длина окр-ти и площадь круга (примеры элективных)
реклама
Предметно-ориентированный курс по выбору для учащихся 9 класса «Длина окружности и площадь круга» Пояснительная записка Данный курс является пропедевтическим по отношению к профильным курсам по математике в 10-11 классах. Курс предметно-ориентированный, поэтому кроме того, что он дает возможность ученику реализовать свой интерес к выбранному предмету, он позволяет уточнить готовность и способность учащихся осваивать выбранный предмет на повышенном уровне. Задачи курса - расширить у учащихся знания по данной теме за счет привлечения исторического материала ( задача о квадратуре круга, апории Зенона, история числа ); - раскрыть учащимся различные подходы к выводу формулы площадь круга в древности и отразить трудности, с которыми довелось столкнуться при их выводе; - углубить знания учащихся о понятии бесконечного ( апории Зенона) - показать, что как в математике появилась «неразрешимая» задача о квадратуре круга и рассмотреть несколько вариантов ее приближенного решения; - развивать умение учащихся анализировать и обобщать результаты деятельности; - отрабатывать умение решать задачи и грамотно их оформлять; - развивать устную и письменную речь учащихся; - развивать коммуникативные способности учащихся, умение участвовать в дискуссии. Программа курса включает в себя материалы, углубляющие знания и развивающие умения учащихся, приобретенные при изучении курса геометрии основной школы. Так в соответствии с требованиями к уровню подготовки выпускников основной школы учащиеся должны уметь решать задачи на нахождение длины окружности и площади круга. Данный же курс предполагает кроме отработки навыка решения задач по теме еще и расширение кругозора учащихся дополнительными интересными сведениями по этому вопросу, что приводит к повышению интереса к предмету в целом. Таким образом, данный курс дополняет базовую программу интересными и полезными заданиями, не нарушая ее целостности. Программа курса не создает для школьников учебных перегрузок, так как углубление знаний учащихся идет в зоне ближайшего развития: формулировки и общие методы решения многих задач известны учащимся из базового курса, а особенности вывода некоторых формул могут быть открыты учащимися самостоятельно. Это позволяет организовать занятия в виде уроков практикумов, на которых учащиеся в основном будут работать самостоятельно или в группах, а затем обсуждая решение задач, продумывают их оформление. Предполагается, что такая организация 1 занятий будет создавать «ситуацию успеха» у школьников и способствовать их интеллектуальному, творческому и эмоциональному развитию. На изучение данного элективного курса целесообразно отвести 12 часов. В дидактических материалах приведены примерные образцы занятий этого курса в соответствии с учебно-тематическим планированием. В зависимости от уровня подготовки учащихся учитель может их распределить для совместного обсуждения и для самостоятельного решения. Требования к уровню подготовки учащихся В результате изучения курса учащиеся должны: иметь представление об истории числа ; понимать смысл задачи о квадратуре круга, иметь представление об истории ее решения; уметь объяснять простейшие апории Зенона; уметь определять приближенное значение числа в вычислениях древних математиков и оценивать относительную погрешность; уметь решать исторические задачи по данной теме; знать имена ученых-математиков, исследовавших зависимость длины окружности и площади круга. Учебно-тематический план курса Тема Количество часов Нахождение площади круга в Древнем Египте 2 часа Задачи Архимеда на вычисление площади круга 2 часа Использование понятия бесконечного при выводе формул длины окружности и площади круга 1 час Проблемы бесконечного в античной математике (апории Зенона) 1 час История числа 1 час Решение исторических задач 1 час Понятие о квадратуре фигуры 1 час Задача о квадратуре круга. Приближенное решение Бинга 1 час 2 Луночки Гиппократа 2 часа Неразрешимость задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки 1час Итого 13 часов Дидактические материалы к курсу 1. Нахождение площади круга в Древнем Египте Современная наука располагает небольшим арсеналом сбора информации о прошлом той или иной страны. Одним из таких средств являются исторические документы- папирусы. Найдено папирусов, обладающих ценной информацией, сравнительно немного – около пятидесяти. Самым древним папирусом является папирус Ахмеса, названный по имени составившего его писца. Приобретен был папирус английским собирателем старины Г.Райндом. Нынче папирус хранится в Британском музее и носит еще несколько названий « папирус Райнда» или «лондонский папирус». Текст папируса расшифровали в 1877 году. В тексте папируса содержались 84 задачи с решениями, но к сожалению, при реставрации документ порвался. Немногим позднее был найден «московский папирус», относящийся к 1850 году до н.э. В 1912году папирус был приобретен Московским музеем изобразительных наук, был расшифрован и детально изучен академиком В.В. Струве. В папирусе содержалось 25 задач. Позднее хоть и находили папирусы, но они не несли новой информации, а только дублировали информацию первых двух папирусов. Многие ученые считают Египет колыбелью геометрии. Так пишет об этом древнегреческий ученый Евдем Родосский (5 век до н.э.). « Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли вследствие разливов Нила, постоянно смывающего границы участков». Поэтому и задачи, содержащиеся в папирусах, носили практический характер. Так египтяне умели строить прямые углы, используя веревку с 12 узлами; знали некоторые формулы для вычисления площадей фигур: трапеции, треугольника, произвольного четырехугольника; умели вычислять объемы следующих тел: куба, параллелепипеда, цилиндра. Самым значительным результатом является вывод формулы для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V= a 2 ab b 2 , где а, в- длины h 3 основания, h – высота. Одним из недостатков геометрии того времени является отсутствие доказательств, что свидетельствует о том, что скорее всего формулы были получены опытным путем. