.2 Примеры решения задач 9.2.1 Задача 1. По проводу, согнутому в виде кольца радиусом 11 см, течет ток 14 А. Найти напряженность поля в центре кольца и в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра, на расстоянии 10 см от центра. Решение. R=11 см = 0,11 м I =14 А d =10 см = 0,10 м H1-? H2-? Анализ единиц: Вычисления: Напряженность магнитного поля в центре кольца определим по формуле H1 I 2R в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца IR 2 H2 3 . 2( R 2 d 2 ) 2 H А м2 3 А м2 А м м3 ( м2 ) 2 14 H1 63,6 А/м 2 0,11 14 0,112 0,1694 H2 26,1 А/м 2 (0,112 0,12 ) 0,112 0,12 0,0065 Ответ: Н1=63,6 А/м, Н2=26,1 А/м 9.2.2 Задача 2. По горизонтальному проводнику длиной 20 см и массой 2 г течет ток 5 А. Определить индукцию магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы он висел не падая. Решение. l=20 см=0,2 м m=2 г= 0,002 кг I=5А B-? На проводник действует сила тяжести mg, которая равна и противоположна по направлению силе Ампера FA=IBl, mg B т.е. mg=IBl, откуда . I l Анализ единиц: [B]= Н кг( м / с 2 ) = =Тл А м А м 2 10 3 9,8 Вычисления: B 20 10 3 20 мТл 5 0,2 Ответ: В = 20 мТл 9.2.3 Задача 3. Протон описал окружность радиусом 5 см в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определить скорость протона. Решение. R =5 см=0,05 м В магнитном поле на заряженную частицу действует B =20 мТл=0,02 Тл сила Лоренца Fл=qB, которая сообщает частице q =1,610-19 Кл нормальное ускорение. -27 m=1,6710 кг m 2 По второму закону Ньютона qB -? R qBR откуда скорость частицы m Анализ единиц: Вычисления: [ ] = Кл Тл м Кл м Н А с кг м м кг А м кг А кг с 2 с 1,6 10 19 2 10 2 5 10 2 1,67 10 27 9,6 10 4 м/с. Ответ: = 9,6 104 м/с. 9.2.4 Задача 4. Соленоид, содержащий 1000 витков провода, находится в однородном магнитном поле, индукция которого изменяется со скоростью B/t=20 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции 60. Радиус соленоида 2 см. Определить ЭДС индукции, возникающей в соленоиде. Решение. N=103 B / t=20мТл/с=0,02Тл/с =60 r =2 см=0,02 м i -? ЭДС индукции, возникающая в соленоиде: N Ф i t Магнитный поток: Ф =BScos =B r2cos. С учетом этого запишем i = - N r2cos B . t Тл м 2 Вб В с В. с с с Анализ единиц: [i]= Вычисления: i = -2010-33,14410-41030,5=12,510-3В= -12,5 мВ. Ответ: i = -12,5 мВ. 9.1.5 Задача 5. Однослойная катушка площадью 10 см2, содержащая 100 витков провода, помещена в однородное магнитное поле с индукцией 8 мТл параллельно линиям магнитной индукции. Сопротивление катушки 10 Ом. Определить, какой заряд пройдет по катушке, если отключить магнитное поле. Решение. S=10 см2=1010-4м2 По определению сила тока, возникающего в катушке q N=100 I B=8 мТл=810-3Тл t R=10 Ом С другой стороны, по закону Ома U q-? I R Т.