Моменты инерции

ГОУ ДОД «ПОИСК»
С.А. Козлов
В.В. Киселёв
Законы сохранения в механике
Лабораторная работа 9.12
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ
МЕТОДОМ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Инструкция
к выполнению измерений и исследований.
Бланк отчета.
Заполняется простым карандашом.
Максимально аккуратно и разборчиво.
Работу выполнил
....................................................
«……» …………….20..….г.
Работу проверил
……………………………………..
Оценка ...............%
«……» …………….20..….г.
Ставрополь – 2011
1
Цель работы
Экспериментальная проверка выполнения механических законов
сохранения и определение некоторых физических величин с помощью этих законов.
1. Теоретическая часть
Скорость полета пули обычно достигает значительной величины.
Поэтому прямое измерение этой скорости, т. е. измерение времени, за
которое пуля пролетает известное расстояние, требует специальной
аппаратуры. Гораздо проще измерять скорость пули косвенными методами, среди которых широко распространены методы, использующие неупругие соударения, т. е. соударения, в результате которых
сталкивающиеся тела соединяются вместе и продолжают движение
как целое. К числу таких методов относится метод баллистического
маятника.
Обычно баллистический маятник
представляет собой тяжелое тело, подвешенное на четырех нитях (рис. 1). Горизонтально летящая пуля попадает в
маятник и застревает в нем, - происходит неупругий удар. За время соударения маятник приобретает некоторую
скорость и его центр тяжести поднимается на некоторую высоту, измерение
которой и позволяет вычислить скорость пули.
В данной же работе в качестве баллиРис. 1
стического
маятника
используется
стержень – деревянная линейка, подвешенная за верхний конец (рис.
2). На нижнем конце линейки укреплен «уловитель», набитый пластилином, поролоном и т. п., который обеспечивает неупругий удар
пули.
Пуля, ударившись о линейку, приводит ее во вращательное движение с некоторой угловой скоростью ω и сообщает ей кинетическую
энергию
𝐽𝜔2
𝑇=
,
(1)
2
где J – момент инерции линейки относительно оси вращения. При
этом мы пренебрегаем массой пули по сравнению с массой линейки
m<<M.
2
Линейку можно считать однородным стержнем (длина значительно
больше ширины). Момент инерции
стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен (см.
таблицу в конце инструкции):