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который известен как «папирус Райнда», по имени мецената 3 приобретшего папирус. Эту древнюю рукопись относят к периоду между 2000г. и 1700г.до н.э. Для вычисления площади круга с диаметром 9 локтей предлагался следующий рецепт: «От 9 отними его 1/9, то есть 1. Получится 8. Умножь 8 на 8. Смотри : это 64. Ты правильно нашел». Задание 1. На основании текста папируса сформулируйте древнеегипетское правило для определения площади круга. Решение. Составим числовое выражение по тексту папируса. 2 Обозначим диаметр круга d. По правилу получаем S=(1d- d) 2 = d , 1 9 8 9 то есть площадь круга равна площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга, уменьшенного на 1/9 своей длины. Другими словами, в папирусе Райнда говорится, что египтяне, заменяли площадь круга площадью равновеликого квадрата, за сторону которого брали 8/9 от диаметра круга. Сегодня на занятии мы тоже побудем в роли первооткрывателей и попытаемся обосновать эту формулу для нахождения площади круга, т.е. понять, почему именно такая замена проводилась. Для этого выполним практическую работу. Задание 2. Практическая работа по выводу формулы площадь круга, используемой в Древнем Египте. На ваших столах у каждого есть квадрат с вписанным в него кругом. Попытаемся приблизить площадь описанного квадрата к площади круга. Посмотрите внимательно и подумайте какую часть квадрата удобнее удалить, чтобы при этом площадь круга не пострадала значительно.( сначала удалим квадраты из углов данного со сторонами равными 1/6 его диаметра. Далее заметим, что можно еще вырезать с каждого угла по 2 квадратика со стороной 1/9 от диаметра круга, то есть всего 8). Оставшаяся площадь квадрата будет приближенно равна площади круга. Найдем ее с помощью вычислений. Вывод: итак, египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата, брали за сторону последнего 8/9 диаметра круга. Задание 3: Найдите из полученной формулы приближенное значение для числа . Округлите ответ до тысячных и найдите относительную погрешность. Решение: 2 2 162 256 16 2 3.161 R ; 9 81 9 Современное значение 3.142 8 9 R 2 d ; R 2 3.161 3.142 0.019 Задание 3. В папирусе Ахмеса утверждается, что площадь круга, длина окружности которого есть среднее арифметическое длин данных 4 окружностей, равна среднему арифметическому их площадей. Проверьте справедливость этого утверждения. Ответ: утверждение ошибочно. 2.Задачи Архимеда на вычисление площади круга. Сегодня на занятии мы познакомимся с работами Архимеда, связанными с длиной окружности и площадью круга. Это выдающийся ученый, о котором сложено немало легенд. Он родился и жил на острове Сиракузы(287-212 год до н.э.). Долгое время он учился в Александрии и занимался наукой, особенно интересовался геометрией. Архимед доказал много теорем. Несомненно, Архимед самый гениальный ученый Древней Греции, а главное, разносторонний. Он был одновременно инженером, специалистом по фортификации, конструктором удивительных машин. С помощью этих машин он успешно защищал родной город Сиракузы от самой сильной в то время армии - римской. Его машины метали огромные камни в корабли; тяжелые балки с загнутыми концами, похожие на журавлиные клювы, поднимали корабли высоко в воздух, а затем опускали в воду и так топили. С его именем связывают открытие законов рычага, разработку основ гидростатики, введение понятия центр тяжести. Только через два года из-за беспечности жителей римлянам удалось взять город. Легенды рассказывают, что когда солдаты ворвались в город, то Архимед был занят решением задачи и что-то чертил. Римский воин приказал ему встать, но старый ученый не повиновался, сказав, что хочет закончить решение. Тогда римлянин выхватил меч и убил его. Но не только выдающимся инженером был Архимед, он прославился и своими математическими работами. Одним из самых великих открытий Архимеда в геометрии – определение числа . Мы уже начали на прошлых занятиях рассмотрели, как вычисляли площадь круга ученые Древнего Египта. В своей работе « Об измерении круга» Архимед тоже занимался данным вопросом. Он выводил формулу площади круга, используя вписанные и описанные около круга правильные многоугольники (этим же методом пользуемся мы при выводе формулы на уроках), и доказал несколько утверждений о площади круга и длине окружности. Задание 1. Докажите справедливость утверждения Архимеда: если круг описан около квадрата, а другой в него вписан, то описанный круг по площади в два раза больше вписанного. Задание 2. Докажите справедливость утверждения Архимеда: каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, если его радиус равен одному из катетов, а выпрямленная окружность равна другому катету. 1 2 Решение. S R 2 R R 2 Задание 3. Докажите справедливость утверждения Архимеда: 5 круг относится к квадрату своего диаметра как 11 к 14. Найдите отсюда приближенное значение для числа . Решение. Sêð d 2 11 14 R2 4 R 2 11 14 4 11 14 44 22 3.1428 14 7 Дробь 22/7 называют часто «архимедовым числом». Но заслуга Архимеда состоит не только лишь в обнаружении приближенного равенства 22 , но и что гораздо важнее, определить точность приближения. 7 Задание 4. Используя утверждение Архимеда : «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых» найдите промежуток, которому принадлежит число . Решение. 10 1 d C 3d d 71 7 10 1 d d 3d d 71 7 10 1 3 71 7 10 1 3 3 71 7 3.140 3.142 Точность приближения равна 0.002 дает три точных знака в числе =3.14. Кстати, это наиболее часто употребляемое приближенное значение для числа , именно три этих знака и используются нами для несложных повседневных расчетов. Задание 5. Решите задачу Архимеда. Из точки С полукруга АВС на диаметр АВ опущен перпендикуляр СК и на отрезках АК и КВ, как на диаметрах, построены два полукруга (см. рис.). Доказать, что площадь заштрихованной фигуры равна площади круга диаметра СК. Заштрихованная фигура, образованная такими полуокружностями, напоминает древнегреческий сапожный нож арбелон, поэтому и задача об отыскании площади такой фигуры получила название задачи об арбелоне. 