Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 3

Министерство образования и науки Российской
Федерации
Федеральное агентство по образованию
Северо-Кавказский горнометаллургический институт
(государственный технологический университет)
К. М. Датиев
Введение в физику конденсированного
состояния
Сборник задач и упражнений
Владикавказ 2015
УДК 621.385
В учебном пособии кратко изложены основы зонной теории твёрдых
тел, статистика электронов и дырок в полупроводниках, явления переноса
носителей заряда в полупроводниках, явления инжекции и рекомбинации
неравновесных носителей, контактные явления в полупроводниках
(контакт металл – полупроводник, гомо и гетеропереходы). В конце каждой
главы приведены многочисленные вопросы, задачи и упражнения, решение
которых позволит читателю углубить и закрепить теоретические знания.
Содержание
Глава 1. Основы зонной теории твёрдых тел ....................................................... 4
1.1 Статистика электронов и дырок в полупроводниках .................................... 4
1.2 Диффузия и дрейф носителей заряда в полупроводниках. Удельная
проводимость. .......................................................................................................... 7
1.3 Неравновесные носители заряда. Уравнения непрерывности ..................... 9
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 1 .................................... 12
Глава 2. P−n переход . Высота потенциального барьера. Гетеропереход.
Барьер Шоттки....................................................................................................... 31
Контрольныe вопросы, задачи и упражнения к главе 2 ................................... 36
Глава 3. Уравнение ВАХ p-n перехода. Влияние генерации и ..................................
рекомбинации носителей в p-n переходе и сопротивления базы на ВАХ диода
................................................................................................................................. 39
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 3 .................................... 45
Глава 4. Пробой p-n перехода ........................................................................... 52
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 4 .................................... 56
Глава 5. Емкость p-n перехода ............................................................................. 60
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 5 .................................... 63
Приложение 1. Параметры германия, кремния и арсенида галлия ................. 67
Приложение 2 . Фундаментальные физические постоянные ........................... 68
Литература ............................................................................................................. 69
Глава1. Основы зонной теории твёрдых тел
1.1 Статистика электронов и дырок в полупроводниках
В невырожденных полупроводниках применяется статистика
Максвелла-Больцмана. Концентрации электронов и дырок в зоне
проводимости и валентной зоне равны соответственно:
n  Nce
p  Nve


Ec  EF
kT
(1.1)
EF  Ev
kT
(1.2)
где :
 2 mn*kT 
Nc  2 

2
 h

 2 m*p kT
Nv  2 
 h2




3/2
(1.3)
3/2
(1.4)
где N c , N v − эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в
валентной зоне, соответственно:
mn* , m*p − эффективные массы электрона и дырки.
Основным соотношением, используемым для определения уровня
Ферми, служит условие электрической нейтральности
p  n  N d  0
Заполнение примесных уровней определяются выражениями:
EF  Ed
N d0
 g d e kT

Nd
4
(1.5)
(1.6)
E F  Ea
N a_
1
kT
0  ga e
Na
(1.7)
где N a0 , N d0 , N a , N d − концентрации нейтральных и ионизированных
акцепторов и доноров;
ga gd − фактор вырождения примесного уровня акцептора и донора
E a , E d - энергия акцепторного и донорного уровня. В простейшем
случае фактор вырождения равен двум.
Для собственного полупроводника  p  n  ni  положение уровня
Ферми зависит от температуры и соотношения между эффективными
плотностями состояний:
EF 
Ec  Ev kT N v

ln
,
2
2
Nc
(1.8)
 Eg
ni 
N c N v e 2 kT
(1.9)
В состоянии термодинамического равновесия в невырожденных
полупроводниках выполняется соотношение
2
nn 0  pn 0  p p 0 n p 0  ni ,
(1.10)
известное под названием закона действующих масс.
Для примесного полупроводника n-типа условие электрической
нейтральности имеет вид
p  n  N d  0,
(1.11)
а для полупроводника p-типа
p  n  N a  0
(1.12)
Уравнения (1.11) и (1.12) позволяют определить положение уровня
Ферми для каждого конкретного случая и его зависимость от температуры.
Так, для полупроводника n-типа в области низких температур (при g=1):
EFn 
Ec  Ed kT N d

ln
2
2
Nc
nn  N c N d e
5
 Ed
2 kT
(1.13)
(1.14)
Для дырочного полупроводника:
E  Ev kT N a
EFp  a

ln
2
2
Nv
p p  N a Nv e

Ea
2 kT
(1.15)
(1.16)
Зависимость концентрации электронов в полупроводнике n-типа от
температуры , построенная в координатах ln n  f (1 T ) , имеет вид,
представленный на рис.1.1
Рисунок 1- Температурная зависимость концентрации свободных электронов в
полупроводнике п - типа
В области низких температур концентрация изменяется согласно
(1.14), угол наклона прямой определяется энергией активации донорной
примеси
(область примесной проводимости или область
Ed
вымораживания). При температурах T  Ts практически все доноры отдают
электроны в зону проводимости
ТS 
Ed
k  ln
Nc
Nd
При этом nn  N d (область истощения примесей) и не меняется с
температурой, тогда как концентрация неосновных носителей
pn 
6
ni2
nn
растет с температурой по экспоненциальному закону.
При температурах T  Ti концентрация nn растет за счет
возбуждения электронов из валентной зоны в зону проводимости согласно
(1.9), угол наклона прямой определяется шириной запрещенной зоны
(область собственной проводимости)
Ti 
Eg
N N
k  ln c 2 v
Nd
Диапазон рабочих температур, в котором работают реальные
полупроводниковые приборы, лежит в основном в области истощения
примесей.
1.2 Диффузия и дрейф носителей заряда в полупроводниках.
Удельная проводимость.
Под действием электрического поля в полупроводнике возникает
электрический ток - ток дрейфа свободных носителей заряда. Плотности
электронного и дырочного дрейфовых токов определяются выражениями:
jn дp  enVдp n  enn E   n E
(1.17)
j p дp  epVдp p  ep p E   p E
(1.18)
где  n ,  p -подвижности электронов и дырок.
Суммарный ток дрейфа равен:
jдр  jn дp  j p дp  e  nn  p p  E
(1.19)
  enn  ep p   n   p
(1.20)
Величина
называется удельной электропроводностью полупроводника.
С учетом (1.20) выражение для дрейфового тока принимает вид:
jдp   E
7
(1.21)
При наличии в полупроводнике неоднородного распределения
свободных носителей заряда в нем возникают диффузионные токи.
Плотности диффузионных токов электронов и дырок определяются
выражениями:
где
jn диф  eDn gradn
(1.22)
j p диф  eD p gradp
(1.23)
Dn , D p - коэффициенты диффузии электронов и дырок. Для
одномерного случая выражения (1.22) и (1.23) принимают вид:
jn диф  eDn
dn
dx
j p диф  eD p
(1.24)
dp
dx
(1.25)
Полные плотности электронного и дырочного токов определяются
суммой дрейфовой и диффузионной составляющих:
jn  jn др  jn диф  enn  eDn
dn
dx
j p  j p др  j p диф  ep p E  eD p
dp
dx
(1.26)
(1.27)
В невырожденных полупроводниках подвижности и коэффициенты
диффузии носителей заряда связаны соотношениями Эйнштейна:
Dn

kT
e
(1.28)
Dp

kT
e
(1.29)
n
p
Основным механизмом, определяющим подвижность носителей заряда
для кремния и германия, является рассеяние на акустических фононах
(колебаниях атомов решетки) и ионизированных атомах примеси. При
рассеянии на акустических фононах подвижность меняется с температурой
по закону:
8
 3/2 ,
(1.30)
а при рассеянии на ионах примеси
  T 3/2
(1.31)
В полярных полупроводниках, таких как GaAs, рассеяние происходит
на оптических фононах, а температурная зависимость подвижности имеет
вид:
  T 1/2
(1.32)
С ростом электрического поля зависимость дрейфовой скорости
носителей становится нелинейной вплоть до ее насыщения. При полях
больше критических (для Ge,Si и GaAs порядка 5  103  5  104 В/см)
дрейфовые скорости электронов и дырок перестают зависеть от
электрического поля. Скорости насыщения носителей в указанных выше
полупроводниках составляют 6  106  2  107 см/с.
1.3 Неравновесные носители заряда. Уравнения
непрерывности
При воздействии теплового хаотического движения атомов кристалла
полупроводника, квантов света и других энергетических факторов
происходит образование свободных электронов и дырок − генерация
носителей заряда. При этом, очевидно, что при Т  0 генерация носителей
происходит непрерывно.
Одновременно с генерацией в полупроводнике происходит и
обратный процесс-рекомбинация носителей заряда, т.е. захват электрона
зоны проводимости дыркой валентной зоны, в результате чего происходит
исчезновение свободной электронно-дырочной пары.
В состоянии термодинамического равновесия процессы
генерации и рекомбинации носителей заряда взаимно уравновешены.
При воздействии на полупроводник внешнего электрического
фактора (свет, сильное электрическое поле и др.) из-за генерации носителей
заряда их концентрация (n, p), называемая неравновесной, превышает
9
равновесную  n0, p0  на величину n  или p  которую называют избыточной
концентрацией
n  n  n0 ,
p  p  p0
Изменение концентрации неравновесных электронов и дырок во
времени и пространстве описывается уравнениями непрерывности:
n 1
 div jn  Gn  Rn ,
t e
(1.33)
p
1
  div j p  G p  R p ,
t
e
(1.34)
где Gn , G p − скорость генерации неравновесных электронов и дырок;
Rn , R p − скорость рекомбинации неравновесных электронов и
дырок.
 jx  j y  jz


.
(1.35)
x y z
При нарушении электронейтральности, т.е. образовании объемного
заряда, возникает электрическое поле, которое связано с объемным зарядом
уравнением Пуассона:
div j 
d 2

,


 0
dx 2
(1.36)
где  − потенциал,
 − плотность объемного заряда,
 − относительная диэлектрическая проницаемость,
 0 − абсолютная проницаемость.
С учетом того, что E  
d
, уравнение (1.36) принимает вид
dx
dE