1
l
𝐽
=
𝑀𝑙2 ,
(2)
0
h
12
R
где M – масса стержня, l – его длина.
Для нахождения момента инерции
стержня (линейки) относительно оси,
проходящей через ее конец, следует
применить теорему Штейнера:
𝑙
1
𝐽 = 𝐽0 + 𝑀( )2 = 𝑀𝑙2
(3)
2
3
Рис. 2
После удара пули линейка поворачивается на некоторый угол α, причем ее центр тяжести поднимается
на высоту h ( l≈R ):
1
ℎ = 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
(4)
2
При этом выполняется закон сохранения механической энергии:
𝐽𝜔2
= 𝑀𝑔ℎ;
(5)
Учитывая (3), можно получить выражение для определения угловой
скорости линейки после того, как в нее попала пуля:
2
√6𝑔ℎ
𝜔=
(6)
𝑙
К удару пули о линейку можно применить закон сохранения момента импульса:
L1 = L 2 ,
(7)
где L1 и L2 – моменты импульса системы «линейка-пуля» до и после
соударения.
Эти моменты импульсов равны сумме моментов импульса пули и
момента импульса линейки:
𝐿1 = 𝐽1 𝜔1 + 0
𝐿2 = 𝐽1 𝜔 + 𝐽𝜔
(8)
Пуля, летящая со скоростью v, с момента соударения начинает двигаться по окружности радиуса l ( l≈R ) с угловой скоростью ω1=v/l и
ее момент импульса равен
𝑣
𝐽1 𝜔1 = 𝑚𝑙2 = 𝑚𝑙𝑣
(9)
𝑙
Закон сохранения момента импульса (7) в итоге дает
3
1
𝑚𝑙𝑣 = 𝑚𝑙2 𝜔 + 𝑀𝑙2 𝜔
(10)
3
Подставляем в (10) выражение (6) для угловой скорости и находим v
1⁄ 𝑀+𝑚
3
√6𝑔ℎ
𝑚
𝑣=
(11)
Полученную формулу можно упростить, если в числителе пренебречь
массой пули (m<<M)
1𝑀
𝑣=
(12)
√6𝑔ℎ
3𝑚
1. Экспериментальная часть
Оборудование: учебный стенд «баллистический маятник», игрушечный пневматический пистолет с пульками.
Подготовьте стенд с баллистическим маятником к работе. Отрегулируйте его положение так, чтобы линейка висела вертикально.
Запишите в отчет массу пульки m, массу линейки M, длину маятника
l.
Проведите три выстрела в баллистический маятник, каждый раз засекая угол отклонения маятника после выстрела. Для дальнейшего
расчета берется среднее значение угла.
Оценка погрешностей измерений
При выполнении данной работы оценка погрешностей измерений
имеет особое значение.
Погрешности прямых измерений массы m пули и массы линейки:
△m =±0,01г, △М =±0,1г.
Погрешность измерения длины линейки с учетом упрощения l ≈ R
△l = 1см.
На результаты измерения угла отклонения линейки накладываются
случайные погрешности. Поэтому угол отклонения измеряется несколько раз. Затем необходимо найти среднюю квадратическую погрешность среднего (стандартное отклонение)
𝛴(△ 𝛼)2
𝑆𝛼 = √
𝑛(𝑛 − 1)
Инструментальную погрешность отсчета угла можно принять△αи =
0,5град. Таким образом, общая погрешность измерения угла отклонения
△α =△αи + Sα
4
При расчете высоты поднятия центра тяжести линейки лучше
всего применить метод «верхней и нижней границы»:
hВГ = 0,5·lмак(1-cos αмак) , hНГ = 0,5·lмин(1-cos αмин)1
ℎ +ℎ
ℎ −ℎ
ℎ = ВГ нг , △ ℎ = ВГ нг
2
2
Относительную погрешность измерения скорости пули можно оценить обычным способом
△𝑀
△𝑚
1 △ℎ
𝛿=
+
+
𝑀
𝑚
2 ℎ
Окончательный результат измерения скорости пули следует представить с абсолютной и относительной погрешностью
v = vизмер. ± △v, δ = …… %
m =……±……г
№ п/п
1
2
3
α, град.
Отчет
М = ……±……г
l =……±……см
△ α=(α -<α>), град.
(△ α)2, град2
Σ(△α)=
<α>=
𝑆𝛼 = √
𝛴(△𝛼)2
𝑛(𝑛−1)
Σ(△α)2=
= …… град.
△α =△αи + Sα = …… град.
α = …… ± …… град
hВГ = 0,5·lмак(1-cos αмак)=
см
hНГ = 0,5·lмин(1-cos αмин)=
см
ℎ=
ℎВГ +ℎнг
2
= …… см
△ℎ =
ℎВГ −ℎнг
2
=…… см
h = …… ± …… см
v = …… ±…… м/с,
1
При увеличении угла косинус угла уменьшается.
5
δ=……%
Дополнительные задания
1. Выведите формулу для расчета скорости пули, если используется баллистический маятник, конструкция которого показана на
рис. 1.
2. Точность весов, примененных для взвешивания пулек, равна 0,1
г. Как взвесить одну пульку, масса которой 0,1-0,2 г ?
3. Придумайте конструкцию простого лабораторного прибора для
определения скорости пули. Работа прибора не должна основываться на законах сохранения.
Решите задачу
В деревянный брусок массой 10кг и длиной 2м, подвешенный
на горизонтальную ось в 10см от верхнего конца, на уровне его
центра тяжести попадает и застревает в нём пуля массой 10г,
летевшая горизонтально со скоростью 500м/с. На какой угол отклонится от удара этот брусок?
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Термины, законы, соотношения
(знать к зачёту)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
Дайте определения следующих понятий:
Механическая энергия
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Замкнутая система
Импульс тела
Момент инерции тела
Момент импульса тела
Трение качения? Трение скольжения?
Запишите формулы
Кинетической энергии прямолинейного движения
Потенциальной энергии тела в поле тяжести
Кинетической энергии вращательного движения
Момент инерции материальной точки
Момент инерции сплошного цилиндра? Диска? Шара?
Соотношение между линейной и угловой скоростью
Сформулируйте
Закон сохранения и превращения энергии
Принцип независимости движения
6
3.
4.
1.
2.
3.
Закон сохранения импульса системы
Закон сохранения момента импульса системы
Приведите примеры проявления законов
Сохранения механической энергии
Сохранения суммы импульсов системы
Сохранения суммы моментов импульсов системы
Моменты инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму
Форма тела
Моменты инерции
Z
m
,l
ml 2
J 
12
mb 2
JX 
12
ma 2
JY 
12
m( a 2  b 2 )
JZ 
12
m(b 2  с 2 )
JX 
12
2
m( a  с 2 )
JY 
12
m( a 2  b 2 )
JZ 
12
mR 2
JX 
4
mR 2
JY 
4
mR 2
JZ 
2
2
ml
mR 2
JX 

12
4
2
ml
mR 2
JY 

12
4
2
mR
JZ 
2
m,a,b
Z
X
Y
Z m,a,b,c
c
X
a
Y
b
Z
m,R (диск)
X
Y
Z
Y
o
m,R,l
X
7
Z
m,R(шар)
JX
X
Y
8
2mR 2
 JY  J Z 
5