к. в катушке возникает ЭДС индукции, то U = i ; NФ NФ0 BSN t t t BSN I Rt BSN q BSN , откуда q t Rt R i Таким образом Тогда Анализ единиц: q Тл м Ом 2 Вс Ом А с Кл 8 10 3 10 3 10 2 Вычисления: q 8·10-5 Кл = 80 мкКл 10 Ответ: Δ q =80 мкКл. 9.2.6 Задача 6. Определить энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 5 А возникает магнитный поток 0,5 Вб. Решение. I =5 А Ф =0,5 Вб W-? Энергия магнитного поля LI 2 W 2 найдем, что L I Из формулы Ф=LI I 2 I W 2I 2 и Анализ единиц: [W]= ВбА = Тлм2А= ВсА = Дж. Вычисления: 5 2 W = 2,5 =1,25 Дж. Ответ: W =1,25 Дж. 9.2.7 Задача 7. По трем длинным проводам, расположенным в одной плоскости, параллельно друг другу на расстоянии 3 см друг от друга текут токи силой I1 = I2 и I3 = I1 + I2. Определить положение прямой, в каждой точке которой индукция магнитного поля, создаваемого токами, равна нулю. Решение. B3 r= 3 см = 310-2м I1 = I2 I3 = I1 + I2 . х-? r r x О B1 I1 I2 B2 I3 Y Рисунок 9.1 – Схема расположения проводников Пусть токи I1 , I2 и I3 текут в плоскости, перпендикулярной рисунку, в направлении от нас (направления токов указаны на рисунке крестиками). Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами, направлены по правилу буравчика по касательной в любой точке линии индукции (обозначены на рисунке пунктирными окружностями). Очевидно, что искомая прямая, на которой вектор индукции магнитного поля равен нулю, расположена между токами I2 и I3 на каком-то расстоянии х от тока I2. Действительно, векторы индукции B1 и B 2 полей, создаваемых в точке О токами I1 и I2, направлены вниз, а вектор индукции B 3 поля, создаваемого в этой точке током I3, направлен вверх. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, B1 + B 2 + B 3 = 0, или в скалярной форме относительно оси Y B1 + B2 - B3 = 0. Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым проводником с током, равна 0 I . B 2r Тогда 0 I 2 0 I 1 0 ( I 1 I 2 ) ; ; . B2 B1 B3 2х 2 ( r х) 2 ( r х) Подставив выражения , получим 0 I 1 0 I 2 0 ( I 1 I 2 ) + = 0, 2х 2 ( r х) 2 ( r х) или после преобразования 4х2 + rх - r2 = 0, откуда r r 2 16r 2 3 10 2 12 ,4 10 2 х= . 8 8 Следовательно, х ≈ 1,2 ·10-2 м. Второй корень квадратного уравнения отбрасываем, так как он соответствует точке, расположенной между токами I1 и I2, что невозможно. Ответ: х ≈ 1,2 ·10-2 м 9.2.8 Задача 8. По двум длинным прямым проводникам, находящимся на расстоянии 5 см друг от друга, протекают токи силой по 10 А в одном направлении. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от каждого проводника. Решение B1 B α A B2 D C r= 3 см = 310-2м l = 5 см = 5·10-2 м I1 = I2 = I = 10 А Рисунок 9.2 – Схема расположения проводников В-? Вектор магнитной индукции поля в точке А равен векторной сумме B индукций B1 и B 2 полей, создаваемых в этой точке каждым током в отдельности (см. рис). Направление векторов B1 и B 2 определяем по правилу буравчика. Числовое значение индукции магнитного поля в точке А может быть найдено по теореме косинусов: В В12 В22 2 В1 В2 сos (29) Индукции магнитных полей, создаваемых каждым током в точке А, соответственно равны: 0 I 0 I ; . B2 B1 2r2 2r1 Поскольку r1 = r2 = r, В1 = В2, то выражение (29) примет вид В 2 В12 2 В12 cos B1 2 2 cos (30) Из АDC по теореме косинусов найдем l 2 = r12 r22 2r1 r2 cos , r12 r22 l 2 2r 2 l 2 откуда cos . 2r1 r2 2r 2 Подставив выражение для В1 и соs в уравнение (30), получим 0 I 2( 2r 2 l 2 ) 0 I В 2 4r 2 l 2 2 2 2r 2r 2r Анализ единиц: В Вычисления: Гн А мм 2 м Вб м2 Тл В 4 3,14 10 7 10 2 3,14( 3 10 2 ) 2 Ответ: B= 66,6 мкТл 4 ( 3 10 2 ) 2 ( 5 10 2 ) 2 66 ,6 10 6 Тл= 66,6 мкТл.