9-ый класс Задача 1. Бедная Баба-Яга. Баба-Яга расстояние от замка Кощея Бессмертного до своей избушки на курьих ножках, двигаясь на метле со своей обычной скоростью V1 = 20 км/ч, преодолевает за t0 = 1 ч. Однажды она возвращалась домой и половину всего пути летела со своей обычной скоростью, затем погода испортилась и половину всего времени пришлось лететь с меньшей скоростью V2 = 10 км/ч, а в довершение всего у нее сломалась метла и остаток пути пришлось преодолевать пешком со скоростью V3 = 5 км/ч. Сколько времени t БабаЯга возвращалась домой? Решение: Пусть S - расстояние от начального пункта до конечного. Тогда весь путь можно разделить на три участка, на которых Баба-Яга двигалась со скоростью V1, V2 и V3 и затратила соответствующее время t1 = (S/2)/V1 = S/(2V1), t2 = t/2, t3 = t - t1 - t2 = t - S/(2V1 - t/2). Из выражения для всего пути получаем: S = V1t1 + V2t2 + V3t3, S = [(V1 - V3)S + tV1(V2 + V3)]/(2V1), t = (S/V1)(V1 + V3)/(V2 + V3). Если еще учесть, что S/V1 = t0, то t = t0(V1 + V3)/(V2 + V3) = 100 мин = 1 ч 40 мин. Ответ: t = t0(V1 + V3)/(V2 + V3) = 100 мин = 1 ч 40 мин. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания t1 = (S/2)/V1 = S/(2V1), t2 = t/2 t3 = t - t1 - t2 = t - S/(2V1 - t/2). S = V1t1 + V2t2 + V3t3, S = [(V1 - V3)S + tV1(V2 + V3)]/(2V1), Решение уравнения Сумма баллов: Число баллов 1 1 1 2 3 2 10 Задача 2. Подъем Карлсона. Поднимаясь на своем моторчике, как всегда равномерно из окна Малыша к себе на крышу, Карлсон в тот день, когда его угостили вареньем, затратил на подъем на Δt = 20 с больше, чем обычно. Какова масса Δm съеденного варенья, если мощность моторчика N = 2 Вт, высота подъема h = 10 м, ускорение свободного падения g = 10 м/с2? Решение: Пусть t - время подъема без варенья, m - масса Карлсона. Тогда из-за того, что Карлсон поднимается равномерно, вся мощность моторчика идет на увеличение потенциальной энергии можем записать для случаев подъема без варенья и с вареньем: mgh = Nt, (m + Δm)gh = N(t + Δt). Из решения системы этих двух уравнений после исключения t (например, после вычитания из второго уравнения первого) получаем Δm = NΔt/(gh) = 0,4 кг = 400 г. Ответ: Δm = NΔt/(gh) = 0,4 кг = 400 г. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания mgh = Nt (m + Δm)gh = N(t + Δt) Решение Δm = NΔt/(gh) = 0,4 кг = 400 г. Сумма баллов: Число баллов 3 3 4 10 Задача 3. Опыт с трубкой. В воду на глубину H = 10 см опущен нижний конец вертикальной трубки, внутреннее поперечное сечение которой имеет площадь S = 5 см2 и снизу закрыто тонкой монетой массой m = 20 г. При этом монета плотно прижата и не падает вниз. Затем в трубку сверху осторожно наливают воду. При какой минимальной высоте столба воды h в трубке монета "отвалится" и упадет вниз? Плотность воды ρ = 1 г/см3. Решение: В момент отрыва монеты от трубки на нее вниз действует сила давления столба жидкости внутри трубки (P0 + ρgh)S и сила тяжести mg, а вверх - сила давления воды вне трубки (P0 + ρgH)S, где P0 - атмосферное давление, g - ускорение свободного падения. Приравнивая эти силы, находим: (P0 + ρgh)S + mg = (P0 + ρgH)S, h = H - m/(ρS) = 6 см. Ответ: h = H - m/(ρS) = 6 см. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания P0 + ρgh)S (P0 + ρgH)S Условие (P0 + ρgh)S + mg = (P0 + ρgH)S Решение уравнения Сумма баллов: Число баллов 3 2 3 2 10 Задача 4. Нагревание воды. С помощью маломощного электрического кипятильника воду в ведре удалось нагреть от комнатной температуры t0 = 20 °С до t1 = 45 °С. До какой температуры t2 удастся довести воду в ведре, если ее нагревать двумя такими кипятильниками? Теплоемкостью нагревателя и ведра, а также испарением воды можно пренебречь, поток тепла от ведра во внешнюю среду пропорционален разности температур между ведром и внешней средой, температура внешней среды постоянна. Решение: При установившейся максимальной температуре воды вся подводимая к кипятильнику электрическая мощность N передается окружающей среде. То есть мощность теплоотдачи равна N. Она пропорциональна разности температур воды в ведре t1 и окружающей среды t0, и уравнение теплового баланса записывается в виде N = α(t1 - t0), где α - некоторый коэффициент, который характеризует теплопередачу окружающей среде. При увеличении подводимой мощности в два раза уравнение теплового баланса записывается в виде 2N = α(t2 - t0). Из системы этих двух уравнений после исключения N получаем t2 = 2t1 - t0 = 70 °С. Ответ: t2 = 70 °С. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания N = α(t1 - t0) 2N = α(t2 - t0) Решение системы уравнений и ответ t2 = 2t1 - t0 = 70 °С Сумма баллов: Число баллов 3 3 4 10 Задача 5. Электрическое сопротивление. Из куска однородной проволоки сделали равносторонний треугольник и измерили электрическое сопротивление между двумя его вершинами. Оно оказалось равным R0 = 140 Ом. Затем прямым куском из той же проволоки соединили середины двух сторон треугольника так, как показано на рисунке. Чему станет равным электрическое сопротивление R между теми же вершинами треугольника? Решение: Пусть R1 - электрическое сопротивление одной стороны треугольника. Тогда из вычисления сопротивления цепи в первом случае, где две последовательно соединенные стороны подключены параллельно к одной стороне, находим R1: R0 = R1(2R1)/(R1 + 2R1) = 2R1/3, R1 = 3R0/2. Во втором случае учтем, что электрическое сопротивление половины стороны треугольника равно R1/2, а электрическое маленького треугольника из-за его вдвое меньших размеров будет вдвое меньше большого, то есть равно R0/2. Тогда электрическое сопротивление последовательно соединенных двух половинок сторон и маленького треугольника с параллельно подсоединенной к ним целой стороны равно R = R1(R1/2 + R1/2 + R0/2)/(R1 + R1/2 + R1/2 + R0/2) = 6R0/7 = 120 Ом. Ответ: R = 6R0/7 = 120 Ом. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания R0 = R1(2R1)/(R1 + 2R1) = 2R1/3 R1 = 3R0/2 R = R1(R1/2 + R1/2 + R0/2)/(R1 + R1/2 + R1/2 + R0/2) = 6R0/7 = 120 Ом Сумма баллов: Число баллов 3 1 6 10