6 Отметим и другие заслуги Архимеда. У древних греков имелась своя не очень удобная для записи больших чисел нумерация. Ученый разработал метод, позволяющий записать числа, превышающие число песчинок внутри сферы диаметра равного расстоянию между центром Земли и небесным сводом, и отразил его в книге с названием «Исчисление песчинок». Можно только лишь представить, какие это числа. Но своим наиболее важным достижением в геометрии Архимед считал сочинение «О шаре и цилиндре», в котором доказал, что объем шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза меньше объема этого цилиндра и что отношение поверхности описанного цилиндра к поверхности вписанного шара также равно 3:2. В дополнении к уже известным правильным многогранникам «Платоновым телам» Архимед исследовал 13 так называемых полуправильных многогранников, названных после «Архимедовы тела». У правильных многогранников все грани – равные правильные многоугольники, и все углы многогранные равны. У полуправильных многогранников тоже многогранные углы равны, грани же являются хоть и правильными, но не равными многоугольниками. Найденным тела Архимеда носят достаточно сложные названия: усеченный тетраэдр,икосододекаэдр, кубооктаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододэкаэдр, курносый куб, курносый додекаэдр. А теперь проведем мини конкурс на «самого красноречивого». Побеждает тот, кто выговорит все названия с первого раза и потратит на это меньше всего времени. 3.Использование понятия бесконечного в выводе формул длины окружности и площади круга. На уроках геометрии мы с вами находили формулы для вычисления длины окружности и площади круга при помощи рассуждений, проводимых Архимедом, то есть через вписанные и описанные правильные многоугольники. Для этого мы количество сторон правильного многоугольника устремляли к бесконечности, то есть неограниченно увеличивали. В результате, мы столкнулись с бесконечными процессами (процесс увеличения количества сторон многоугольников) и бесконечными суммами. Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из первых предпринял философ Антифон, живший в Древней Греции в 5 в.до н.э. способ для определения длины окружности таков: «начертив круг, впишем в него такой правильный многоугольник, который умеем вписывать. Например, квадрат. Потом разделим каждую сторону квадрата пополам и проведем через точки деления прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, что они делят сегменты круга на равные части. Соединим полученные точки с концами сторон квадрата так, чтобы получились четыре треугольника, и вся образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…»продолжая 7 этот процесс, дальше получаем 16-угольник, 32-угольник,64-угольник и т.д. Поступаем так, пока не исчерпаем весь круг. Периметр многоугольника тогда можно рассматривать как длину окружности. Но не случится ли так, что для периметров многоугольников длина окружности останется чем-то недосягаемым. Одну из плодотворных идей в этом направлении высказал Бризон (5в.до н.э.). Он предложил для нахождения длины окружности еще и описывать около нее правильные многоугольники. Если одновременно еще вписывать и описывать многоугольник, то длина окружности будет заключена между периметрами этих прямоугольников, причем, чем больше сторон у многоугольников, тем точнее ее можно определить. Другие ученые не все разделяли его точку зрения, некоторые откровенно иронизировали по этому поводу. Указывая, что как не увеличивай количество сторон у многоугольников, окружность с многоугольником не совпадет, но предложить другое решение не могли. Многие ученые пытались понять и найти ответ на вопрос о том, как работать с бесконечностью. Некоторые искали легкие пути, за что были прозваны « мелкими торговцами истиной». Рассмотрим отличное от предыдущего рассуждение о выводе формулы площади круга. В основу этого метода Иоганна Кеплера (27.12.157115.11.1630) положена следующая идея: любая фигура или тело может быть представлено в виде суммы множества бесконечно малых частей. Это же можно отнести и к кругу, полагая, что он состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый из которых может рассматриваться как равнобедренный треугольник. Приведем доказательство Кеплера. Окружность круга ВН содержит столько же частей, сколько точек, а именно бесконечное число. Каждую из них можно рассматривать как основание некоторого равнобедренного треугольника с боковой стороной АВ и, таким образом, в площади круга окажется бесконечное количество треугольников, соединенных вершинами в центре А. Пусть окружность круга вытянута в прямую и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна. Основания всех этих бесчисленных треугольников будут располагаться друг за другом по прямой ВС. Пусть одно из оснований будет ВF, а равное ему ЕС. Соединим точки В, С, F, E с точкой А. Таких треугольников АВF, AEC над прямой будет столько же сколько секторов в площади круга. Их основания ВF, EC и общая сторона АВ такие же как у секторов, следовательно, все эти треугольники будут равновелики друг другу и каждый равновелик соответствующему сектору круга. А это значит, что АВС, составленный из всех этих треугольников, будет равновелик сумме всех секторов круга, то есть площади этого круга. На основании этого Кеплер делает вывод, что площадь круга равна половине произведения радиуса на длину окружности. 1) ВС=Lокр, АВ ВС 8 2) ВF=EC,AB=h-общая высота S FAB= S AEC 3) S=S 1 S2 S3 ... Sn , где Sn –площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг, аn-его основание, hn- его высота. 1 1 при n , hn R , тогда 2 2 a1 a2 ... an L . 1 1 Sкр= R L R 2 R R 2 , полагая доказанной теорему о длине 2 2 4) Sкр= h (a1 a2 .... an ) h L , окружности. Но древние математики, особенно греческие, стремились прежде всего, с безукоризненной логической строгости и потому они вообще отказывались от использования в рассуждениях понятия бесконечности, так как операции с ней могут привести к противоречиям. Так, например, после долгих дискуссий и обсуждений греки отказались рассматривать окружность как правильный многоугольник с бесконечным количеством сторон, а круг- как бесконечную совокупность равнобедренных треугольников с вершинами в центре круга и основаниями на сторонах вписанного в окружность многоугольника с бесконечным числом сторон. 