Линейные неравенства

Линейные неравенства
Линейным неравенством называется неравенство вида ax+b>0 (или
ax+b<0).
Неравенство a>b означает, что разность a – b положительна, т.е. a – b>0.
Неравенство a<b означает, что разность a – b отрицательна, т.е. a – b<0.
Решая неравенство вида ax+b>0, получим: ax> - b.
Возможны три случая:
𝑏
1. a>0, тогда x>− ;
𝑎
𝑏
2. a<0, тогда х<− ;
𝑎
3. а=0, b0 – решений нет; b>0, то хR.
Основные свойства неравенств
1. Если a>b, то b<a.
2. Если a>b и b>c, то a>c.
3. Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них одно и
тоже число, то знак неравенства не изменится: если a>b, то a+с>b+с и a - с>b –
с для любого числа с.
4. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства
в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак
неравенства не меняется.
5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже
положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части
неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то
знак неравенства изменится на противоположный.
Если a>b, то 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 и
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
при 𝑐 > 0, 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 и
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
при 𝑐 < 0
Сложение неравенств
Неравенства одинакового знака можно складывать, при этом получается
неравенство того же знака: если a>b и c>d, то a+c>b+d.
Умножение неравенств
Неравенства, у которых левые и правые части положительны, можно
перемножать, при этом получается неравенство того же знака: если a>b, c>d и
a, b, c, d – положительные числа, то ac>bd.
Возведение неравенства в степень
Неравенства, у которых левые и правые части положительны, можно
возводить в натуральную степень, при этом получается неравенство того же
знака: если a>b>0, то an>bn при любом натуральном n.
Строгие неравенства
Строгие неравенства – неравенства со знаками > или <.
Например, 5>3, x<1.
Нестрогие неравенства
Нестрогие неравенства – неравенства со знаками  или . Нестрогое
неравенство ab означает, что a>b или a=b.
Неравенство с одним неизвестным
Неравенство с одним неизвестным – это неравенство, содержащее
неизвестное число, обозначенное буквой.
Неравенства ax>b, ax<b, axb, axb, в которых а и b – заданные числа, а х
– неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
или неравенствами первой степени.
Например, 3х+4<5х – 2.
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение
неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое
значение.
Например, число 3 является решением неравенства х+1>2 – х, так как
3+1>2 – 3.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или
установить, что их нет.
Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к
линейному, нужно:
1. перенести члены, содержащие неизвестные, в одну часть, а члены, не
содержащие неизвестное, в другую (при этом изменив знак на
противоположный);
2. приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на
коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (при этом знак
неравенства остается тот же, если коэффициент положителен и меняется на
противоположный, если коэффициент отрицательный).
Примеры решения задач
Пример 1. Решить неравенство х+1>7 – 2х.
Решение. перенесем известные в одну часть неравенства, а неизвестные –
в другую: х+2x>7 – 1  3x>6  x>2.
Ответ: (2; +∞)
Пример 2. Решить неравенство 3(𝑥 − 2) − 4(𝑥 = 1) < 2(𝑥 − 3) − 2.
Решение. Раскроем скобки: 3𝑥 − 6 − 4𝑥 − 4 < 2𝑥 − 6 − 2.
Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не
содержащие неизвестное, в правую: 3𝑥 − 4𝑥 − 2𝑥 < 6 + 4 − 6 − 2.
2
Приведем подобные члены: - 3x<2 и разделим обе части на – 3: 𝑥 > − .
3
2
Ответ: (− ; +∞)
3
Пример 3. Решить неравенство
𝑥−5
6
+1≥
5𝑥
2
−
𝑥−3
3
.
Решение. Умножим обе части неравенства на 6:
6∙
𝑥−5
6
+6∙1≥6∙
5
5𝑥
2
−6∙
𝑥−3
3
 x – 5+615x – 2x+6  x+113x+6 
- 12x5, 𝑥 ≤ − .
12
5
Ответ: (−∞; − ]
12
Пример 4. Решить неравенство 2(𝑥 + 1) + 5 > 3 − (1 − 2𝑥).