.
dx  0
(1.37)
В большинстве случаев скорость рекомбинации определяется
концентрацией избыточных носителей и их временем жизни. Такая
рекомбинация называется линейной. При этом определяющими такой
процесс будут носители, концентрация которых меньше:
10
Rn 
Rp 
n p  n po
n
pn  pno
p
(1.38)
(1.39)
Существуют следующие основные механизмы рекомбинации:
1) межзонная или непосредственная рекомбинация;
2) рекомбинация с участием рекомбинационных ловушек;
3) поверхностная рекомбинация.
Различают
два
вида
рекомбинации
−
излучательная
и
безизлучательная. В первом случае энергия при рекомбинации электрона
выделяется в виде кванта света (фотона), а во втором - в виде фононов.
11
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 1
1.1 Что понимают под собственным и примесным полупроводником?
Приведите их энергетические диаграммы.
1.2 Сформулируйте закон действующих масс.
1.3 Что понимают под диффузией и дрейфом носителей заряда?
Запишите выражения для диффузионной и дрейфовой составляющих тока
электронов и дырок.
1.4 Как зависит от температуры концентрация заряда в примесном
полупроводнике? Приведите соответствующие графики при различных
концентрациях легирующей примеси.
1.5 Приведите и объясните ход температурной зависимости подвижности носителей заряда.
1.6 Как изменяется с температурой удельная проводимость примесного
полупроводника?
1.7 Что понимают под генерацией и рекомбинацией неравновесных
носителей заряда?
1.8 Приведите уравнения непрерывностей электронов и дырок. Каков
их физический смысл?
1.9 В каких полупроводниках концентрация неосновных носителей
выше: в сильнолегированных или слаболегированных?
1.10 Определите положение уровня Ферми для германия n-типа при
трех значениях температуры 300К, 400К, 500К, если концентрация атомов
сурьмы 1016cм-3.
1.11 Определите положение уровня Ферми в кристалле кремния при
Т=300К, если концентрация акцепторной примеси (бора) в нем равна.
1.12 Определить положение уровня Ферми в кристалле кремния при
Т=300К, если концентрация донорной примеси (фосфор) в нем равна
1015 см 3 .
1.13 Определить положение уровня Ферми при Т=350К в кремнии nтипа и концентрацию неосновных носителей заряда, если концентрация
донорной примеси Nd=1015см3.
1.14 Почему уровни Ферми контактирующих тел в состоянии
термодинамического равновесия одинаковы?
1.15 Найти положение уровня Ферми и температурную зависимость
концентрации носителей в собственном полупроводнике. Определите
изменение концентрации электронов в таком полупроводнике при изменении
12
температуры от 100К до 300К, полагая, что ширина запрещенной зоны
меняется по линейному закону E g   1,21  T  эВ.
1.16 В некотором образце полупроводника по данным измерений
эффекта Холла концентрация электронов составила:
1016см-3 при Т=450К; 1015см-3 при Т=300К.
Определить ширину запрещенной зоны полупроводника, полагая, что
она меняется по линейному закону.
1.17 Найти удельное сопротивление чистого германия при двух
значениях температуры: 300К и 30К, полагая, что подвижность электронов
при Т=300К равна 3800 см2/Вc , а с температурой она меняется по закону
 n  T 3/ 2 , где- постоянная. Считать, что ширина запрещенной зоны
E g   0,785  4  10 4 T  эВ, а отношение подвижностей
n
b

