Рациональные неравенства Неравенства вида 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) > 0 или 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) < 0 называются рациональными неравенствами. Решить неравенство – значит найти все его решения. Любое решение неравенства 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) > 0 будет решением неравенства А(х)·В(х)>0 и обратно, любое решение неравенства А(х)·В(х)>0 будет решением 𝐴(𝑥) неравенства > 0. 𝐵(𝑥) Подобные неравенства решаются базируется на следующей теореме: методом интервалов, который Пусть функция f(x) непрерывна на всей числовой оси и обращается в нуль в точках х1, х2, …, xn, причем x1<x2<…<xn. Тогда на каждом из интервалов (- ∞; x1), (x1; x2), …, (xn; +∞) функция f(x) сохраняет знак. При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно: 1. все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно-рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю; 2. найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0; 3. нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак; 4. определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем); 5. определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется; 6. множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя. Неравенства вида 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≥ 0 или 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≤ 0 называются нестрогими рациональными неравенствами. В силу определения знака нестрого неравенства справедливо или 𝐴(𝑥) числовое неравенство > 0, или числовое равенство 𝐴(𝑥) = 0, при условии 𝐵(𝑥) что B(x)0. Следовательно, множеством решений неравенства объединение множества решений неравенства 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≥ 0 есть > 0 и множества всех решений уравнения равенство 𝐴(𝑥) = 0, при условии что B(x)0. Примеры решения задач Пример 1. Решить неравенство 𝑥−3 𝑥−2 > 0. Решение. Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов: ( - ∞; 2) и (3; +∞). + - + 2 3 Ответ: ( - ∞; 2)(3; +∞) Пример 2. Решить неравенство 𝑥−1 𝑥 2 −2𝑥 < 0. Решение. Разложив многочлен 𝑥 2 − 2𝑥 на множители, получаем 𝑥−1 < 0. (𝑥−0)(𝑥−2) Применим метод интервалов: - + 0 - + 1 2 Отсюда множество решений состоит из интервалов ( - ∞; 0) и (1; 2). Ответ: ( - ∞; 0)(1; 2) Пример 3. Решить неравенство (𝑥+1)(𝑥−5) 𝑥(𝑥−1) < 0. Решение: корнями данного неравенства являются числа - 1, 5, 0 и 1. Отметим их на числовом луче и расставим знаки: Ответ: ( - 1; 0)(1; 5) Пример 4. Решить неравенство Решение: 𝑥 2 +𝑥−2 5−2𝑥 > 0. преобразуем левую часть: 𝑥 2 +𝑥−2 5−2𝑥 = (𝑥+2)(𝑥−1) 2(𝑥−2,5) . Корнями являются числа - 2, 1, и 2,5. Отметим их на числовом луче и расставим знаки: Ответ: ( - ∞; - 2)(1; 2,5) Пример 5. Решить неравенство (𝑥+2)(𝑥−4) (𝑥+3)𝑥 ≤ 0. Решение. Решим уравнение (𝑥+2)(𝑥−4) (𝑥+3)𝑥 = 0. Оно имеет корни х1= - 2 и х2=4. Решим неравенство (𝑥+2)(𝑥−4) (𝑥+3)𝑥 < 0. Применяя метод интервалов, найдем, что множество всех решений составляют два интервала ( - 3; - 2) и (0; 