4. Проблема бесконечного в античной математике (апории Зенона) Показать действительные трудности, таящиеся в понятии бесконечность, выявить насколько еще не совершенны представления о бесконечности у древних, удалось Зенону Элейскому. Жил он в (490—430 г.до н.э.).своим рассуждениям Зенон придавал острую и красочную форму парадоксов. Также парадоксы называют и апориями, что в переводе означает трудность. Более 25 веков будут привлекают внимание эти рассуждения, интерес к ним не будет ослабевает и в наши дни, при этом каждая эпоха будет предлагать для них свои решения. Одним из приемов, используемых Зеноном, было доказательство путем доведения до абсурда. Для доказательства истинности какого-либо утверждения, они обосновывали, что ложно его отрицание. То есть использовали доказательство от противного. За особое мастерское умение доказывать Зенон был прозван «двуязыким». Древности было известно более 40 его апорий, но до нас дошли только 9. Из дошедших до нас наиболее знамениты 4 апории движения и несколько отрывков из апорий множественности. Объясним некоторые из его апорий и увидим, что они не содержат противоречий. Задание 1. Объясните апорию движения «Дихотомия»: движущееся тело никогда не достигнет конца пути. потому что оно должно дойти сначала до середины пути, затем до середины остатка пути и т.д. Таким образом, чтобы дойти до конца пути тело должно преодолеть бесконечное множество середин, а это невозможно. 9 Объяснение. Примем весь путь за единицу. И запишем, какие расстояния должно преодолеть движущееся тело, чтобы достичь конца пути. Это можно представить в виде бесконечной суммы 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 Очевидно, что пройденный путь – это сумма бесконечно убывающей 1 2 1 2 геометрической последовательности , где â1 , q= . 1 Получим S= 2 1 1 1 2 Сумма равна 1, значит, путь пройден весь и никакого противоречия нет. Задание 2. Опровергните апорию движения: «стрела»: стрела никогда не долетит до середины. Объяснение. Проведем рассуждения аналогичные предыдущим: Чтобы долететь до середины стрела должна пролететь сначала половину пути, затем половину оставшегося и т.д., то есть 1 1 1 ... 4 8 16 Но с высоты имеющихся теперь знаний мы можем сказать, что это сумма геометрической прогрессии с коэффициентом Тогда сумма этой последовательности равна 1 4 1 1 2 1 1 и первым членом . . 2 4 1 . То есть, противоречия 2 нет, стрела долетит до середины. Задание 3. Опровергните апорию движения: «Ахиллес и черепаха»: быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если даст ей хотя бы маленькую фору. Объяснение. Пусть а – расстояние между Ахиллесом и черепахой и Ахиллес бежит быстрее черепахи в k раз. Запишем путь Ахиллеса и черепахи: a a ... k k2 a a S÷ 2 ... k k Sa a Каждому отрезку пути, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути черепахи. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти 10 столько же отрезков, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но кроме них Ахиллесу нужно преодолеть еще один отрезок длины а, т.е. он должен пробежать на один отрезок больше, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, равно n, то получаем, что n+1=n. Таким образом, часть равна целому. Получили парадокс. Объясним его с современной точки зрения: Sa S÷ a 1 1 k a ka 1 , где b1= a , q= k k 1 a a 1 , где b1= , q= k k k 1 1 k (1 ) k Sa S÷ à , то есть, никакого противоречия нет. 5. История числа Интересно кто первым догадался о замечательной связи длины окружности и ее диаметра? Возможно, об этом догадался какой-нибудь дотошный мастер, изготавливающий колесо для легковой колесницы, или землекоп, обустраивающий круглый колодец. А может быть гончар, лесоруб, строитель…- кто бы ни был, имя этого героя- гения история не сберегла. Представления о числе претерпели удивительные изменения – от смутных представлений древних о закономерностях окружающего мира, полученных на практическом опыте, до чрезвычайно глубоких математических теорий современности. Рассмотрим, как развивались и уточнялись представления древних. Древний Вавилон: При раскопках найдено большое количество глиняных плиток, на которых писали шумеры. Среди них 44 таблицы, которые можно считать математической энциклопедией вавилонян, относящиеся к 2000 г. до н.э.. В таблицах даны способы решения задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Для значения вавилоняне использовали следующее соотношение между площадью круга и длиной окружности : S C2 12 . Способ, применявшийся для вывода формулы неизвестен. Задание 1. Используя древневавилонское соотношение между площадью круга и длиной окружности : S C2 , найдите приближенное значение числа , 12 которым пользовались в Древнем Вавилоне. Решение. C 2 (2R) 2 2 R 2 = ; S 12 12 3 R 2 2R2 3 11 ; 3 Вывод: для значения вавилоняне использовали в большинстве случаев значение =3, хотя некоторые таблички содержат лучшее 1 8 приближение =3 . Этим же приближением пользовался известный римский архитектор Витрувий (1в.до н.э) Среди замечательных результатов числа следует отметить выдающийся результат китайского математика Цзу Чунчжи (5 в.н.э.) =355/113, дающий семь точных десятичных знаков числа . Следует отметить еще раз большой вклад следующих математиков Антифона и Бризона в создании метода для вывода формулы длины окружности. Суть метода в том, что вписывая и описывая одноименные многоугольники около окружности, мы приближаем периметр многоугольника к длине окружности и чем больше сторон у многоугольника, тем точнее вычисления. Нельзя не отметить работу в этом направлении, проведенную Архимедом. Его вклад мы уже рассматривали на прошлом занятии. В работе «Измерение круга» он доказал, что приближенное значение 22 , и 7 определил точность приближения 0.002. то есть три точных знака в числе 3.14, именно три этих знака и используем в несложных повседневных расчетах. Сделать эти выводы Архимеду также помогли вписанные и описанные многоугольники. В своих расчетах он дошел до вписанного правильного 96-угольника. Созданный метод определения длины останется основным на протяжении почти двух тысячелетий. Клавдий Птолемей (2в.