 2.1
электронов и дырок не зависит от температуры и равно
p
меняется по закону
1.18 Определить температуру, при которой уровень Ферми совпадает с
уровнем донорной примеси для кремния, легированного фосфором в
концентрации 1014 см-3. Определить концентрацию электронов при этой
температуре, полагая, что уровень фосфора отстоит от дна зоны
проводимости на 0,5эВ. Фактор вырождения положить равным единице.
1.19 Определить температурный интервал, в котором концентрация
электронов постоянна и равна концентрации доноров.
1.20 Решить предыдущую задачу для германия, содержащего 1016см-3
атомов сурьмы с энергией ионизации 0,01эВ. Считать, что ширина
4
запрещенной зоны E g   0,785  4  10 T  , а фактор вырождения равен
двум.
1.21 Рассчитать концентрацию дырок и удельную проводимость
кремния легированного бором (Na=1015 cм-3) при комнатной температуре и
при Т=30К, если энергия ионизации бора в кремнии равна 0,045эВ, а фактор
вырождения равен единице.
1.22 Образец германия легирован бором и сурьмой. Концентрация
Nd
 0,5. Рассчитать
атомов сурьмы равна 1016см-3 , а степень компенсации
Na
концентрацию дырок при Т=20К, полагая, что энергетический уровень бора в
германии равен 0,01эВ, а фактор вырождения равен двум.
1.23 В некотором образце полупроводника собственная концентрация
электронов составляет 21015 cм-3 при 100К и 61016
см-3
при
500К.
13
Определить ширину запрещенной зоны, полагая, что она меняется по
линейному закону.
1.24 Рассчитать отношение концентраций свободных носителей заряда
и положение уровня Ферми для собственного полупроводника при
комнатной температуре и Т=30К. При расчете учесть температурную
зависимость ширины запрещенной зоны.
1.25 Рассчитать равновесную концентрацию электронов и дырок при
Т=300К для кремния, легированного сурьмой до концентрации 1014 атомов
1см3. Считать энергию ионизации атомов сурьмы в кремнии равной 0,04эВ.
1.26 Определить положение уровня Ферми при Т=300К для кристалла
германия, содержащего 8  1015 атомов мышьяка в 1см3.
1.27
Определить
положение
уровня
Ферми
собственного
полупроводника относительно середины запрещенной зоны при Т=300К,
если эффективная масса электрона вдвое меньше эффективной массы дырки.
mn
1.28 Решить задачу 1.27 для условия, что   2 .
mp
1.29 Рассчитать удельную проводимость образца кремния при Т=300К,
если концентрация доноров в полупроводнике 51015см-3, а концентрация
акцепторов 61015см-3.
1.30 Рассчитать концентрацию электронов и дырок в кремнии n-типа
при Т=300К, если его удельное сопротивление составляет 10 Омсм.
1.31 Образец собственного кремния находится при Т=300К.
Определить, на сколько процентов увеличится проводимость кремния при
увеличении температуры на 10%.
1.32 Рассчитать среднюю дрейфовую скорость носителей заряда в
образце кремния при Т=300К, если к образцу приложено внешнее
электрическое поле с напряженностью Е=50 В/см, 500 В/см, 5103 В/см.
1.33 Образец собственного германия находится при Т=300К.
Определить на сколько процентов увеличится проводимость германия при
увеличении температуры на 10%.
1.34 Решить задачу 1.32 для кремния.
1.35 Найти величину дрейфового тока, протекающего через
кремниевый образец n-типа длиной 1 см и поперечным сечением 4 мм2, к
концам которого приложена разность потенциалов 50 В. Концентрация
электронов проводимости n=1015см-3, Т=300К.
1.36 Найти подвижность дырок в германии при Т=300К, если
коэффициент диффузии дырок 45 см2/с.
14
1.37 Дрейфовый ток плотностью 10 А/см2 протекает через кристалл
кремния n-типа с удельным сопротивлением 10 Омсм. Найти время, за
которое электроны проводимости пройдут расстояние 0,5 мм.
1.38 Рассчитать среднюю дрейфовую скорость носителей заряда в
образце кремния n-типа с удельным сопротивлением 10 Омсм, если через
него течет дейфовый ток плотностью 1 А/см2.
1.39 В образце кремния p-типа концентрация акцепторной примеси при
Т=300К составляет 51015cм-3. Найти концентрацию неосновных носителей
заряда и их диффузионную длину, если время жизни этих носителей 10 мкс.
1.40 Рассчитать время жизни и подвижность электронов в образце
полупроводника при Т=300К, если диффузионная длина электронов Ln
=0,25см, а коэффициент диффузии Dn=90 см2/с.
1.41 Найти диффузионную длину Ln и коэффициент диффузии Dn
электронов в кремнии при Т=300К, если время жизни электронов  n =10мкс,
а подвижность электронов 1350 см2/Вс.
1.42 Найти диффузионную длину электрона в арсениде галлия n-типа
при Т=300К, если подвижность электронов n=8103cм2/Вс, а время их жизни
10 мкс.
1.43 К образцу арсенида галлия длиной 1,5см приложена разность
потенциалов 20В. Определить дрейфовую скорость электронов в этом
образце.
1.44 В однородный полубесконечный полупроводник p-типа в точке
x=0 стационарно инжектируются электроны. Рассчитать концентрацию
 =0,9, полная
электронов в точке x=0, если коэффициент инжекции
плотность тока 10 мА/см2, Ln =1,5мм, Dn =100см2/с. Дрейфом электронов
можно пренебречь.
1.45 В некоторой точке однородного полупроводника n-типа световым
зондом генерируются электронно-дырочные пары. Полагая задачу
одномерной, рассчитать диффузионную длину дырок, если концентрация
неравновесных носителей на расстоянии 5мм от зонда равна 10 15см-3, а на
расстоянии 7,5мм -51013см-3.
1.46 Удельное сопротивление собственного германия при Т=300К
равно 47Омсм. Определить собственную концентрацию электронов и дырок.
1.47 Определить концентрацию электронов и дырок при Т=300К в
беспримесном кремнии.
1.48 Решить предыдущую задачу для кремния, содержащего 1016
атомов бора в 1 см-3.
15
1.49 Определить удельное сопротивление кремния n-типа при Т=300К,
если концентрация доноров N d составляет 1013см-3, 1015см-3,1017cм-3
1.50 Решить задачу 1.49 для кремния p-типа при таких же значениях
концентрации акцепторной примеси.
1.51 Определить удельную проводимость германия при Т=300К, если
концентрация акцепторной примеси равна 1014см-3, 1016см-3, 1018см-3.
1.52 Решить предыдущую задачу для германия n -типа при таких же
значениях концентрации донорной примеси.
1.53 Определить концентрацию носителей заряда в образце германия nтипа при Т=300К, если его удельная проводимостьn  50 (Омсм)-1.
1.54 Решить задачу 1.53 для кремния p-типа, если его удельная
проводимость составляет 10 (Омсм)-1.
1.55 Решить задачу 1.53 для арсенида галлия p-типа, если его удельная
проводимость составляет 1 (Омсм)-1.
1.56 В некотором образце кремния p-типа, имеющего длину 2см,
ширину 0,5см и толщину 3мм, сопротивление равно 350 Ом.
Определить:
1) концентрацию примеси;
2) отношение дырочной проводимости к электронной.
1.57 В образце германия n-типа при Т=300К и концентрации Nd=1015см3
коэффициент диффузии дырок равен Dp=43см2/с. Найти концентрацию
неосновных носителей заряда и их подвижность.
1.58 Найти удельную электропроводность n германия n-типа при
Т=300К, если концентрация дырок в нем p=1010см-3.
1.59 Определить удельную электропроводность кремния p-типа при
Т=300К, если концентрация электронов в нем n=1016см-3.
1.60 Два образца кремния n- и p-типов имеют одинаковую удельную
электропроводность. Одинаковы ли в них концентрации основых носителей
заряда?
1.61 Одинаковы ли концентрации электронов в кремнии и германии nтипа при равных удельных сопротивлениях и при одной и той же
температуре?
1.62 В каких полупроводниках концентрация неосновных носителей
больше: в высокоомных или низкоомных?
1.63 Решить задачу 1.47 для арсенида галлия.
1.64 Решить задачу 1.47 для фосфида галлия.
1.65 В образце собственного кремния создано электрическое поле
напряженностью 100 В/см. Определить:
16
1) скорость дрейфа электронов и дырок;
2) удельное сопротивление кремния;
3) плотность дрейфового тока.
1.66 На образец германия n-типа падает монохроматический свет с
длиной волны  =0,546 мкм. Считая, что весь падающий на образец свет
полностью расходуется на генерацию электронно − дырочных пар,
определить, какой световой поток должен падать на боковую поверхность
образца, чтобы увеличить его проводимость вдвое. Квантовый выход
принять равным 1. Размеры образца: длина 0,5см, ширина 2мм, толщина 1мм.
Удельная электропроводность 0,01 (Омсм)-1, время жизни неосновных
носителей 100мкс. Считать, что на указанной длине волны световой поток в
1лм эквивалентен 1610-4 Вт.
1.67 Коэффициент Холла образца примесного кремния равен
420см3/Кл, удельное сопротивление образца 1,05 Омсм. Определить
концентрацию и подвижность носителей заряда, полагая, что эти носители
одного знака.
1.68 К образцу полупроводника приложено электрическое поле. В
каком направлении по отношению к полю будут двигаться электроны и
дырки? В каком направлении потечет электронный и дырочный ток?
1.69 Некоторый термистор из собственного кремния имеет
сопротивление 103 Ом при Т=300К. Определить его сопротивление при
Т=350К, полагая, что подвижности носителей остаются постоянными.
1.70 Решить предыдущую задачу, полагая, что подвижности носителей
заряда изменяются пропорционально T 3/2 .
1.71 Ширина запрещенной зоны Eg собственного кремния равна 1,12
эВ. Вычислить вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна
проводимости при температурах 0 и 300 K. Как изменится эта вероятность
при указанных температурах, если на полупроводник будет действовать
электромагнитное излучение с длинами волн 𝜆 = 0,6 и 2,0 мкм? Считать, что
при Т=300 К 𝐸 − 𝐸𝐹 практически равно 𝐸𝑔 /2.
Решение. 1. Функция распределения Ферми – Дирака имеет вид:
−1
𝑃(𝐸) = [1 + 𝑒 (𝐸−𝐸𝐹 )/(𝑘𝑇) ] ,
где (P)E – вероятность того, что электрон имеет энергию Е. При Т=0 К
𝐸 > 𝐸𝐹 , 𝑒 (𝐸−𝐸𝐹 )/(𝑘𝑇) → ∞ и Р(Е) = 0.
Следовательно, энергия электрона не превышает 𝐸𝐹 .
Вероятность того, что при температуре Т=300 К электрон обладает
энергией Е относительно дна зоны проводимости,
17
−19
−23
−1
𝑃(𝐸) = [1 + 𝑒 0,56∗1,6∗10 /(1,38∗10 ∗300) ] = (1 + 𝑒 21,6 )−1 = 4 ∗ 10−10 .
2. Когда на полупроводник действует излучение с длиной волны 𝜆 =
0,6 мкм, частота этого излучения
с
𝜈 = = 3 ∗ 108 /(0,6 ∗ 10−6 ) = 5 ∗ 1014 Гц.
𝜆
Энергия
𝐸 = ℎ𝜈 = 6,62 ∗ 10−34 ∗ 5 ∗ 1014 = 3,31 ∗ 10−19 Дж = 2,1 эВ
(h – постоянная Планка)
Поскольку 2,1 эВ > 1,12 эВ, то вероятность нахождения электронов в
зоне проводимости увеличивается как при 0 К, так и при 300 К.
3. Если на полупроводник действует излучение с длиной волны 𝜆 = 2
мкм,
то
с
𝜈 = = 3 ∗ 108 /(2 ∗ 10−6 ) = 1,5 ∗ 1014 Гц.
𝜆
Энергия
𝐸 = ℎ𝜈 = 6,62 ∗ 10−34 ∗ 1,5 ∗ 1014 /(1,6 ∗ 10−19 ) = 0,62 эВ
Т.к. 0,62 эВ ˂ 1,12 эВ, то никакого изменения вероятности не
происходит ни при Т=0, ни при Т=300 К.
1.72 Найти положение уровня Ферми в собственном полупроводнике
относительно середины запрещенной зоны при комнатной температуре
(Т=300 К), если эффективная масса электрона в 2 раза больше эффективной
массы дырки.
1.73. Определить положение уровня Ферми в германии n-типа при
температуре Т=300 К, если на 2*106 атомов германия приходится один атом
примеси. Концентрация атомов в германии равна 4,4*1028 атомов/м3.
Постоянная G в выражении, связывающем число электронов в единице
объема в зоне проводимости с температурой и энергетическими уровнями,
равна 4,83*1021 м-3*К3/2. Ширина запрещенной зоны 0,72 эВ, а расстояние