Решение. Упростим обе части неравенства:
2х+2x+5>3 – 1+2x  2x+7>2+2x  2x – 2x>2 - 7 0·x>- 5.
Последнее неравенство является верным при любом значении х.
следовательно, х( - ∞; +∞).
Ответ: х( - ∞; +∞)
Упражнения
1. Решите неравенство:
1) 3𝑥 + 5 > 0
2) 5 − 4𝑥 < 6
3) 3 ≤ 𝑥 + 6
4) 2𝑥 ≥ 𝑥 − 7
5) 4 − 3𝑥 < 7
6) 𝑥 + 2 ≥ 15
7) −4 > 5 − 𝑥
8) 3𝑥 ≤ 2𝑥 + 4
9) 4𝑥 + 3 > 0
10) 𝑥 − 6 < 8
2. Решите неравенство:
1) 4𝑥 + 6 ≤ 2𝑥 − 8
2) 𝑥 + 3 < 3𝑥 − 7
3) 6 − 𝑥 ≥ 5𝑥 − 12
4) 3𝑥 + 12 ≤ 14 − 5𝑥
5) 7𝑥 − 3 ≤ 7𝑥 − 19
6) 3𝑥 + 7 ≤ 𝑥 − 5
7) 𝑥 + 2 < 2𝑥 − 6
8) 4 − 𝑥 ≥ 3𝑥 − 8
9) 3𝑥 − 4 > 𝑥 + 4
10) 𝑥 + 10 ≤ 16 − 3𝑥
3. Решите неравенство:
1) 3𝑥 + 5 ≥ 9𝑥 − (5 − 2𝑥)
2) 1 − 𝑥 ≤ 6𝑥 − (3𝑥 − 1)
3) 2𝑥 − 3(𝑥 + 4) < 𝑥 − 12
4) 𝑥 − 5(𝑥 − 4) > 6𝑥 + 20
5) 5(2𝑥 − 1) − 1 > 3 − 6𝑥
6) 2(3𝑥 + 1) − 1 < 7 + 8𝑥
7) 3(𝑥 + 1) ≤ 𝑥 + 5
8) 𝑥 + 2 < 3(𝑥 + 2) − 4
9) 4(𝑥 − 1) ≥ 5 + 𝑥
10) 2(𝑥 − 3) + 4 < 𝑥 − 2
4. Решите неравенство:
1)
3)
5)
7)
2𝑥−7
6
2𝑥−1
5
3𝑥+6
4
4−3𝑥
2
9) 8 +
+
7𝑥−2
≤3−
3
𝑥
𝑥+2
4
2
−
8𝑥+1
4
>
2
4)
5
6)
< 15𝑥 − 6
6
3𝑥−2
2)
3𝑥+1
−4<𝑥−
− >
1−𝑥
𝑥−1
6
−
8)
5𝑥+4
4𝑥+13
10
𝑥+1
2
𝑥−4
3
3
5−2𝑥
≥
4
− 2𝑥 ≤
𝑥−2
3
2
−
3𝑥+1
4
2𝑥
5
>
6−7𝑥
20
+
3
4
5
𝑥
5𝑥−2
2
3
− <
2
𝑥+1
3𝑥−2
−1
𝑥
𝑥
+ 3𝑥 ≥ −
2𝑥−1
10)
−
−
+
𝑥
4
3𝑥
5
5. Решите двойное неравенство:
1) 0 < 4𝑥 + 3 < 1
4) 0,15 <
7−5𝑥
6
≤1
4
1−3𝑥
7
4
2) <
4
9
7) 4<x+6<12
≤ 11,5
3) −2 < 6𝑥 + 7 < 1
5) – 3<4 – x6
6) 53x –4<8
8) −3 < 2𝑥 − 1 < 3
9) −12 < 5 − 𝑥 < 17
10) 2 < 6 − 2𝑦 < 5
6. При каких значениях х верно неравенство:
1) −2𝑥 > 0
2) −3𝑥 < 0
3) 𝑥 2 + 1 ≥ 0
4) 2𝑥 2 + 3 ≤ 0
5) (𝑥 − 1)2 ≤ 0
6) (𝑥 + 2)2 > 0
7)
8)
9)
10)
7. Решите задачу:
1) Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183
контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5
контейнеров?
2) Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен
изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7%?
3) Каким наименьшим целым числом сантиметров может быть третья сторона
треугольника, если одна из сторон равна 8 см, а вторая – 13 см?
4) Сумма нечетного числа с тремя последующими нечетными числами больше
49. Найдите наименьшее нечетное число, удовлетворяющее этому условию.
5) Сумма четного числа с утроенным последующим четным числом меньше 69.
Найдите наибольшее четное число, удовлетворяющее этому условию.
6) Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой
стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со
стороной 4 см?
7) Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм.
Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объем был меньше
объема куба с ребром 9 дм?
8) Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны
вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние
могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в
стоячей воде 18 км/ч?
9)
10)
8. Решите неравенство:
1) (17 − 2𝑥)(12 − 𝑥) > 0
2) (3𝑥 − 4)𝑥 ≤ 0
3) 𝑥(𝑥 + 7) ≤ 0
4) (8 − 0,5𝑥)(3 + 0,2𝑥) < 0
5) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) < 0
6) (5 − 𝑥)(1 + 𝑥) > 0
7) 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ≥ 0
8) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) < 0
9) (𝑥 − 2)(3 − 𝑥) > 0
10) 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) ≥ 0
9. При каких значениях у:
1) значения дроби
7−2𝑦
2) значения дроби
4,5−2𝑦
6
больше соответствующих значений дроби
5
3𝑦−7
?
12
меньше соответствующих значений дроби
2−3𝑦
10
3) значения двучлена 5𝑦 − 1 больше соответствующих значений дроби
4) значения дроби
5) сумма дробей
5−2𝑦
12
2𝑦−1
4
6) разность дробей
и
7) значения дроби
3𝑦−8
8) значения дроби
𝑦+1
12
3
3𝑦−1
4
?
меньше соответствующих значений двучлена 1 − 6𝑦?
𝑦−1
3
3𝑦−1
2
?
и
положительна?
1+5𝑦
4
отрицательна?
больше соответствующих значений дроби
меньше соответствующих значений дроби
𝑦−1
4
?
2𝑦+3
6
?
9)
10)
Применение графиков к решению линейных неравенств
Рассмотрим в декартовой системе координат прямую 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
𝑏
Точка пересечения с осью Ох - 𝑥0 = − .
𝑘
Решить неравенство 𝑘𝑥 + 𝑏 > 0 - это значит найти все решения х,
которых прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 расположена выше оси Ох.
При k>0 прямая расположена выше оси Ох для всех х из интервала
(х0; +∞) и расположена ниже для всех х, находящихся левее точки х0, т.е. для
всех х из интервала ( - ∞; х0).
Т.е. при k>0 неравенство 𝑘𝑥 + 𝑏 > 0 выполняется на интервале (х0; +∞), а
неравенство 𝑘𝑥 + 𝑏 < 0 выполняется на интервале ( - ∞; х0).
При k<0 прямая расположена выше оси Ох для всех х из интервала ( - ∞;
х0) и расположена ниже для всех х, находящихся левее точки х0, т.е. для всех х
из интервала (х0; +∞).
Т.е. при k<0 неравенство 𝑘𝑥 + 𝑏 > 0 выполняется на интервале ( - ∞; х0), а
неравенство 𝑘𝑥 + 𝑏 < 0 выполняется на интервале (х0; +∞).
Примеры решения задач
Пример 1. Решить графически неравенство 2x+1>0.
1
1
Решение. 𝑥0 = − . у0=0. Точка (− ; 0) – точка пересечения прямой
2
2
2х+1=у с осью Ох.
При х=0 у=1 – точка пересечения с осью Оу.
Через полученные точки проводим прямую.
1
Исходя из графика, неравенство 2x+1>0 выполняется на интервале (− ; +∞).