н.э.) для вписанного правильного 720-угольника получает =3.14167 Китайский математик Лю Хуэй (3-4 в.н.э.) для вписанного 3072угольника находит =3.14159 Самаркандский математик ал-Каши (14-15в.н.э.) в «Трактате об окружности» ставит задачу с интригующим условием: выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой равен 600000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса ( 0.05 мм). Для этой цели ал-Каши определяет число с точностью до 16 верных десятичных знаков : =3.14159265358979325, попутно указав, что «всей истины этого не знает никто, кроме Аллаха». Далее ал-Каши правильно рассчитывает правильные многоугольники, начиная с треугольника и, дойдя до 805306368-угольника. Полученная точность была превзойдена европейцами лишь в конце 16века: в 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен вычислит с точностью до 17 десятичных знаков, применив 1073741824-угольник. Однако рекорд поставил Лудольф ван Цейлен (1539-1610). На протяжении 10 лет, удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников и дойдя до 32512254720-угольника, он 12 вычислил 20 знаков после запятой. Изложение своих результатов завершил фразой: «У кого есть охота, пусть пойдет дальше». И как бы в доказательство того, что «охота пуще неволи» и лучшего охотника, чем он нет, кинулся вычислять очередные точные знаки в числе , доведя их до 35. Эти знаки он завещал выбить на своем надгробном камне. В память об этом неординарном вычислителе современники еще долгое время называли число числом Лудольфа. Отдавая должное мастерству и поистине самоотверженному труду математиков, посвящавших годы своей жизни, вычислению точных знаков числа . Следует признать, что результаты носили скорее спортивный характер, а не научный. Если рассчитать длину экватора сферы, вмещающей известную нам часть Вселенной (радиус сферы 5 10 26 м), используя при этом найденное Лудольфом значение числа , то погрешность не превысит одной миллионной доли миллиметра! С конца 17 века началась эра математического анализа. Возникло дифференциальное и интегральное исчисление, основанное на строго определенном понятии предела. Новые инструменты исследований позволили взглянуть на число совсем по- другому: число стали представлять в виде рядов, что позволило буквально за сто лет значительно уточнить число . Одним из первых результатов в этом направлении стал ряд 1 1 1 1 1 1 ..., названный в честь открывшего его в 1673г. 4 3 5 7 9 11 немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница. Три точки формуле означают следующее: чем больше слагаемых в формуле, тем меньше алгебраическая сумма будет отличаться от числа . 4 Вывод большинства формул, приведенных ниже, требует знаний, выходящих за пределы школьной программы, но достаточно посмотреть на них, чтобы понять, насколько многообразны и сложны связи этого числа с другими математическими понятиями. Это даже дало возможность английскому математику Морану сказать, что число «лезет в дверь, в окно, через крышу». 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 (1 ) 6 3 9 45 189 729 формула Виета 1593г. формула Авраама Шарпа 1699г, определил точность до 71 знака. В это же время в Санкт-Петербурге жил известный математик Леонард Эйлер. У современников Леонард Эйлер пользовался славой выдающегося вычислителя. доказательством этого может послужить известный случай. В 1735 году Российской Академии потребовалось выполнить срочные трудоемкие расчеты по проверке точности вычисления другим математиком. Ему тоже принадлежит одна формула для уточнения , с 13 использованием функций обратных тригонометрическим. Сотрудники Академии на выполнение поручения просили несколько месяцев, а Эйлер вызвался выполнить всего за три дня. К всеобщему удивлению он действительно справился с заданием за столь короткое время. Именно Эйлер ввел в математику символ для обозначения этого числа . Вероятно, к этому его подвигла первая буква в греческом начертании слова «окружность». В 1844 году Иоганн Мартин Захария Дазе довел точность вычисления до 205 знаков. Этот вычислитель слыл феноменальным, он в уме в течение одной минуты осуществлял умножение двух восьмизначных чисел, за более длительное время он извлекал квадратные корни из 100-значных чисел. В 1853 году Резерфорд определил уже 440 знаков числа , а Шенкс в этом же году устанавливает своеобразный рекорд и находит 707 знаков, хотя точными из них оказались только 527. Впечатляющие результаты Шенкса возглавляли таблицу рекордов до середины 20 века. Вычисленные Шенксом 707 десятичных знаков числа , опубликованные на страницах научно-популярных изданий, так впечатлили архитекторов, что они стали украшать ими свои сооружения. В 1934г. в Доме занимательной науки в Санкт-Петербурге под потолком размещены, по инициативе Якова Исидоровича Перельмана, именно эти цифры в виде гипсового фриза. Этими же цифрами в 1937 г. украсил купол циклической галереи парижского Дворца Открытий Уильям Голени. Двадцатый век ознаменовался значительными достижениями человеческого разума, а в частности компьютерной революцией. Уже первые проверки на появившихся в 1945г. электронно-вычислительных машинах показали, что Шенкс ошибся начиная с 528 знака. С появлением компьютеров темп погони за точностью резко ускорился. И буквально через 13 лет, в 1958г., был преодолен рубеж в 10 000 знаков. Уже в 1961г. Дэниэл Шенкс вычислил 100 000 знаков. В 1973г. определили 1000 000 знаков, причем времени это заняло меньше одного дня работы компьютера. В последствии, нахождение числа стало своеобразной программой тестирования новых компьютеров. 1986 год Девид Бейли получил 29360000 десятичных знака после запятой, через год в Нью-Йорке уже 134 217 000 знаков и к концу 1995 года свыше 6 миллиардов цифр. Последнее найденное уточнение числа было в 1999 году – это 206 158 430 000 цифр. Нерешенные проблемы К настоящему времени доказано, что число иррационально и трансцендентно. Свойство иррациональности числа , то есть непредставимости в виде отношения двух целых чисел, доказали И.