между дном зоны проводимости и донорным уровнем 0,01 эВ.
Решение. Поскольку концентрация атомов в германии равна 4,4*1028
м-3 и на 2*106 атомов германия приходится один атом примеси, то число
свободных электронов в нем составит 2,2*1022 м-3. Концентрация свободных
электронов в германии определяется следующим образом:
𝑛𝑛 = 𝐺𝑇 3/2 𝑒 −(𝐸𝑐 −𝐸𝐹 )/(𝑘𝑇) = 𝑁𝑐 𝑒 −(𝐸𝑐 −𝐸𝐹 )/(𝑘𝑇) ,
(1)
21
-3
3/2
где G = 4,83*10 м *К ; Nc – эффективная плотность состояний в
зоне проводимости, определяемая выражением
(2𝜋 𝑚∗ 𝑛 𝑘)3/2 𝑇 3/2
2𝜋 𝑚∗ 𝑛 𝑘𝑇 3/2
𝑁𝑐 = 2 (
.
) =2
ℎ2
ℎ3
18
Согласно условию задачи 𝑛𝑛 = 2,2 ∗ 1022 м−3 . Поскольку разница
между донорным уровнем и дном зоны проводимости равна 0,01 эВ, а
ширина запрещенной зоны Eg=0,72 эВ, то можно считать, что при комнатной
температуре все атомы примеси ионизированы, и пренебречь тепловой
генерацией носителей.
При Т=300 К
𝑁𝑐 = 𝐺𝑇 3/2 = 4.83 ∗ 1021 ∗ 3003/2 = 20 ∗ 1024 м−3 .
Перепишем выражение (1) в виде
𝑒 (𝐸𝑐 −𝐸𝐹 )/𝑘𝑇 = 𝑁𝑐 /𝑛𝑛
или
(𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 )/𝑘𝑇 = ln(𝑁𝑐 /𝑛𝑛 ) ,
отсюда
𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇ln(𝑁𝑐 /𝑛𝑛 ) ,
причем 𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 измеряются в джоулях.
Таким образом,
25 ∗ 1021
1
−23
𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 = 300 ∗ 1,38 ∗ 10 𝑙𝑛 (
= 0,18 эВ
)
2,2 ∗ 1022 1,6 ∗ 10−19
Следовательно, уровень Ферми находится на 0,18 эВ ниже дна зоны
проводимости.
1.74 Найти положение уровня Ферми относительно середины
запрещенной зоны при температуре Т=300 К для кристалла германия,
содержащего 5*1016 атомов мышьяка в 1 см3.
1.75 Вычислить положение уровня Ферми относительно» дна зоны
проводимости при температуре Т=400 К для кристалла германия,
содержащего 5*1016 атомов сурьмы в 1 см3.
1.76 Кристалл кремния содержит 1017 атомов бора в 1 см3. Найти
положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны при
температуре Т=300 К.
1.77 Определить относительное положение уровня Ферми в
кремниевом полупроводнике p-типа и концентрацию неосновных носителей
заряда, если концентрация акцепторной примеси 𝑁𝑎 = 1016 см−3 , а
температура окружающей среды Т=343 К.
1.78 Имеется кристалл германия p-типа при комнатной температуре
(T=300 К). При какой концентрации акцепторной примеси уровень Ферми
будет совпадать с потолком валентной зоны, если 𝑚∗ 𝑝 = 0,4 𝑚0 ?
1.79 Удельное сопротивление собственного германия при T=300 К
𝜌 = 0,43 Ом ∗ м. Подвижности электронов и дырок в германии равны
19
соответственно
0,39 и 0,19 м2 /(В ∗ с).
Определите
собственную
концентрацию электронов и дырок.
Решение. Удельная проводимость полупроводника σ определяется из
уравнения
𝜎 = 𝑒(𝑝𝜇𝑝 + 𝑛𝜇𝑛 )
где n — концентрация электронов; p—концентрация дырок; µn—
подвижность электронов; µp—подвижность дырок; е— заряд электрона.
Для собственного полупроводника p=n=ni , где ni - концентрация
электронов и дырок. Поэтому собственная удельная проводимость σi задается
в виде
𝜎𝑖 = 1/𝜌𝑖 = 𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ),
отсюда
1
𝑛𝑖 =
= 2,5 ∗ 1019 м3 .
−19
0,43 ∗ 1,602 ∗ 10 (0,39 + 0,19)
1.80 Определить концентрацию электронов и дырок при Т=300 К: а) в
собственном кремниевом полупроводнике; б) в кристалле кремния,
содержащем 5 ∗ 1017 атомов сурьмы в 1 см3 .
1.81 Определить удельное сопротивление кремния n-типа при T=300
K, если концентрация доноров равна 1014 см-3 и 1018 см-3.
1.82 Решить задачу 6.29 для германия при таких же концентрациях
донорной примеси.
1.83 Решить задачу 6.29 для кремния при таких же кон¬центрациях
акцепторной примеси.
1.84 Образец германия легирован алюминием с концентрацией
𝑁𝑎 = 2 ∗ 1015 см−3 . Определить удельную проводимость этого образца при
Т=300 К.
1.85 Образец собственного кремния имеет удельное сопротивление
2000 Ом*м при комнатной температуре и концентрацию электронов
проводимости𝑛𝑖 = 1,4 ∗ 1016 см−3 . Определить удельное сопротивление
образца, легированного акцепторной примесью с концентрацией 1021 и 1023
м-3. Предположите, что подвижность дырок остается одинаковой как для
собственного, так и для примесного кремния и равной 𝜇𝑝 = 0,25 𝜇𝑛 .
1.86 Удельная проводимость образца собственного кремния при
T=300 К равна 4,3 ∗ 10−4 См/м. Какова концентрация собственных
носителей? Если через образец проходит ток, то какая часть этого тока
обусловлена электронами?
20
1.87 Образец, рассмотренный в задаче 6.35, легирован донорными
примесями и имеет электронную электропроводность. Концентрация
доноров равна 1021 м-3. Найти концентрацию дырок в легированном образце,
а также определить, какая часть тока в этих условиях переносится дырками.
Предполагается, что легирование практически не сказывается на
подвижности носителей. При T=300 K подвижность электронов в кремнии
принять 𝜇𝑛 = 0,135 м2 /(В ∗ с); подвижность дырок 𝜇𝑝 = 0,048 м2 /(В ∗ с).
1.88 Дан образец легированного кремния n-типа длиной 10 мм,
шириной 2 мм и толщиной 1 мм. Подвижности электронов и дырок равны
соответственно 0,12 и 0,05 м2/(В*с), концентрация собственных носителей
заряда ni=1,5*1016 м-3. Определить: а) концентрацию примеси в образце, если
сопротивление образца R=150 Ом; б) отношение дырочной удельной
проводимости к электронной.
Решение. а) Определим удельное сопротивление материала
10−3
−3
𝜌 = 𝑅П/𝑙 = 150 ∗ 1 ∗ 10 ∗ 2 ∗
= 0,03 Ом ∗ м.
(10 ∗ 10−3 )
Удельное сопротивление примесного кремния n-типа определяется
выражением
−1
𝜌 = [𝑒(𝑛𝑛 𝜇𝑛 + 𝑝𝑛 𝜇𝑝 )] .
Подставив в (1) числовые данные из условия задачи, получим:
0,03 = [1,6 ∗ 10−19 (𝑛𝑛 ∗ 0,12 + 𝑝𝑛 ∗ 0,05)]−1
или
0,12 𝑛𝑛 + 0. ,05𝑝𝑛 = 2,08 ∗ 1020 .
Поскольку 𝑛𝑛 𝑝𝑛 = 𝑛2 𝑖 , то
𝑝𝑛 = 𝑛2 𝑖 /𝑛𝑛 = (1,5 ∗ 1016 )2 /𝑛𝑛 .
Подставив (4) в (3), получим:
0,12𝑛𝑛 + 0,05(1,5 ∗ 1016 )2 /𝑛𝑛 = 2,08 ∗ 1020
или
0,12𝑛2 𝑛 + 0,05(1,5 ∗ 1016 )2 − 2,08 ∗ 1020 𝑛𝑛 = 0 .
Отсюда для n-полупроводника
(1)
(2)
(3)
(4)
2,08 ∗ 1020 + √(2,08 ∗ 1020 )2 − (4 ∗ 0,12 ∗ 0,05(1,5 ∗ 1016 )2 )
𝑛𝑛 =
= 1,73 ∗ 1021 м−3
2 ∗ 0,12
Такое же значение имеет и концентрация доноров Nд.
б) Определим отношение дырочной удельной проводимости к
электронной.
Дырочная и электронная удельные проводимости определяются
выражениями:
𝜎𝑝 = 𝑝𝑛 𝑒𝜇𝑝 ; 𝜎𝑛 = 𝑛𝑛 𝑒𝜇𝑛 .
21
Тогда
𝜎𝑝 𝑝𝑛 𝑒𝜇𝑝 𝑝𝑛 𝜇𝑝 (1,5 ∗ 1016 )2 𝜇𝑝
=
=
=
.
𝜎𝑛 𝑛𝑛 𝑒𝜇𝑛 𝑛𝑛 𝜇𝑛
𝑛2 𝑛 𝜇𝑛
Следовательно,
𝜎𝑝
2,25 ∗ 1032 ∗ 0,05
=
= 3,1 ∗ 10−11 .
21
2
𝜎𝑛 (1,73 ∗ 10 ) ∗ 0,12
1.89 В собственном германии концентрация атомов равна 4,5*1028 м-3.
При Т=300 К один из каждых 2*109 атомов ионизирован. Подвижности
электронов и дырок при этой температуре равны соответственно 0,39 и 0,19
м2/(В*с). Определить: а) удельную проводимость собственного германия; б)
удельную проводимость германия при Т=300 К, легированного элементом V
группы, если на каждые 108 атомов германия приходится один атом примеси.
Решение. а) Найдем концентрацию собственных носителей заряда ni в
германии при T=300 K:
𝑛𝑖 = 4,5 ∗ 1028 /(2 ∗ 109 ) = 2,25 ∗ 1019 м−3 .
Удельная проводимость собственного германия
𝜎𝑖 = 𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ) = 2,25 ∗ 1019 ∗ 1,6 ∗ 10−19 (0,39 + 0,19) = 2,09 См/м.
б) Собственный полупроводник, легированный элементом V группы,
является материалом n-типа
𝜎𝑛 ≈ 𝑒(𝑁д 𝜇𝑛 + 𝑛2 𝑖 𝜇𝑝 /𝑁д ) ≈
≈ 1,6 ∗ 10
−19
4,52 ∗ 1040 ∗ 0,39 + 2,252 ∗ 1038 ∗ 0,19
∗
≈
4,5 ∗ 1020
≈ 1,6 ∗ 10−19 ∗ 1,76 ∗ 1020 = 28 См/м.
1.90 Образец собственного кремния при T=300 K имеет удельное
сопротивление 2*105 Ом*см, концентрация электронов проводимости
составляет 1,5*1010 см-3. Чему равно при этой температуре удельное
сопротивление кремния n-типа с концентрацией доноров 1016 атомов/см3?
Предположите, что подвижность электронов в 3 раза больше подвижности
дырок, и это соотношение сохраняется как для собственного, так и для
примесного полупроводника. Дайте качественное обоснование основным
сделанным допущениям и объясните, каким образом они могут быть
подтверждены.
1.91 Определить концентрацию неосновных носителей заряда, их
подвижность в образце германиевого полупроводника p-типа при T=300 K,
22
если концентрация акцепторной примеси Na=1016 см-3, а коэффициент
диффузии электронов Dn=93 см2/с.
1.92 Полупроводник в условиях равновесия имеет концентрацию
дырок р=1020 м-3 и концентрацию электронов n=2*1019 м-3. Определить: а)
полную концентрацию примесей; б) тип доминирующей примеси; в)
собственную концентрацию носителей заряда.
Решение. В условиях равновесия существует компенсация зарядов:
𝑛 + 𝑁𝑎 = 𝑝 + 𝑁д , где Na и Nd — соответственно концентрации акцепторов и
доноров, и предполагается, что все примеси ионизованы.
а) Полная концентрация примесей
𝑁 = 𝑁𝑎 − 𝑁д = 𝑝 − 𝑛 = 1020 − 2 ∗ 1019 = 8 ∗ 1019 м−3 .
б) Значение 𝑁𝑎 − 𝑁д — положительно, следовательно, акцепторы
присутствуют в большинстве и компенсированный материал p-типа.
в) Определим собственную концентрацию 𝑛𝑖 :
𝑛2 𝑖 = 𝑛𝑝 = 1020 ∗ 2 ∗ 1019 , откуда 𝑛𝑖 = 4,5 ∗ 1019 м−3 .
1.93 Определить удельную проводимость образца кремния при T=300
K, если концентрация акцепторов в полупроводнике Na=2,3*1013 см-3 и
концентрация доноров Nд=2,2*1013 см-3.
1.94 Покажите, что полупроводник имеет минимальную удельную
проводимость при данной температуре, когда концентрация электронов 𝑛 =
𝑛𝑖 √𝜇𝑝 /𝜇𝑛 , где 𝑛𝑖 — собственная концентрация, а 𝜇𝑝 и 𝜇𝑛 — соответственно
подвижности дырок и электронов. Чему равна концентрация дырок p в этих
условиях?
Найти собственную и минимальную удельные проводимости для
германия, если 𝑛𝑖 =2,5* 1019 м-3, 𝜇𝑝 = 0,19 м2/(В*с) и 𝜇𝑝 = 0,19 м2/(В*с). При
каких значениях n и p (кроме n=p=ni) этот кристалл имеет удельную
проводимость, равную собственной?
Решение. Удельная проводимость
𝜎 = 𝑛𝑒𝜇𝑛 + 𝑝𝑒𝜇𝑝 и 𝑛𝑝 = 𝑛2 𝑖 .
Следовательно,
𝜎
= 𝑛𝜇𝑛 + 𝑛2 𝑖 𝜇𝑝 /𝑛.
𝑒
Это выражение имеет минимум при
𝑑(𝜎/𝑒)
𝑑𝑛
= 0, т.е. когда 𝜇𝑛 −
𝑛2 𝑖 𝜇𝑝 /𝑛2 = 0 или 𝑛 = 𝑛𝑖 √𝜇𝑝 /𝜇𝑛 .
Значение
𝑑2 (𝜎/𝑒)
𝑑𝑛2
положительно, т.е это точка перегиба в
минимуме
23
𝑝 = 𝑛2 𝑖 /𝑛 = 𝑛𝑖 √𝜇𝑛 /𝜇𝑝 .
У собственного полупроводника
𝜎𝑖 = 𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ) = 2,5 ∗ 1019 ∗ 1,6 ∗ 10−19 ∗ 0,58 = 2,32 См/м.
Минимальная удельная проводимость
𝜎 = 𝑛𝑖 𝑒√(𝜇𝑝 𝜇𝑛 ) + 𝑛𝑖 𝑒√(𝜇𝑛 𝜇𝑝 ) = 2𝑛𝑖 𝑒√𝜇𝑝 𝜇𝑛 =
= 2 ∗ 2,25 ∗ 1019 ∗ 1,6 ∗ 10−19 √0,39 ∗ 0,19 = 2,18 См/м.
Удельная проводимость равна собственной, когда
𝑛𝜇𝑛 + 𝑛2 𝑖 𝑒𝜇𝑝 /𝑛 = 𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 𝜇𝑝 )
или
𝑛2 𝜇𝑛 − 𝑛𝑛𝑖 (𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ) + 𝑛2 𝑖 𝜇𝑝 = 0,
т.е.
𝑛𝑖 (𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ) ± √[𝑛2 𝑖 (𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 )2 − 4𝜇𝑛 𝑛2 𝑖 𝜇𝑝 ]
𝑛=
.
2𝜇𝑛
Подставив в это выражение числовые данные, получим:
𝑛𝑖
𝑛𝑖
(0,58 ± 0,2).
𝑛=
(0,58 ± √[(0,58)2 − 4(0,39)(0,19)] =
0,78
0,78
Но 𝑛 ≠ 𝑛𝑖 . Следовательно,
𝑛 ≈ 𝑛𝑖 /2 = 1,25 ∗ 1019 м−3 ;
𝑝 ≈ 𝑛2 𝑖 /𝑛 = 5 ∗ 1019 м−3 ;
1.95 Определить концентрацию дырок и электронов в германии pтипа при T=300 K, если его удельная проводимость 𝜎𝑝 =100 См/см.
1.96 Решить задачу 6.46 для кремния n-типа, если его удельная
проводимость составляет 0,1 См/см.
1.97 Собственный германий имеет удельную проводимость 3,56 См/м
при T=310 K и 0,42 См/м при T=273 K. Образец германия n-типа имеет 2*1021