2
1
Ответ: (− ; +∞)
2
Упражнения
1. Решить графически неравенства:
1) 2𝑥 + 5 < 0
2) −𝑥 + 5 > 0
3) −2𝑥 − 7 > 0
4)
5) – 𝑥 − 4 > 0
6) 3𝑥 + 4 < 0
7)
8)
9) −3𝑥 + 2 < 0
10)
Системы линейных неравенств
Система неравенств с одним неизвестным – это несколько неравенств,
содержащих одно и то же неизвестное число и рассматриваемое совместно.
3 − 2𝑥 ≥ 0,
Например, {
.
4𝑥 + 8 < 0
Решение системы неравенств – это значение неизвестного, при котором
все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств – это значит найти все ее решения или
установить, что их нет.
2𝑥 ≥ −4,
Например, х=1 является решением системы {
.
3𝑥 ≤ 9
Решениями систем линейных неравенств с одним неизвестным являются
различные числовые множества.
Если a<b, то множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам axb,
называется отрезком и обозначается [a; b].
Если a<b, то множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a<x<b,
называется интервалом и обозначается (a; b).
Множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам ax<b или a<xb,
называются полуинтервалами и обозначаются [a; b) или (a; b].
Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми
промежутками.
Примеры решения задач
5𝑥 − 1 > 3(𝑥 + 1),
Пример 1. Решить систему неравенств {
.
2(𝑥 + 4) > 𝑥 + 5
Решение. Решим первое неравенство: 5𝑥 − 1 > 3𝑥 + 3, 2x>4, x>2.
Решим второе неравенство: 2x+8>x+5, x> - 3.
Изобразим на числовой оси множества решений первого и второго
неравенства системы:
Из рисунка видно, что множество всех общих точек – луч x>2.
Ответ: (2; +∞)
3(𝑥 − 1) ≤ 2𝑥 + 4,
Пример 2. Решить систему неравенств {
.
4𝑥 − 3 ≥ 13
Решение. Решим первое неравенство: 3x - 32x+4, x7.
Решим второе неравенство: 4x16, x4.
Изобразим на числовой оси множества решений первого и второго
неравенства системы:
Из рисунка видно, что множество всех общих точек – отрезок [4; 7].