Ламберт (1728-1777) и А.Лежандр(1752-1833) в конце 18 века. Свойство трансцендентности означает, что число не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми 14 коэффициентами. Это свойство было доказано немецким математиком Ф.Линдеманом (1852-1939) в 1882 году. Несмотря на достигнутые успехи в постижении числа , оно таит в себе немало загадок: Одинаково ли часто встречаются все цифры в записи? В математике положительные числа, большие единицы, в десятичной записи которых каждая цифра встречается одинаковое число раз, называют нормальным. Задание. Исследовав некоторое количество знаков числа , и сделайте предположение нормально или нет это число. =3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 Если опираться на такое количество данных, то напрашивается вывод, что число не нормально, но среди 200 000 000 000 десятичных знаков числа все цифры встречаются примерно одинаково часто. Причем предположение о равном количестве цифр в десятичной записи числа высказал еще Морган. Рассмотрев 700 цифр десятичной дроби, вычисленных Шенксом, он был удивлен тем, что все цифры встречаются равное количество раз по 70, кроме 7 ( только 53 раза). Но причину этого мы теперь знаем - ошибка в расчетах. Устранив ошибку, частота появления выровнялась. Какие комбинации цифр возможны, а какие не возможны? Над этим вопросом работают до сих пор, составляют таблицы, в которых можно увидеть какие последовательности цифр встречаются и сколько раз, но так как число непериодическая бесконечная дробь, то все исследования носят лишь предположительный характер. Нет никаких ясных правил, которым подчиняется цифры в числе , вероятно, поэтому некоторым трудно запоминать его цифры. Вот почему, многие поколения школьников придумывали разные способы для запоминания первых цифр числа. 1) Количество букв в записи этой фразы говорит о том, в каком порядке расположены первые пять цифр: « Что я знаю о кругах?» ( =3.1415) 2) « Это я знаю и помню прекрасно, «Пи»- многие знаки мне чужды напрасны». ( =3.14159265358) 3) А эти слова хорошо известны гимназистам дореволюционной России: « Кто шутя и скоро пожелает(ъ), «Пи» узнать число, уж(ъ) знает(ъ)». они учили в старой орфографии, до того как использование знака Ъ было ограничено, и потому без труда могли записать =3.1415926536 4) следующий удобен тем, что напрямую называет первые 8 цифр числа: «нужно только постараться и запомнить все как есть три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть». Одной из интересных особенностей числа является наличие у него дня рождения, правда отмечать начали буквально 20 лет назад. Идея устроить 15 праздник этого числа пришла в голову сотруднику научно-популярного музея Эксплораториума в городе Сан-Франциско Лари Соу. Поскольку в Американской традиции написания даты, сначала указывается месяц, а потом число, то для того, чтобы отметить новый праздник выбрали день 14 марта ( в записи 3.14). По случайности праздник совпал еще и с днем рождения выдающегося ученого Альберта Эйнштейна и стал международным. Сама церемония начинается в 1 час 59 минут после полудня, точнее на 26 секунду: 3.1415926. Ее участники маршируют вдоль стен круглого зала музея, распевая песню о числе , потом едят круглые ПИроги и ПИццу. По центру размещают главный символ - круглую латунную тарелку с выгравированными на ней первыми 100 знаками числа после запятой. Случаются в этот день и экзотические события, например, 14.03.2004 Даниэль Таммел по памяти, не заглядывая ни в какие бумаги, произнес первые 22 514 цифр числа. Присутствующая публика следила за тем, чтобы ни одна цифра не была перепутана. 6. Решение исторических задач Задача 1. За длину окружности вавилоняне принимали периметр правильного вписанного в эту окружность шестиугольника. Найдите приближенное значение для числа . Оцените относительную погрешность. Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу R, тогда периметр Р=6·R, так как периметр принимают за длину окружности , то получим уравнение 2R 6R 3 Задание 2. В древнеиндийской геометрии существовало правило Катиайаны : разделите диаметр круга на 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по площади данному кругу. Найдите приближение для числа , которым пользовались индусы и оцените погрешность. Дано: D- диаметр круга а – сторона квадрата Найти приближение для числа . Решение. а= 13 D 15 и Sкв=Sкр D2 4 13 ( D) 2 15 169 4 3.004 4 225 3.1415 3.0044 0.1371 Задание 3. В сочинениях китайских ученых содержатся правила для определения площади круга, причем не одно, а четыре. Проверьте, действительно ли правила дают верный результат: 16 А) умножь диаметр на себя, раздели на четыре, возьми три раза. Определите из правила, каким приближением для пользовались в Древнем Китае. Б) умножь половину обвода на половину диаметра. (обвод- длина ок ружности) В) умножь обвод на диаметр, раздели на четыре. Г) умножь обвод на себя раздели на 12. Решение. DD 3D 2 3 3 R 2 (верно) 3 4 4 2R 2 R R R R 2 (верно) Б) S 2 2 2R 2 R R 2 (верно) В) S= 4 2R 2R 2 R 2 Г) S= R 2 (точность решения меньше, чем при 12 3 А) S= использовании предыдущих правил). Рассмотрим еще несколько задач, решив которые в прошлые века, можно было прослыть умным человеком. Задание 4. Решите задачу ал-Караджи : «Каков диаметр круга, площадь которого равна 100.» Решение. D2 Sкр= R 4 2 D= S 4 100 4 20 11.28 С площадью круга связаны многие математические факты. В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы завладеть ее богатством. Дидона покинув Финикию, после долгих приключений оказалась в Северной Африке. Король нумибийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря не больше, чем можно окружить воловьей шкурой. Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген. Задание 5. Какой формы по преданию, на ваш взгляд, отмерили себе землю люди? Докажите это на примере площадей различных по форме участков: круглого, квадратного, произвольного прямоугольного, треугольного равностороннего, взяв для определенности длину веревки 1200 метров Решение. 1) Р=4·а=1200 а=300 м Sкв=300·300=90000 2) а 1200 / 3 400 ì 17 a2 3 69282. 