ионизированных атомов донора на 1 м3 при этих двух температурах.
Вычислить удельную проводимость такого легированного образца.
Подвижность электронов 0,38 м2/(В*с), а дырок в германии 0,18 м2/(В*с).
Решение. Удельная проводимость 𝜎 = 𝑒(𝑛𝜇𝑛 + 𝑝𝜇𝑝 ) .
Для собственного германия n=p=ni и 𝜎𝑖 = 𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 ),
откуда
𝑛𝑖 𝜎𝑖 = 𝜎𝑖 /[𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 )] .
При T=300 K
24
𝑛𝑖 = 3,56/[1,602 ∗ 10−19 (0,38 + 0,18)] = 40 ∗ 1018 м−3 .
При T=273 K
𝑛𝑖 = 0,42/[1,602 ∗ 10−19 (0,38 + 0,18)] = 4,7 ∗ 1018 м−3
В легированном материале n-типа концентрация электронов n
практически равна концентрации ионизированных атомов донора, т. е. 2*1021
м-3.
В примесном n-полупроводнике
𝑛 ≫ 𝑛𝑖 ≫ 𝑝.
Воспользовавшись соотношением 𝑛𝑝 = 𝑛2 𝑖 найдем концентрацию
дырок.
При T=310 K
𝑝 = 𝑛𝑖 2 /𝑛 = (40 ∗ 1018 )2 /(2 ∗ 1021 ) = 80 ∗ 1016 м−3 .
Удельная проводимость
𝜎 = 1,602 ∗ 10−19 (2 ∗ 1021 ∗ 0,38 + 80 ∗ 1016 ∗ 0,18) = 122 См/м.
При T=273 K
𝑝 = 𝑛𝑖 2 /𝑛 = (4,7 ∗ 1018 )2 /(2 ∗ 1021 ) = 1.1 ∗ 1016 м−3 ,
𝜎 = 1,602 ∗ 10−19 (2 ∗ 1021 ∗ 0,38 + 1,1 ∗ 1016 ∗ 0,18) = 122 См/м.
1.98. Было обнаружено, что удельное сопротивление собственного
германия ρ изменяется с температурой T следующим образом:
T,K
............................................
385
458
556
714
ρ, Ом*м
............................................
0,028
0,0061
0,0013
0,00027
Определить ширину запрещенной зоны Eg в германии, предполагая,
что она не изменяется с температурой. Предположите, что подвижности
электронов и дырок, 𝜇𝑛 и 𝜇𝑝 изменяются пропорционально T-3/2.
Решение. Удельная проводимость собственного полупроводника
𝜎 = 1/𝜌 = 𝑒𝑛𝑖 (𝜇𝑝 + 𝜇𝑛 ),
где собственная концентрация 𝑛𝑖 изменяется с температурой как
𝑒 −𝐸𝑔 /2𝑘𝑇 . Следовательно,
1
= 𝐶 −1 𝑒 −𝐸𝑔 /(2𝑘𝑇) 𝑇 −3/2
𝜌
или
𝜌 = 𝐶𝑒 𝐸𝑔/(2𝑘𝑇) 𝑇 3/2 ,
где C=const.
или
𝑙𝑛(𝑝𝑇 −3/2 ) = 𝑙𝑛𝐶 + 𝐸𝑔 /(2𝑘𝑇).
25
Следовательно, если предположение правильно, то график 𝑙𝑛(𝑝𝑇 −3/2 )
от 1/T должен представлять собой прямую линию с наклоном 𝐸𝑔 /(2𝑘).
Данные для построения графика имеются в условии задачи, т. е. график
будет иметь вид прямой с наклоном 4670 К.
Тогда Еg находим из выражения
𝐸𝑔
= 4670 𝐾;
2𝑘
𝐸𝑔 = 2 ∗ 1,38 ∗ 10−23 ∗ 4670/(1,6 ∗ 10−19 ) = 0,8 эВ.
1.99 Сравнить концентрации свободных электронов в собственных
германии и кремнии при температурах 40 и 80 °C с концентрациями их при
температуре 300 K. Пренебрегите изменением эффективных плотностей
состояний в зонах проводимости и валентной Nc и Nv при изменении
температуры. Ширина запрещенной зоны в германии Eg=0,72 эВ, в кремнии
Eg= 1,12 эВ. Определить значения удельного сопротивления при указанных
температурах (температурные изменения подвижности не учитывать).
Удельные сопротивления собственных германия и кремния при комнатной
температуре принять равными 0,45 и 2*103 Ом*м соответственно.
Решение. Концентрация собственных носителей заряда 𝑛𝑖
определяется из выражения
𝑛𝑖 2 = 𝑁𝑐 𝑁𝑣 𝑒 −𝐸𝑔 /(𝑘𝑇) .
Так как эффективные плотности состояний Nc и Nv слабо зависят от
температуры, то 𝑁𝑐 𝑁𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Найдём отношения концентраций собственных носителей заряда при
разных температурах для германия (Eg =0,72 эВ).
При T=300 K kT=0,86*10-4*300=0,0268 эВ.
При T1=40 oC = 313 K kT1=0,269 эВ.
Следовательно,
1/2
𝑛𝑖 (313 𝐾)
𝑒 −0,72/0,0269
= [ 0,72/0,0258 ] = 1,77.
𝑛𝑖 (300 𝐾)
𝑒
o
При T2=80 C = 353 K kT2=0,0304 эВ. Тогда
1/2
𝑛𝑖 (353 𝐾)
𝑒 −0,72/0,0304
= [ 0,72/0,0258 ] = 8,3.
𝑛𝑖 (300 𝐾)
𝑒
Аналогично вычисляем отношения концентраций
носителей заряда для кремния (Eg=1,12 эВ)
1/2
𝑛𝑖 (313 𝐾)
𝑒 −1,12/0,0269
= [ −1,12/0,0258 ]
𝑛𝑖 (300 𝐾)
𝑒
26
= 2,43.
собственных
1/2
𝑛𝑖 (353 𝐾)
𝑒 −1,12/0,0304
= [ −1,12/0,0258 ] = 26,7.
𝑛𝑖 (300 𝐾)
𝑒
сопротивление собственного германия
Удельное
определяется
выражением
𝜌(300 𝐾) = 0,45 Ом ∗ м = 1/[𝑛𝑖 𝑒(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 )].
Предполагая, что 𝜇𝑝 и 𝜇𝑛 не зависят от температуры, получаем:
𝜌(313 𝐾)/𝜌(300 𝐾) = 𝑛𝑖 (300 𝐾)/𝑛𝑖 (313 𝐾).
При температуре 40 oC (313 K)
𝜌(313 𝐾) = 𝑛𝑖 (300 𝐾)𝜌(300 𝐾)/𝑛𝑖 (313 𝐾) = 0,45/1,77 = 0,254 Ом ∗ м.
Аналогично находим 𝜌 при температуре 80 oC (353 K):
𝜌(353 𝐾) = 0,45/8,3 = 0,054 Ом ∗ м.
Для кремния при тех же температурах имеем:
𝜌(313 𝐾) = 823 Ом ∗ м и 𝜌(353 𝐾) = 74,9 Ом ∗ м.
1.100 Измерение удельной проводимости германия показало, что она
изменяется с температурой по закону 𝑒 −4350/𝑇 . Требуется определить
ширину запрещенной зоны германия.
1.101 Образец из полупроводника прямоугольной формы размером
0,25x0,25x0,05 см3 содержит 1015 носителей заряда в 1 см3 при 20 °С. К двум
противоположным узким граням приложено напряжение 20 В. Найти
значение тока, полагая подвижность носителей зарядов равной 500 см2/(В*с).
1.102 Определить отношение электронного дрейфового тока к
дырочному дрейфовому току при комнатной температуре (T=300 K) для: а)
собственного германия; б) собственного кремния; в) германия n-типа с
удельным сопротивлением ρ=5 Ом*см; г) кремния n-типа с удельным
сопротивлением ρ=5 Ом*см; д) германия p-типа с удельным сопротивлением
ρ=5 Ом*см.
1.103 Подвижности электронов 𝜇𝑛 и дырок 𝜇𝑝 в монокристалле
кремния при комнатной температуре (T=300 K) соответственно равны 1400 и
500 см2/(В*с). Определить коэффициенты диффузии электронов и дырок при
этой температуре.
1.104 В образце германия n-типа концентрация донорной примеси при
комнатной температуре (300 К) составляет Nd=1017 см-3. Определите значение
𝑝𝑛 и диффузионную длину электронов Ln, если время их жизни n=50 мкс.
1.105 Определите время жизни n и подвижность электронов 𝜇𝑛 при
T=300 K, если длина диффузионного смещения электронов в германии
Ln=0,15 см, а коэффициент диффузии Dn = 93 см2/с.
27
1.106 Определить длину диффузионного смещения Ln и коэффициент
диффузии электронов Dn в германии при комнатной температуре, если время
жизни электронов n =500 мкс, а подвижность электронов 𝜇𝑛 =3600 см2/(В*с).
1.107 Определите, как изменится время жизни  носителей заряда в
невырожденном полупроводнике при изменении концентрации примеси,
если известно, что при T=const=300 K их подвижность увеличилась на 5%, а
диффузионная длина на 10%.
1.108 На сколько изменится коэффициент диффузии невырожденного
полупроводника, если при увеличении температуры на 10% подвижность
носителей изменилась на1%?
1.109 Определите плотность диффузионного тока в германиевом
стержне длиной 10 см. Концентрация свободных электронов и дырок
изменяется по линейному закону, причем концентрация электронов на одном
конце стержня равна 5*1023 м-3, а на другом 1020 м-3.
1.110 В кремниевом образце n-типа с удельным сопротивлением 𝜌 = 3
Ом*см при T=300 K время жизни неосновных носителей заряда n =5 мкс. В
одну из плоскостей образца вводится и поддерживается постоянной во
времени избыточная концентрация дырок 𝑝 =1013 см-3. Найти плотность тока
диффузии в непосредственной близости от этой плоскости полупроводника.
На какой глубине концентрация дырок будет равна 1012 см-3? Считать, что
длина образца значительно больше диффузионной длины носителей заряда.
1.111 В полупроводниковом кристалле под действием света
образуется равномерно распределенная избыточная концентрация носителей
заряда ∆𝑛. Равновесная концентрация неосновных, носителей заряда
составляет 2,5*1020 м-3, а начальная скорость уменьшения концентрации
равна 2,8*1024 с-1. Определить: а) время жизни неосновных носителей заряда;
б) значение ∆𝑛 через 2 мс после выключения источника света.
Решение. а) Временная зависимость концентрации избыточных
носителей заряда описывается выражением
∆𝑛(𝑡) = ∆𝑛(0)𝑒 −𝑡/𝜏 ,
(1)
где ∆𝑛(0) - избыточная концентрация носителей в момент выключения
источника света;  - время жизни.
Продифференцируем (1) по t.
𝑑∆𝑛(𝑡)
∆𝑛(0) −𝑡/𝜏
𝑛,
=−
𝑒
𝑑𝑡
𝜏𝑛
где 𝜏𝑛 - время жизни электронов в полупроводнике p-типа.
28
(2)
Начальная скорость уменьшения концентрации определяется из (2),
если положить t=0, т. е.
𝑑∆𝑛(𝑡)
∆𝑛(0)
=−
= 2,8 ∗ 1024 с−1 .
|
𝑑𝑡 𝑡=0
𝜏𝑛
Поскольку равновесная концентрация неосновных носителей заряда
согласно условию задачи ∆𝑛(0)=2,5*1020 м-3, находим, что время жизни
неосновных носителей заряда
∆𝑛(0)
𝜏𝑛 =
= 2,5 ∗ 1020 /(2,8 ∗ 1024 ) = 89 мкс.
|
𝑑∆𝑛/𝑑𝑡 𝑡=0
б) Избыточная концентрация носителей заряда через 2 мс после
выключения источника света ∆𝑛 (t=2*10-3 с) вычисляется по формуле (1):
3 /(89∗10−6 )
∆𝑛 = 2,5 ∗ 1020 𝑒 −2∗10
= 2,5 ∗ 1020 𝑒 −22,4 = 4,4 ∗ 1010 м−3 .
1.112 Образец полупроводника длиной 30 мм, шириной 5 мм и
толщиной 1 мм имеет сопротивление 500 Ом. При помещении его в
магнитное поле с индукцией B=0,5 Тл, перпендикулярное плоскости
пластины, на гранях образца возникает ЭДС Холла 5 мВ при токе через
образец 10 мА. Определить подвижность Холла и плотность носителей в
полупроводнике,
считая,
что
он
является
ярко
выраженным
полупроводником p-типа.
До какого значения изменится ЭДС Холла, если в то же поле
поместить образец меди таких же размеров и несущий такой же ток?
Концентрация электронов проводимости в меди примерно равна 8,5*1028 м-3.
Решение. Удельная проводимость полупроводника
𝜎 = 𝑙/(𝑅П) = 𝑝𝑒𝜇𝐻 ,
где l — длина полупроводника; П — площадь поперечного сечения; R
— сопротивление; p — концентрация дырок, если полупроводник p-типа.
Коэффициент Холла задаетсй в виде
𝑅𝐻 = 1/(𝑝𝑒) = 𝑈𝐻 𝑑(𝐼𝐵),
где 𝑈𝐻 - ЭДС Холла; d - толщина образца;
1/(𝑝 ∗ 1,6 ∗ 10−19 ) = 5 ∗ 10−3 ∗ 1 ∗ 10−3 /(10 ∗ 10−3 ∗ 0,5),
откуда p=6,25*1021 м-3.
Подставив это значение в первое уравнение, получим:
𝜇𝐻 = 𝑙/(𝑅П𝑝𝑒) = 30 ∗ 10−3 /(500 ∗ 6 ∗ 10−6 ∗ 6,25 ∗
29
∗ 1021 ∗ 1,6 ∗ 10−19 ) = 10−2 м2 /(В ∗ с).
Заметьте, что для постоянных размеров образца, поля и тока ЭДС
Холла пропорциональна обратному значению концентрации носителей
заряда. Следовательно, ЭДС Холла у медного образца
𝑈𝐻𝐶𝑢 = 𝑈𝐻 (1/𝑛)/(1/𝑝) = 5 ∗ 10−3 ∗ 6,25 ∗ 1021 /(8,50 ∗ 1028 ) = 0,37 нВ.
1.113 Полупроводниковый монокристалл толщиной 1 мм и шириной 1
см помещен в магнитное поле с индукцией B=0,5 Тл. Вектор магнитной
индукции перпендикулярен плоскости образца. Вычислить ЭДС Холла, если
коэффициент Холла 𝑅𝐻 =3,66*10-4 м3/Кл.
30
Глава 2. P−n переход . Высота потенциального барьера.
Гетеропереход. Барьер Шоттки
При контакте двух полупроводников с различным типом
электропроводности из-за диффузии основных носителей заряда через
границу раздела вблизи последней образуется область пространственного
заряда, образованная в p-области нескомпенсированными отрицательными
ионами акцепторов, а в n-области нескомпенсированными положительными
ионами доноров.
Между этими разноименными зарядами ионов примесей возникает
электрическое поле, направленное от n-области к p-области, а между p и n
областями возникает потенциальный барьер (контактная разность
потенциалов) (рис.2.1).
Рисунок 2.1 – Энергетическая диаграмма p – n − перехода
Величина контактной разности потенциалов определяется шириной
запрещенной зоны полупроводника, уровнями легирования и температурой:
0 
kT nn0 p p0
ln
e
ni2
31
(2 .1)
С учетом (1.9), а также, учитывая, что концентрация основных
носителей значительно меньше эффективной плотности состояний nn0 ; p p0
<< N c , N v выражение (2.1) принимает вид:
0 
Eg
e

