эти неравенства образуют систему: {
.
𝑥−3<0
𝑥 < 2,
Решая систему, получаем {
, откуда 𝑥 < 2.
𝑥<3
Таким образом, решениями неравенства являются числа 𝑥 < 2 и 𝑥 > 3
или интервал ( - ∞; 2)(3; +∞).
Ответ: ( - ∞; 2)(3; +∞)
Упражнения
1. Решите неравенство:
1) 𝑥 2 − 4 > 0
2) 𝑥 2 − 1 ≤ 0
3) 𝑥 2 − 4 < 0
4) 𝑥 2 − 9 ≥ 0
5) 𝑥 2 + 3𝑥 < 0
6) −𝑥 2 + 7 < 0
7) 𝑥 2 − 2𝑥 > 0
8) 5 − 𝑥 2 ≥ 0
9) −2,1𝑥 2 + 10,5𝑥 < 0
1) 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 ≤ 0
2) −𝑥 2 + 3𝑥 + 18 ≥ 0
3) 𝑥 2 + 𝑥 − 2 < 0
4) 𝑥 2 + 3𝑥 + 5 ≥ 0
5) 𝑥 2 + 𝑥 − 1 ≤ 0
6) 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 > 0
7) 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 < 0
8) 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 < 0
9) 2𝑥 2 − 4𝑥 − 6 ≥ 0
2) 𝑥 2 + 12𝑥 ≥ −36
3) 9𝑥 2 + 25 < 30𝑥
10) −3,6𝑥 2 − 7,2𝑥 < 0
2. Решите неравенство:
10) 2 − 𝑥 − 𝑥 2 > 0
3. Решите неравенство:
1) 2𝑥 2 − 8𝑥 ≤ −8
4) 16𝑥 2 + 1 > 8𝑥
5) 𝑥 2 + 𝑥 ≤ 1
6) 𝑥 2 − 3 > −2𝑥
7) 2𝑥 2 < −𝑥 − 2
8) 𝑥 2 > 3𝑥 − 2
9) 2𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 6
1)
2)
3) 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 ≥ 0
4)
5)
6) 𝑥 6 + 𝑥 3 + 1 > 0
7)
8) 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 8 < 0
9)
10) 2 − 𝑥 > 𝑥 2
4. Решите неравенство:
10)
5. Решите неравенство:
1) (𝑥 2 − 5𝑥 + 6)(𝑥 2 − 1) > 0
2) (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 𝑥 − 12) > 0
3) (𝑥 2 − 7𝑥 + 12)(𝑥 2 − 𝑥 + 2) ≤ 0
4) (𝑥 − 3)(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) > 0
5) (𝑥 2 − 3𝑥 − 4)(𝑥 2 − 2𝑥 − 15) ≤ 0
6) (𝑥 2 − 3𝑥 − 4)(𝑥 2 + 𝑥 − 2) < 0
7) (𝑥 2 − 3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3𝑥 + 1) < 10
8) (𝑥 2 + 3𝑥 + 1)(𝑥 2 + 3𝑥 + 3) < 35
9) (𝑥 2 − 3𝑥)(𝑥 2 − 3𝑥 − 10) < 24
10)
6. Решите неравенство:
1)
4)
7)
4𝑥 2 −4𝑥−3
𝑥+3
x2 −x−12
x−1
>0
𝑥 2 +3𝑥−10
10)
≥0
𝑥 2 +𝑥−2
𝑥 2 −3𝑥−4
𝑥 2 +𝑥−6
≤0
≥0
2)
5)
8)
2𝑥 2 −3𝑥−2
𝑥−1
3𝑥 2 −5𝑥−8
2𝑥 2 −5𝑥−3
𝑥 2 −2𝑥−3
2(4−𝑥)
<0
3)
>0
6)
≤0
9)
x2 −4x−12
x−2
4𝑥 2 +𝑥−3
5𝑥 2 +9𝑥−9
2+7𝑥−4𝑥 2
3𝑥 2 +2𝑥−1
<0
<0
≤0
Применение графиков к решению неравенств второй степени
Квадратичная функция задается формулой 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где а0.
Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей
квадратичной функции и промежутков, на которых функция принимает
положительные или отрицательные значения.
Примеры решения задач
Пример 1. Решить неравенство 𝑥 2 + 𝑥 + 1 > 0.
Решение. Пользуясь методом выделения полного квадрата, получим 𝑥 2 +
1
3
𝑥 + 1 = (𝑥 + )2 + . Следовательно, график трехчлена 𝑥 2 + 𝑥 + 1 представляет
2
4
собой параболу у=х2, сдвинутую параллельно так, что ее вершина окажется в
1 3
точке А(− ; ).
2 4
Данная парабола вся расположена выше оси Ох, т.е. y>0 для всех х или
𝑥 + 𝑥 + 1 > 0 для всех х.
2
Т.е. х( - ∞; +∞).
Ответ: х( - ∞; +∞)
Пример 2. Решить неравенство 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 > 0.
Решение. Ветви параболы 𝑦 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 направлены вверх.
1
Уравнение 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0 имеет один корень 𝑥 = − , поэтому парабола
2
1
касается оси Ох в точке (− ; 0).
2
Из рисунка видно, что неравенству 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 > 0 удовлетворяют все
1
действительные числа х, кроме 𝑥 = − .
2
1
1
2
2
Ответ: ( - ∞; − )( − ; +∞)
Пример 3. Решить графически неравенство 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≤ 0.
Решение. График квадратичной функции 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 - парабола,
ветви которой направлены вверх.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого решим
квадратное уравнение 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0. Корни этого уравнения: 𝑥1 =
1+√1+8
4
=
1−√1+8
1, 𝑥1 =
= −0,5. Следовательно, парабола пересекает ось Ох в точках
4
х= - 0,5 и х=1.
Неравенству 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≤ 0 удовлетворяют те значения х, при которых
значения функции равны нулю или отрицательны, т.е. те значения х, при
которых точки параболы лежат на оси Ох или ниже этой оси. Из рисунка видно,
что этими значениями являются все числа из отрезка [ - 0,5: 1].
Ответ: [ - 0,5: 1].
Упражнения
1. Используя график функции, укажите, при каких х эта функция принимает
положительные значения; отрицательные значения; значения, равные нулю:
1)
4)
2)
3)
5)
6)
9)
7)
8)
10)
2. Решите графически неравенство:
1) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 > 0
2) 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 > 0
3) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 > 0
4) −𝑥 2 + 4𝑥 − 4 ≥ 0
5) −𝑥 2 + 𝑥 − 1 < 0
6) 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 ≤ 0
7) −𝑥 2 + 4𝑥 − 4 < 0
8) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0
9) −𝑥 2 − 2𝑥 + 1 < 0
10) 4𝑥 2 + 𝑥 + 3 > 0