Ответ: [4; 7]
5𝑥
4
+ ≥
𝑥+1
,
3
3
Пример 3. Решить систему неравенств {12 5𝑥
2−𝑥 .
2− <
14
2
Решение. Решим первое неравенство: 5x+164x+4, x - 12.
Решим второе неравенство: 28 - 5x<14 – 7x, x< - 7.
Изобразим на числовой оси множества решений первого и второго
неравенства системы:
Из рисунка видно, что множество всех общих точек – полуинтервал
( - 12; - 7].
Ответ: ( - 12; - 7]
Упражнения
1. Запишите все решения системы неравенств двойным неравенством:
𝑥 > 3,
𝑥<6
3) {
𝑥 < 0,
𝑥 ≥ −2
4) {
𝑥 ≥ 0,
𝑥 < 0,5
𝑥 < 1,5,
𝑥 ≥ −1,5
7) {
𝑥 ≥ 0,8,
𝑥 < 2,2
8) {
𝑥 ≤ 7,
𝑥 > −3
1) {
𝑥 > 2,
𝑥<5
2) {
5) {
𝑥 ≤ −2,
𝑥 ≥ −7,5
6) {
𝑥 ≤ 7,5
𝑥 ≥ −0,5
𝑥 < 5,
10) {
𝑥 > −3
9) {
2. Решите систему неравенств:
1) {
2𝑥 ≥ 8,
𝑥 < 10
2) {
−4𝑥 ≤ −12,
3𝑥 ≤ 15
3) {
𝑥 ≤ 4,
−𝑥 > −6
4) {
−4𝑥 < −16,
𝑥 ≥ 23
5) {
3𝑥 < 18,
2𝑥 ≥ 6
6) {
2𝑥 < 14,
𝑥≥3
7) {
2𝑥 ≥ 18,
−3𝑥 > −21
8) {
𝑥 ≤ 7,
𝑥 > −3
9) {
−5𝑥 < −35,
𝑥≥9
−4𝑥 ≤ −12,
10) {
3𝑥 ≤ 15
3. Решите двойное неравенство:
1) −3 < 2𝑥 − 1 < 3
3) −1 ≤
4−𝑥
3
2) −1 < 5𝑥 + 4 < 19
4) −1 ≤ 15𝑥 + 14 < 44
≤5
4𝑥−1
5) −12 < 5 − 𝑥 < 17
6) −2 <
7) −1,2 < 1 − 2𝑥 < 2,4
8) 2 < 6 − 2𝑥 < 5
9) −1 ≤
6−𝑥
3
≤1
10) −2 ≤
3
≤0
3𝑥−1
8
≤0
4. Решите систему неравенств:
1) {
2𝑥 + 5 > 0,
3𝑥 + 6 ≥ 0
2) {
3 − 2𝑥 ≥ 0,
4𝑥 + 8 < 0
3) {
2𝑥 + 4 ≤ 0,
4 − 3𝑥 > 0
4) {
2𝑥 + 7 ≥ 0,
5𝑥 + 15 > 0
5) {
2𝑥 + 3 ≤ 0,
3𝑥 + 9 ≤ 0
6) {
2𝑥 − 9 < 0,
12 − 3𝑥 > 0
7) {
3𝑥 − 18 > 0,
4𝑥 − 12 > 0
8) {
7 − 2𝑥 ≥ 0,
5𝑥 − 20 < 0
9) {
2𝑥 + 5 ≤ 0,
9𝑥 + 18 < 0
7𝑥 − 17 ≥ 0,
10) {
2𝑥 − 8 ≥ 0
5. Решите систему неравенств:
1) {
𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 + 2,
3𝑥 + 5 ≤ 𝑥 + 1
2) {
3𝑥 + 2 > 𝑥 − 2,
𝑥 + 15 > 6 − 2𝑥
3) {
3𝑥 − 4 < 8𝑥 + 6,
32𝑥 − 1 > 5𝑥 − 4
4) {
57 − 7𝑥 > 3𝑥 − 2,
22𝑥 − 1 < 2𝑥 + 47
5) {
3𝑥 − 2 ≥ 𝑥 + 1,
4 − 2𝑥 ≤ 𝑥 − 2
6) {
5𝑥 − 2 ≥ 2𝑥 + 1,
2𝑥 + 3 < 18 − 3𝑥
7) {
3𝑥 + 3 ≤ 2𝑥 + 1,
3𝑥 − 2 ≤ 4𝑥 + 2
8) {