N N
kT
ln c v
e nn0 p p0
(2.2)
В зависимости от характера распределения примесей p − n − переходы
подразделяется на резкие (ступенчатые) и плавные (линейные);
симметричные и несимметричные. В современных полупроводниковых
приборах применяются в основном несимметричные переходы, в которых
либо p p0  nn0 ( переходы), либо nn0  p p0 (-переходы).
Распределение электрического поля и потенциала в p-n переходе
определяется уравнением Пуассона (1.36). Полагая, что объемный заряд в
области перехода создан только ионами примесей, плотность объемного
заряда будет равна:
  e  Nd  Na 
(2.3)
Решение уравнения Пуассона (1.36) для резкого p − n переxoда имеет
вид:
 eN a p 
x 

1 
 при   p  x  0  для p  области  ,



0 
p 
E
(2.4)


 eN d  n
x

1


     при  0  x   p  для n  области  ,
0 
p 

2
 eN a

x


при   p  x  0,
p
 2

o
 
  eN d  x    при 0  x   ,
o
n
n

2 o



(2.5)
где  p ,  n − толщина областей объемного заряда, соответственно в p и
n областях (рис 2.2).
32
Рисунок 2.2 − 2 Распределение концентрации примесей (а), плотности объемного заряда
(б), напряженности электрического поля (в) и потенциала (г) в резком p-n переходе
Условие электрической нейтральности p-n перехода имеет вид:
 p Na   n Nd
Полная ширина области объемного заряда равна:
33
(2.6)

2 0  N a  N d o  u 
eN a N d
(2.7)
p 
Nd

Na  Nd
(2.8)
n 
Na

Na  Nd
(2.9)
а ее составляющие:
u-приложенное к p-n переходу напряжение.
Для резкого несимметричного перехода, когда
N a  N d
(или
N a  N d )
2 0 0  u 
(2.10)
eN
где N - концентрация примесей в слаболегированной области перехода.
Для плавного p-n перехода, характеризующегося линейным законом
распределения примесей,

N a  N d  ax
(2.11)
где а- градиент концентрации примесей.
Выражения для распределения электрического поля, потенциала и
толщины p-n перехода имеют вид:
2
ea 2   2 x  
E
 1    
8 0     
(2.12)
2
3
ea  x3  p x  p 
 

 