4). + - + -3 -2 0 + 4 Объединяя решения уравнения и неравенства, получаем, что множество всех решений исходного неравенства составляют два полуинтервала ( - 3; - 2] и (0; 4]. Ответ: ( - 3; - 2](0; 4] Упражнения 1. Решите неравенство: 1) 4) 7) 𝑥−4 𝑥+3 <0 0,3−3𝑥 0,1𝑥 𝑥−6 2𝑥−1 2) <0 <0 𝑥−2 >0 𝑥+5 3) 5) 6) 8) 9) 5𝑥−1 0,2−𝑥 >0 10) 2. Решите неравенство: −2 (𝑥+2)(𝑥−3) 2) (𝑥−1)(𝑥−2)(3−𝑥) ≤ 0 (5−2𝑥)(𝑥+3) 5) (4−𝑥)(2𝑥+1) ≥ 0 1) (𝑥+3)(𝑥−2) < 0 4) (2𝑥−7)(6−5𝑥) ≤ 0 𝑥 7) (3𝑥+1)(3𝑥−1) < 0 10) (𝑥+3)(𝑥−5) 𝑥+1 3) 𝑥−7 6) 3 9) 8) (1−𝑥)(2−𝑥) ≥ 0 ≤0 3. Решите неравенство: 1) 4) 𝑥 𝑥 2 −1 ≤0 𝑥 3 (𝑥−3) (𝑥+1)2 >0 2) 5) 𝑥 2 +5𝑥 3−6𝑥 𝑥 2 −81 6−𝑥 <0 3) ≥0 6) 𝑥 2 (𝑥+2) (𝑥−1)2 24−6𝑥 2 2𝑥+5 >0 >0 7) (𝑥 2 +𝑥+2)(2−𝑥)2 ≥0 (3−𝑥)(𝑥−6) (𝑥+1)(𝑥 2 +1) 8) (2𝑥−1)(𝑥 2 +𝑥+1) ≥0 9) 49−𝑥 2 ≤0 𝑥+3 (𝑥−4)2 10) (𝑥−2)(𝑥+3) ≤ 0 4. Решите неравенство: 1 5 𝑥 𝑥+2 1) + 4) 7) 1 𝑥+3 𝑥 𝑥−1 10) 2) >1 ≤1 − 𝑥 𝑥+1 5) 2 𝑥+1 + < 𝑥+1 𝑥 8 𝑥 2 −1 ≤ 8) 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥−2 ≤2 3) 3 3 𝑥 𝑥−2 + > 9 2𝑥+2 + 𝑥 𝑥−1 ≥ 1−3𝑥 2−2𝑥 6) 9) 1 𝑥−1 4−𝑥 𝑥−5 1 𝑥+2 <1 > < 1 1−𝑥 3 𝑥−3 13 6 5. Решите неравенство: 37−2𝑥 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1 + 7) 8) 9) 2) 3) 5) 6) 8) 9) 10) 6. Решите неравенство: 1) 4) 7) 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑥 2 +3𝑥+2 ≥1 𝑥 2 −7𝑥+12 𝑥 2 −11𝑥+30 7𝑥−12−𝑥 2 2𝑥 2 −𝑥−3 10) >0 <0 3 +9≤ 𝑥−4 𝑥−3 > 3𝑥−8 𝑥−2 𝑥−1 4 −𝑥 Системы рациональных неравенств Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы. Примеры решения задач (𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7) < 0, Пример 1. Решить систему неравенств { . (𝑥−2)(𝑥−3) >0 𝑥−4 Решение. Решим вначале неравенство (𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7) < 0/ Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов ( - ∞; 1) и (5; 7). - + 1 Теперь решим неравенство 5 7 (𝑥−2)(𝑥−3) 𝑥−4 + > 0. Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений неравенства состоит из двух интервалов (2; 3) и (4; +∞). - + 2 3 + 4 Найдем общую часть решения этих неравенств. На координатной оси отметим все решения. 1 2 3 4 5 7 Из рисунка видно, что общей частью решения неравенств является интервал (5; 7). Следовательно, множество всех решений системы неравенств составляет интервал (5; 7). Ответ: (5; 7) 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 < 0, Пример 2. Решить систему неравенств { 𝑥 9−𝑥 3 +𝑥+2 . >0 4 2 𝑥 −𝑥 +1 Решение. Решим сначала неравенство 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 < 0. Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что 𝑥 2 − 6𝑥 + 10=(𝑥 − 3)2 + 1. Поэтому неравенство можно записать в виде (𝑥 − 3)2 + 1 < 0, откуда видно, что оно не имеет решения. Следовательно, система неравенств также не имеет решения. Ответ: Упражнения 1. Решите систему неравенств: 1) { 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 > 0, 𝑥 2 −4 𝑥 2 −1 >0 𝑥 2 −6𝑥+5 4) { −3𝑥 2 +2𝑥−7 > 0, 𝑥 2 < 16 2) { 𝑥 2 + 𝑥 + 1 < 0, 𝑥 2 −5 𝑥+9 3𝑥 2 −5𝑥−1 5) { 𝑥 2 +4 9𝑥−2 3 7) 10) >0 8) 𝑥 2 +𝑥 3) {𝑥 2 +5𝑥+6 𝑥+5 𝑥−1 < 1, >2 6) 1 3 9) > 0, <0