4 C 3) R= 191ì 2 Sкр= R 2 114605ì 2 S 4) Рпр= 2 (à â) 1200 возьмем а=400 в=200 Sпр=400·200=80000м 2 Вывод: самая большая площадь при данной длине границы у круга. 7.Понятие квадрируемости фигуры Сегодня на занятии мы займемся изучением вопроса квадрируемости фигуры. Узнаем, что значит квадрировать фигуру, возможно ли это. Эта задача была популярна несколько тысячелетий. Вероятнее всего, она появилась в Древнем Египте еще во 2 тысячелетии до нашей эры, подтверждением этой теории служат следы на памятниках этой эпохи. На предыдущих занятиях мы говорили с вами о том, как развивалась геометрия в этом государстве. Говорили, что основу ее составляли: земледелие, торговля. А как следствие этого, возникла потребность измерять землю, дабы никого не обидеть и собрать правильно плату за пользование землей. Тогда появилась потребность научиться измерять разные по форме участки: прямоугольные, треугольные, в форме произвольного четырехугольника и, конечно же, круглого участка. Для этого поступали следующим образом: площади интересующей фигуры сравнивали с площадью другой более простой, чаще всего для сравнения брался квадрат. Потому задача построения квадрата, равновеликого данной фигуре получила название квадратуры этой фигуры. Но поскольку доступными в то время средствами были только циркуль и линейка, то и решение должно быть выполнено только с помощью них. Греки умели строить квадрат равновеликий любому многоугольнику.Так как квадрат одна из самых простых и удобных для измерения фигур, поэтому и появилось стремление превращать любую фигуру в равновеликий квадрат. Задание 1. Квадрируйте прямоугольник: постройте квадрат, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами а и в. Дано: прямоугольник со сторонами а и в Построить: квадрат равновеликий прямоугольнику. Предполагаем, что искомая фигура построена. Решим задачу алгебраическим методом. Для построения квадрата достаточно знать его сторону, составим формулу для ее длины. Обозначим сторону искомого квадрата с. Составим зависимость между ñ2 à â . Выразим с: с= à â .получили, что площадями фигур: Sкв=Sпр сторона искомого квадрата, площадь которого равна площади 18 прямоугольника со сторонами а и в, - это среднее геометрическое для отрезков а и в. Построение. 1. Выбираем произвольную точку О, строим ОС=а. 2. Строим ОА=а+в. Находим середину ОА- точку В. 3. Описываем окружность W(В, ОВ) 4. Строим перпендикуляр к ОА в точке С. Точку пересечения с окружностью обозначим К. АС- сторона квадрата. 5. Достраиваем квадрат. (Все построения можно осуществить непосредственно самом прямоугольнике с помощью циркуля и линейки). Задание 2. Квадрируйте прямоугольный треугольник. Для построения квадрата равновеликого параллелограмму древние поступали следующим образом: они находили площадь равновеликой ему фигуры – прямоугольника со сторонами одна из которых, равна стороне параллелограмма, а вторая равна высоте, опущенной на эту сторону. А квадрировать прямоугольник мы умеем. Квадрируйте треугольник, подумайте какое дополнительное построение можно осуществить, чтобы превратить треугольник в одну из квадрируемых фигур. Для этого проводим среднюю линию и замечаем, что площадь треугольника равна площади параллелограмма. Одна из сторон параллелограмма- это основание треугольника, а вторая равна половине боковой стороны. При этом если можно квадрировать параллелограмм , значит и треугольник так же можно квадрировать. Проводя аналогичные рассуждения, можем любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат, разбив его на квадраты, треугольники, параллелограммы, применив по сути задания на разрезание. 8. Задача о квадратуре круга. Приближенное решение Бинга Сегодня на занятии мы займемся изучением вопроса квадратура круга. Узнаем, что значит квадрировать круг, возможно ли это. Задание 1. Как вы понимаете высказывание квадрировать фигуру. С помощью каких инструментов квадрируют?. Какие фигуры мы умеем квадрировать? Квадрировать круг пытались многие ученые, известный нам Антифон (5в. до н.э.). Он находил длину окружности как периметр вписанного многоугольника, неограниченно увеличивая число его сторон. Продолжать необходимо до тех пор, пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольется с окружностью. Антифон придерживался атомистических взглядов, то есть считал, что окружность и многоугольник состоят из атомов. На некотором шаге получится многоугольник, сторона которого состоит из одного атома, значит, он совпадает с кругом. 19 Следовательно, квадратура круга осуществлена, так как любой многоугольник квадрировать мы умеем. Многие древние ученые уже тогда понимали: как ни измельчай сторону многоугольника, окружность все равно не получишь, но тем не менее попытки решить задачу продолжались еще как минимум 23 века. При этом в последующие века интерес задаче не только не иссякал, но возрастал. В результате чего в 1755 году Парижская академия наук из-за бесплодных усилий математиков, а еще более от нематематиков, пытавшихся решить задачу о квадратуре круга, вынесла решение впредь не принимать на рассмотрение работы, касающиеся этой задачи. Хотя обоснованного ответа на вопрос можно ли решить эту задачу к тому времени так никто и не дал, но приближенных решений задачи было предложено несколько. Рассмотрим один из способов, предложенный в 1836 году русским ученым-инженером Бингом. В его основе лежит треугольник, названый в его честь – треугольник Бинга. Задание1. Определите, под каким углом нужно провести хорду АС к диаметру АВ данного круга, чтобы сторона АС являлась стороной квадрата, равновеликого данном кругу. Задание 2. Постройте угол, косинус которого равен 0.9, с помощью циркуля и линейки. Задание 3. Постройте искомый угол в треугольнике Бинга. 9. Луночки Гиппократа. На прошлом занятии говорили о квадратуре круга и отмечали, что эта задача занимала умы математиков долгие века. Вопрос : почему? Ответ на этот вопрос мы сегодня должны найти. Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр 5 века до н.э.- Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известные под названием «гиппократовых луночек». Задача 1. Докажите, что сумма серпов, лежащих между дугой полуокружности, построенной как на диаметре на гипотенузе, и дугами кругов, построенных на катетах того же прямоугольного треугольника, равна площади треугольника. 20 Вывод: фигуру, составленную из двух луночек Гиппократа, можно превратить в равновеликий им прямоугольный треугольник. А любой треугольник древние уже умели превращать в равновеликий квадрат. Задача 2. Докажите, что площадь луночки, отсекаемой от полукруга, построенного как на диаметре на гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, дугой окружности с радиусом, равным катету треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна площади этого треугольника. Задача 3. Докажите, что сумма площадей трех луночек, заключенных между полукругом, построенным на большем основании равнобокой трапеции как на диаметре, и полукругами на трех других, равных между собой, сторонах трапеции вместе с площадью полукруга на меньшем основании равна площади трапеции. Задача 4. Четыре луночки образованы окружностью, описанной вокруг квадрата, и полуокружностями, построенными на сторонах квадрата как на диаметрах. Доказать, что их общая площадь равна площади квадрата. Задача 5. В прямоугольнике одна сторона вдвое больше другой. Фигура образована дугами трех окружностей с радиусами, равными меньшей стороне. Доказать, что ее площадь равна площади прямоугольника. Таким образом, с помощью циркуля и линейки некоторые луночки можно превратить в равновеликий им круг. Потому так долго ученые искали способ квадрировать круг. Позднее было доказано, что квадрировать круг нельзя, всему виной чило , ведь это трансцендентное и иррациональное число. Произошло это только в 1882 году, когда Линдеман доказал трансцендентность . Однако найдено несколько способов приближенного решения этой задачи с использованием других методов и средств, например, с использованием спирали Архимеда. Стоит отметить, что в истории математики были и другие неразрешимые задачи, но эта оказалась самой сложной из задач древности. 10.Неразрешимость задачи о квадратуре круга 21 На протяжении нескольких занятий мы с вами пытались найти ответ на вопрос : разрешима ли задача о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Научились квадрировать прямоугольник, прямоугольный треугольник, доказали, что можно квадрировать отдельные криволинейные фигуры. Сегодня наша задача подвести итог в исследованиях и сделать вывод: разрешима задача ли нет. Задание 1. Составьте уравнение для решения задачи квадрирования круга Решение. Пусть сторона квадрата а, R- радиус круга. Значит, а 2 R 2 , выразим a R Внимательно посмотрите на каждый множитель и ответьте на вопрос: возможно или нет, на ваш взгляд, построить такой отрезок? Этот отрезок не может быт построен указанными средствами, так как есть число трансцендентное. Доказано, что мы можем построить только отрезки, длины которых рациональные числа. Еще раз напомним, что лишь во второй половине 19 века немецкому математику Ф. Линдеману удалось доказать трансцендентность числа . Это означает, что это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. За это эти числа называют трансцендентными, т.е. « превосходящими возможности алгебры». За строгое доказательство этого свойства Линдемана называют «победителем числа ». В связи с невозможностью решения задачи с помощью циркуля и линейки ученые стали придумывать не классические способы решения. Задача о квадратуре круга при расширенном наборе средств вполне разрешима, то есть может быть решена приближенно. Еще один способ решения этой задачи принадлежит Леонардо да Винчи (1452-1519) : если взять цилиндр, осевое сечение которого квадрат со стороной а, и прокатить его по плоскости, то за один оборот он покроет прямоугольник площадью à 2 . Можно сказать, что будет построен прямоугольник, равновеликий кругу, а квадратура прямоугольника известна. Задача разрешима с помощью других средств построения. Так еще в 4 веке до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, найденной еще в 5 веке до н.э. Гиппием Элидским. Эта кривая - квадратриса задается уравнением y=ctg x 2a . Решается задача также и с помощью спирали Архимеда. Для этого рассмотрим на спирали точку М, соответствующую повороту луча на угол . Обозначим ОМ=r и проведем в точке М касательную к спирали, а в точке О - перпендикуляр к МО. Как доказал Архимед, ОВ= r . Теперь легко квадрировать круг радиуса r. На протяжении нескольких занятий мы узнали многое о квадратуре различных фигур, в том числе круга. Объясните поговорку: «ему приходится 22 искать квадратуру круга». ( так говорят о человеке, которому предстоит решить сложную проблему). Задание 2. Составьте кроссворд. По горизонтали: 1. геометрическая фигура, состоящая из всех точек , расположенных на заданном расстоянии от данной точки 2. какой город по преданию был построен в пределах воловьей шкуры 3. имя какого неординарного вычислителя носило число долгое время 4. как называют числа, в десятичной записи которых все цифры встречаются одинаково часто 5. как называли рассуждения ученого Зенона, дословно переводимые как трудности 6. в каком древнем государстве для нахождения площади круга использовали 4 формулы 7. криволинейная фигура, похожая на сапожный нож, ее еще называют фигура Архимеда По вертикали: 1. ученый, первым предложивший использовать для обозначения отношения длины окружности к диаметру букву 2. одна из кривых, позволяющая решить приближенно задачу о квадратуре круга 3. ученый, первым предложивший использовать для выведения формулы длины окружности вписанные в круг правильные многоугольники 4. ученый, за мастерское владение доказательствами, прозванный «двуязыким» 5. ученый, доказавший трансцендентность числа 6. криволинейные фигуры, квадрировать которые умели уже в 5 веке до нашей эры 7. ученый, предложивший находить площадь круга как площадь прямоугольного треугольника, один катет которого равен длине окружности, а другой равен радиусу этой окружности 8. ученый, который в своей книге « Измерение круга»,не только нашел хорошее приближение для , но и определил интервал которому принадлежит число. 23