 0  6
2
3 
(2.13)
 p  n 
 3

2
12 0 0  u 
ea
34
(2.14)
(2.15)
Распределение концентрации примесей, плотности объемного заряда,
напряженности электрического поля и потенциала в плавном p-n переходе
приведены на рис. 2.3.
Рисунок 2.3 − Распределение концентрации примесей(а), плотности объемного заряда (б),
напряженности электрического поля (в) и потенциала (г) в плавном p-n переходе
35
Контрольныe вопросы, задачи и упражнения к главе 2
2.1 Что понимают под p-n переходом?
2.2 Как изменяется высота потенциального барьера от температуры? От
концентрации примесей? От ширины запрещенной зоны?
2.3 Что понимают под инжекцией и экстракцией неосновных носителей
заряда?
2.4 Чем определяется концентрация неосновных носителей заряда
на границах p-n перехода:
a) в равновесном состоянии;
b) в неравновесном состоянии.
2.5 Сформулируйте условие электрической нейтральности p-n перехода
и поясните его физический смысл.
2.6 Как изменяется напряженность электрического поля и потенциала в
резком и плавном p-n переходах?
2.7 От чего и как зависит ширина области объемного заряда в резком и
плавном p-n переходах?
2.8 Найти полную ширину области объемного заряда p-n перехода,
изготовленного из кремния, если Т=300К , nn=1014см-3,
pp=1015см-3.
2.9 Найти высоту потенциального барьера кремниевого линейного p-n
перехода с градиентом концентрации, равным 1019см-4, Т=300К.
2.10 Определить ширину области объемного заряда линейного p-n
перехода, изготовленного из кремния, если градиент концентрации примеси
в переходе 1020см-4, Т=300К.
2.11 В кремниевом ступенчатом p-n переходе удельная проводимость
p-области p=102(Омсм)-1 , а удельная проводимость n-области n=1(Омсм)1
. Вычислить контактную разность потенциалов (высоту потенциального
барьера) при Т=300К, ширину области объемного заряда и ее составляющие .
2.12 Решить задачу 2.11 для германиевого p-n перехода.
2.13 В германиевом ступенчатом p-n переходе удельное сопротивление
p-области =10 Омсм , а удельное сопротивление n-области =1 Омсм.
Определить высоту потенциального барьера при Т=300К, ширину области
объемного заряда и ее составляющие.
36
2.14 Решить задачу 2.13 для кремниевого p-n перехода с такими же
значениями удельного сопротивления p и n областей.
2.15 При каких условиях контакт между металлом и полупроводником
является:
a) выпрямляющим (переход Шоттки);
b) невыпрямляющим.
Приведите энергетические диаграммы.
2.16 Что понимают под гетеропереходом? Каковы преимущества их
перед
гомопереходами?
Приведите
энергетические
диаграммы
гетеропереходов разных типов.
2.17 Определить высоту потенциального барьера кремниевого p-n
перехода при Т=300К, если Na=1013см-3 и Nd=1015см-3.
2.18 Можно ли с помощью вольтметра измерить высоту
потенциального барьера p-n перехода? Дайте пояснения.
2.19 До каких температур целесообразно исследовать температурную
зависимость высоты потенциального барьера p-n перехода и почему?
Рассчитать и построить график зависимости от комнатной температуры до
критической для p-n перехода, изготовленного из кремния, с концентрацией
примеси Na=1015см-3, Nd=51017см-3 соответственно в p и n областях.
2.20 Что понимают под p-n гомопереходом? Объясните обозначения
переход.
2.21 Что понимают под изотипным гетеропереходом? Переходом
Шоттки?
2.22 Определить ширину области объемного заряда p-n перехода и ее
составляющие, изготовленного из германия, если Т=300К,
nn=1015см3
,pp=1016см-3
2.23 Определить ширину области объемного заряда линейного p-n
перехода, изготовленнго из германия, если градиент концентрации примеси в
переходе 51019см-4, Т=300К.
2.24 Определить полную ширину области объемного заряда барьера
Шоттки, созданного в кремнии n-типа с удельным сопротивлением 10 Омсм.
Высота потенциального барьера 0,8 эВ, Т=300К.
2.25 Найти толщину области объемного заряда барьера Шоттки,
созданного на арсениде галлия n-типа путем осаждения платины, если
концентрация примеси в переходе 1015см-3, высота барьера 1.1эВ, Т=300К.
2.26 Вывести формулу для определения полной ширины области
объемного заряда резкого гетероперехода без учета граничных состояний.
37
2.27 Решить предыдущую задачу с учетом граничных состояний.
2.28 Рассчитать полную ширину области объемного заряда
гетероперехода p Ge- n GaAs и ее составляющие при концентрации примесей
Na=1015см-3, Nd=1014см-3, поверхностная концентрация граничных состояний
+51011см-2.
2.29 Решить предыдущую задачу при концентрации граничных
состояний -51011см-2.
2.30 Определите закон распределения напряженности электрического
поля и приведите соответствующий график для резкого гетероперехода pGenGaAs без учета граничных состояний.
2.31 Решить предыдущую задачу с учетом граничных состояний
2.32 Найти закон распределения напряженности электрического поля
для резкого гетероперехода pGe - nGaAs с ограниченным расширением
области объемного заряда. Приведите соответствующий график.
2.33 В каком случае при контакте металла с полупроводником
образуется запирающий слой? Приведите энергетические диаграммы.
2.34 В каком случае при контакте металла с полупроводником
образуется антизапирающий слой? Приведите энергетические диаграммы.
2.35 В каком случае при контакте металла с полупроводником
образуется инверсный слой? Приведите энергетические диаграммы.
2.36 Чем определяется высота потенциального барьера контакта
металла с полупроводником?
2.37 Почему при контакте металла с полупроводником контактное поле
проникает глубоко в полупроводник и практически не проникает в металл?
2.38 Какие токи текут в области объемного заряда p-n перехода?
2.39 Что понимают под уровнем инжекции ?
2.40 В каких p-n переходах имеет место односторонняя инжекция?
2.41 Чем определяется граничная концентрация неосновных неравновесных носителей в p-n переходе?
2.42 Что понимают под коэффициентом инжекции p-n перехода?
2.43 Определить коэффициент инжекции дырок в германиевом p-n
переходе, если удельная проводимость p-области 0.1 (Омсм)-1, удельная
проводимость n-области 0.01 (Омсм)-1, напряжение прямого смещения 0.3В,
Т=300К, .
2.44 Решить предыдущую задачу для кремниевого p-n перехода.
2.45 Явление суперинжекции в гетероструктурах. От чего зависит
коэффициент инжекции в гетеропереходах?
38
Глава 3. Уравнение ВАХ p-n перехода. Влияние генерации и
рекомбинации носителей в p-n переходе и сопротивления базы на
ВАХ диода
Выражение, связывающее ток и напряжение на p-n-переходе,
можно получить из решения уравнения непрерывности, которое для
стационарного случая при учете только процесса рекомбинации неосновных
носителей и в отсутствии поля в базовой области, например, для базы n-типа
имеет вид:
d 2 pn pn  pn0

dx 2
L2p
j p  eD p
dpn
dx
(3.1)
(3.2)
где L p  D p p − диффузионная длина дырок.
Граничные условия принимаемые для решения уравнения (3.1):
x=0
pn  pn0
x=Wn
pn  pn0
eU
e kT
(3.3)
(3.4)
Решение уравнения (3.1) имеет вид:
pn  pn 0
 eU

W
x
x 
 pno  e kT  1  ch
 cth n sh 

  Lp
L p L p 


eU

eD p pno 
Wn
x
x   kT


jp  
sh

cth
ch
e

1



L p  L p
L p L p  


39
(3.5)
(3.6)
Аналогично можно получить выражение для электронной
составляющей тока через базу p-типа. Проведя суммирование дырочной и
электронной составляющих плотностей токов неосновных носителей
(например, для координаты x=0) получим искомое выражение для плотности
полного тока:
 eD p pno
Wp  eU

Wn eDn n po
j  j p  0  jn  0  
cth

cth
 e kT  1 (3.7)
Lp
Ln
Ln 

 Lp
где Wn, Wp -толщина базовых областей n и p типов.
pno, npo -концентрации неосновных носителей заряда в p и n
областях;
Dp, Dn-коэффициенты диффузии.
Обычно уравнение ВАХ диода (3.7) записывают в виде:
 eU

j  js  e kT  1




(3.8)
 eU

kT
j  js  e  1 




(3.9)
или
где
eD p n p
 eD p pn
Wp 
W
0
0
I s  js  S  S 
cth n 
cth

 Lp

L
L
L
p
n
n 

I S -ток насыщения,
S- площадь p-n перехода (рис. 3.1).
40
(3.10)
Рисунок 3.1- ВАХ полупроводникового диода при учете инжекции и экстракции
носителей заряда
В диоде с толстой базой Wn >> Lp ; Wp >> Ln , тогда выражение (3.5)
упрощается:
X
 eU
 L
kT
pn  pn0  pn 0  e  1 e p




(3.11)
а плотность тока насыщения будет равна:
jS 
eD p pn 0
Lp

eDn n p 0
Ln
(3.12)
В диоде с тонкой базой Wn<<Lp ; Wp<<Ln, при этом распределение
концентрации неосновных носителей
 eU

x 
p p  pn 0  pn 0  e kT  1 1 

  Wn 


(3.13)
а плотность тока насыщения
js 
eD p pn 0
Wn

41
eDn n p 0
Wp
(3.14)
Таким образом, свойства и параметры полупроводникового диода во
многом определяются характеристической длиной, под которой понимают
меньшую из двух величин толщину базы или диффузионную длину (рис. 3.23.3).
Рисунок 3.2 − ВАХ полупроводникового диода с толстой и тонкой базой при учете
инжекции и экстракции носителей заряда
Заметим, что ток насыщения IS обусловлен генерацией неосновных
носителей в областях, примыкающих к p-n переходу. Наряду с током IS через
обратносмещенный р-n переход будет протекать ток, вызванный генерацией
носителей в самом p-n переходе (ток генерации).
Величина генерационного тока определяется выражением:
I   eS
ni
2
где  -время жизни носителей в ООЗ.
42
(3.15)
Рисунок 3.3 − Распределение концентрации неосновных носителей в базе диода с толстой
(а) и тонкой (б) базой при разных напряжениях
Для диода с толстой базой и со структурой p +-n соотношение между
токами генерации ( Iг ) и экстракции ( IS ) будет равно:
n
n
I
~ i  n0
I s pn 0 L ni L
(3.16)
В условиях прямого напряжения наряду с током, связанным с
рекомбинацией инжектированных неосновных носителей в области базы
либо на невыпрямляющем контакте диода, протекает ток, обусловленный
рекомбинацией носителей в самом p-n переходе (ток рекомбинации).
Величина этого тока равна
I рек 
eni

kT
 eU  eU
 e 2 kT e 2 kT


e  0  U 




(3.17)
а соотношение между токами рекомбинации и инжекции для диода с
толстой базой определяется выражением:
I рек
I инж
eU

NS
kT

e 2 kT
2ni L e 0  U 
43
(3.18)
Уравнение ВАХ диода с учетом сопротивления базы RБ имеет вид:
 eU IRБ  
I  I s e kT  1