4𝑥 + 2 ≥ 5𝑥 + 3,
2 − 3𝑥 < 7 − 2𝑥
9) {
4𝑥 + 5 > 𝑥 + 17,
𝑥 − 1 > 2𝑥 − 3
1 − 12𝑥 < 3𝑥 + 1,
10) {
2 − 6𝑥 > 4 + 4𝑥
6. Решите систему неравенств:
𝑥 > 8,
1) { 𝑥 > 7,
2𝑥 > −8
𝑦 < −1,
2) {𝑦 < −5,
𝑦<4
𝑚 > 9,
3) {𝑚 > 10,
𝑚 < 12
𝑥 < 6,
4) {𝑥 < 5,
𝑥<1
𝑥 < 0,
5) {−𝑥 > −1,
4𝑥 < 8
– 𝑥 < 3,
6) {2𝑥 > 10,
𝑥 < −10
4𝑥 > 1,
7) {5𝑥 > 0,
𝑥>9
8) {
9) {
3𝑥 > −9,
10) { 𝑥 < −2,
−2𝑥 > 10
7. Решите систему неравенств:
2𝑥 + 1 ≥ 0,
𝑥 < 3𝑥 − 1,
5𝑥 − 6 > 5𝑥 + 6
5𝑥 + 12 ≤ 5𝑥 + 20,
1) {
𝑥 < 2𝑥 + 3,
2𝑥 + 7 ≥ 0
2) {
2𝑥 − 1 > 3 − 5𝑥,
3) { 3𝑥 + 2 > 3 − 4𝑥,
−3𝑥 + 5𝑥 < 2𝑥 + 5
3𝑥 − 5 > 𝑥 − 3,
4) {2𝑥 + 4 < 3𝑥 + 5,
7 − 2𝑥 > 𝑥 − 2
𝑥 − 4 < 8,
5) {2𝑥 + 5 < 13,
3−𝑥 >1
2𝑥 − 1 < 𝑥 + 3,
6) {5𝑥 − 1 > 6 − 2𝑥,
𝑥−5<0
3 − 2𝑥 < 13,
7) { 𝑥 − 1 > 0
5𝑥 − 35 < 0
8) {
9) {
6 − 4𝑥 < 2,
10) { 6 − 𝑥 > 2,
3𝑥 − 1 < 8
8. Решите систему неравенств:
1) {
2(𝑥 + 8) < −4(𝑥 + 11),
0,5(8𝑥 − 20) < 7(𝑥 − 7) + 9
2) {
2(𝑥 − 1) − 3 < 5(2𝑥 − 1) − 7𝑥,
3(𝑥 + 1) − 2 ≤ 6(𝑥 − 1) + 7𝑥
3) {
5(𝑥 + 1) − 𝑥 > 2𝑥 + 2,
4(𝑥 + 1) − 2 ≤ 2(2𝑥 + 1) − 𝑥
4) {
2(𝑥 − 1) − 3 < 5(2𝑥 − 1) − 7𝑥,
3(𝑥 + 1) − 2 ≤ 6(1 − 𝑥) + 7𝑥
5) {
10(𝑥 − 1) + 11 > 4𝑥 + 5(𝑥 + 1),
3𝑥 − 5 > 2(𝑥 − 1)
6) {
5(𝑥 + 1) ≤ 3(𝑥 + 3) + 1,
2(2𝑥 − 1) ≤ 7(𝑥 + 1)
7) {
9) {
17(3𝑥 − 1) − 50𝑥 + 1 < 2(𝑥 + 4),
2(2𝑥 + 1) + 𝑥 > 3(𝑥 − 1) + 4,
8) {
12 − 11𝑥 < 11𝑥 + 10
4(2𝑥 − 1) ≥ 3(3𝑥 − 2)
5(𝑥 + 1) − 𝑥 > 2𝑥 + 2,
4(𝑥 + 1) − 2 ≤ 2(2𝑥 + 1) − 𝑥
4(𝑥 − 5) ≤ 6(3𝑥 − 1),
10) {
5(𝑥 + 2) > 3(𝑥 + 3)
9. Решите систему неравенств:
1) {
1−𝑥
1−
2
2−
7𝑥−3
4) {
2
𝑥+2
3
2−5𝑥
7) {
𝑥+8
4
5+5𝑥
3
,
2) {
>0
10𝑥−1
≥
3
3+7𝑥
4
𝑥
5) {
2−
10𝑥−1
,
3) {
≤6
3+2𝑥
3
>
−
3𝑥−5
6
5+4𝑥
5
,
>1−
𝑥
3− <𝑥
𝑥+3
3
8) { 𝑥−1
2
+
−
𝑥+2
2
𝑥−2
3
3
2𝑥+1
2
𝑥+6
2
2𝑥−5
,
6) {
4
4𝑥 − 1 − < 10,
3
10) {
4𝑥−1
𝑥−
< 10
3
2
5𝑥−6
≥2−𝑥
−
𝑥+10
3𝑥 >
4
< 𝑥 + 1,
4
2𝑥+1
2
<4−
< 𝑥,
≥
1
2
−
≥
5
9) {
+
5
5+𝑥
2
4
3+7𝑥
4
>
−
3
4−𝑥
5−3𝑥
2
5+4𝑥
5
,
4
9+𝑥
+
<
3−𝑥
−2<
4
5𝑥+1
𝑥+12
2−5𝑥
≥ 𝑥 + 2,
6
15−𝑥
7
<𝑥
,