(3.19)
При больших токах, когда напряжение на p-n переходе приближается к
контактной разности потенциалов, ВАХ диода принимает вид:
U  0  IRБ
(3.20)
Уравнение (3.20) позволяет оценить по экспериментально снятой ВАХ
диода высоту потенциального барьера p-n перехода (рис. 3.4)
Рисунок 3.4 − ВАХ полупроводникового диода при больших токах (с учетом
сопротивления базы)
44
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 3
3.1 Что понимают под полупроводниковым диодом? Какая из его
областей называется эмиттером, а какая базой?
3.2 В чем отличие ВАХ диодов с толстой и тонкой базами? Приведите
распределение концентрации неосновных носителей в базе для прямого и
обратного смещения для обоих типов диодов?
3.3 Как и почему изменяется прямая ветвь ВАХ диода с повышением
температуры?
3.4 Как и в каких случаях влияет процесс генерации носителей в p-n
переходе на ВАХ диода?
3.5 Как и в каких случаях влияет процесс рекомбинации носителей в pn переходе на ВАХ диода?
3.6 Как влияет сопротивление базы на ВАХ диода? Приведите
уравнение ВАХ диода с учетом и без учета сопротивления базы.
3.7 Как и почему изменяется обратная ветвь ВАХ диода с повышением
температуры?
3.8 Рассчитать обратный ток насыщения кремниевого диода при
Т=150C, если при Т=20C его обратный ток насыщения равен 0.1 мкА.
3.9 Поясните, почему в состоянии термодинамического равновесия ток
через p-n переход равен нулю?
3.10 Как различают токи насыщения двух p-n переходов,
изготовленных из одного материала, но с разной степенью легирования
базы?
3.11 Сплавной диод изготовлен на основе кремния марки КЭФ
1.0/0.012. Приведите распределение концентрации избыточных неосновных
носителей в базе диода, если на него подано прямое напряжение 0.45В, а
толщина базы составляет 0.1 см.
3.12 Пользуясь уравнением ВАХ идеализированного p-n перехода,
определить температурный коэффициент прямого падения напряжения.
45
3.13 Что такое уровень инжекции и как он влияет на характер движения
носителей тока через p-n переход?
3.14 Когда и почему зависимость прямого тока p-n перехода от
напряжения оказывается линейной?
3.15 Почему в качестве выпрямителей не используют контакт двух
металлов с разными работами выхода?
3.16 В кремниевом планарном p-n переходе удельное сопротивление pобласти  p =0.5 Омсм, n=2мкс, удельное сопротивление n-области  n =20
Ом см,  p =10мкс. Определить:
a) отношение дырочной составляющей тока к электронной;
b) плотность тока, протекающего через переход при прямом
напряжении, равном 0.35В.
3.17 Оценить величину тока, при котором необходимо учитывать
наличие сопротивления базы диода. Определить величину этого тока при
сопротивлении базы равном 5 и 25 Ом.
3.18 В кремниевом p-n переходе удельные сопротивления областей
равны:  p =0.5 Омсм,  n =0.05 Омсм. Время жизни неосновных носителей
заряда
n
=150мкс и
 p =100мкс.
Площадь поперечного сечения p-n
перехода S=0.01см. Определить при Т=300К: высоту потенциального
барьера; обратный ток насыщения и его составляющие.
3.19 Для кремниевого p-n перехода с данными, приведенными в задаче
3.18 вычислить:
a) концентрацию электронов на границе области объемного
заряда, лежащей в материале p-типа, если на переход подаются прямые и
обратные напряжения 75, 150 и 300мВ;
b) прямое напряжение, при котором концентрация
инжектированных электронов составляет 50% равновесной концентрации
электронов;
c) удельную проводимость на границе p-n перехода в этом
случае.
46
3.20 Найти ток, текущий в идеальном p-n переходе при прямом
напряжении, равном 0.1В, если известно, что при комнатной температуре
Т=300К ток насыщения равен 5  10 7 A .
3.21 Найти во сколько раз увеличивается обратный ток насыщения p-n
перехода, если температура увеличивается:
1) от 300 до 360К для германиевого диода;
2) от 300 до 430К для кремниевого диода.
3.22 Идеальный диод, имеющий обратный ток насыщения 2мкА,
соединен последовательно с источником напряжения 20В и резистором с
сопротивлением 5КОм. Определить прямой ток и прямое напряжение на
диоде, если диод работает при Т=300К.
3.23 Исходя из уравнения ВАХ идеализированного p-n перехода,
показать, что отношение дырочной составляющей тока к электронной в p-n
 p  Ln
переходе равно
 n  L p , где n, p -удельные проводимости n- и pобластей.
3.24 Для идеального p-n перехода при Т=300К определить
коэффициент выпрямления - отношение токов при прямом и обратном
напряжениях, равных 0.1В.
3.25 Известно, что ток насыщения диода равен 0.1мкА при 300К и
100мкА при 400К. Построить ВАХ диода при изменении напряжения от -5В
до +0,5В для указанных температур.
3.26 Исходя из уравнения для обратного тока насыщения диода с
толстой базой, показать, что обратный ток насыщения p-n перехода можно
найти по формуле
Is  S
kT b i  1
1 


,
e 1  b 2   n L p  p Ln 
где b 
n
p
3.27 В идеальном p-n переходе обратный ток насыщения 10 10 A
при
5
Т=300К и 10 A при Т=400К. Определить напряжения на p-n переходе в
обоих случаях, если прямой ток равен 10мА.
47
3.28 Рассчитать обратный ток насыщения и его составляющие для
германиевого сплавного p-n перехода при Т=300К, если площадь
поперечного сечения 5мм2 , удельные проводимости р и n областей  p =10
(Омсм)-1, n =1 (Омсм)
L p  Ln =2 мм.
-1
, диффузионные длины неосновных носителей
3.29 Ток насыщения диода равен 10-7 A. Напряжение, приложенное к
диоду равно 0,5 В. Найти отношение прямого тока к обратному при Т=300К.
3.30 Рассчитать и построить ВАХ идеального p-n перехода при
Т=300К, если обратный ток насыщения 10 мкА. Расчет провести в интервале
напряжений от 0 до -6В (через 1В) и от 0 до 0.5В (через 0.05 В).
3.31 Рассчитать и построить ВАХ диода по данным задачи 3.30, если
диод имеет омическое сопротивление p и n областей равное 10 Ом. ВАХ
нанести на график, выполненный для задачи 3.30.
3.32 В диоде удельная проводимость p-области  p =100(Омсм)-1,
удельная проводимость n-области n =5(Омсм)-1, площадь поперечного
сечения 1мм2, длина диода 200 мкм, переход находится посередине.
Обратный ток насыщения 1 мкА, Т=300К. Вычислить напряжения, при
которых ток диода будет равен 1 и 100 мА. Провести вычисленя с учетом
падения на объемных сопротивлениях p и n областей. Модуляцией сопротивления базы при увеличении уровня инжекции пренебречь.
3.33 Определить обратный ток насыщения для кремниевого сплавного
p-n перехода при Т=300К, если площадь поперечного сечения 10мм2,  p =5
(Омсм)-1, n =0.5 (Омсм)-1, L p  Ln =0.5мм. При решении использовать
результат решения задачи 3.26.
3.34 У некоторого диода максимально допустимый ток равен 100 мА
при прямом напряжении 0.5В. Если этот диод соединить последовательно с
резистором нагрузки Rн=150 Ом, то чему будет равно наибольшее
напряжение источника, при котором диод будет работать в безопасном
режиме?
3.35 Идеальный диод включен в схему изображенную на рис. 3.5.
Оценить выходное напряжение при Т=300К.
48
Рисунок 3.5
3.36 Определить коэффициент выпрямления и обратный ток
насыщения идеального диода, работающего при Т=300К, если известно, что
при прямом напряжении 0.8 В через диод протекает ток 50 мА.
3.37 Показать, что для резкого несимметричного p-n+ перехода ширина
области объемного заряда может быть определена по формуле

2 0  p0
p
3.38 Кремниевый диод, имеющий обратный ток насыщения 1мкА,
включен в схему, изображенную на рис. 3.6. Определить выходное
напряжение при Т=300К.
Рисунок 3.6
3.39 Определить прямое напряжение на p-n переходе при токе диода
1мА, если ток насыщения при Т=300К равен: a) 1 мк A; b) 0.1 мкА; c) 1 нА.
3.40 Токи насыщения германиевого и кремниевого p-n переходов
составляют 1 мкА и 0.01 мкА соответственно. Определить и сравнить прямые
напряжения на переходах при Т=300К, если через каждый диод протекает ток
0.5 А.
49
3.41 Кремниевый p-n переход имеет следующие данные: концентрация
акцепторных примесей Na=51019 cм-3, концентрация донорных примесей
Nd=1016cм-3. Площадь поперечного сечения перехода S=510-4cм2, толщина
базовых областей Wn=510-4 cм; Wp=510-3 cм. Определить:
a) обратный ток насыщения;
b) прямой ток и падение напряжения на объемных
сопротивлениях базовых областей при прямом напряжении, равном 0.8 В.
3.42 Определить высоту потенциального барьера кремниевого
линейного p-n перехода при Т=300К, если градиент концентрации примеси в
нем равен 1020 cм-4.
3.43 Кремниевый p-n переход имеет удельную проводимость p-области
p =5103 (Омм)-1 и n-области n=50 (Омм)-1. Время жизни неосновных
носителей заряда p=1 мкс и n =5 мкс. Определить:
a) отношение дырочной составляющей
электронной в p-n переходе;
тока к
b) плотность тока насыщения и плотность тока при
напряжении, равном 0,3 В. Температура Т=300К.
3.44 Ток, текущий в идеальном p-n переходе при большом обратном
напряжении и Т=300К равен 10-7А . Найти ток, текущий при прямом
напряжении, равном 0,3 В.
3.45 Определить прямое напряжение на p-n переходе при токе диода 10
мА, если обратный ток насыщения при Т=300К равен:
a) 10-10A; б) 10-7 А.
3.46 В каких случаях необходимо учитывать генерационнорекомбинационные явления в области объемного заряда p-n перехода?
3.47 Напишите уравнение ВАХ p-n перехода с учетом инжекции и
экстракции.
3.48 Какова зависимость обратного тока насыщения p-n перехода от
температуры?
3.49 Как зависит от температуры генерационный ток p-n перехода?
50
3.50 Чем определяется соотношение между обратными токами
насыщения p-n переходов из германия и кремния при прочих равных
условиях (одинаковых уровнях легирования, диффузионных длинах,
коэффициентах диффузии).
3.51 Как изменяется соотношение
экстракционным токами с температурой?
между
генерационным
и
3.52 Как и почему зависит генерационный ток от ширины запрещенной
зоны полупроводника?
3.53 Как и почему зависит генерационный ток от обратного
напряжения на p-n переходе?
3.54 Как и почему зависит рекомбинационный ток p-n перехода от
ширины запрещенной зоны?
3.55 Как и почему зависит рекомбинационный ток от прямого
напряжения на p-n переходе?
3.56 Как изменяется соотношение между рекомбинационным и
инжекционным токами с температурой?
3.57 Кремниевый переход типа p+-n имеет следующие данные:
удельная проводимость n-области 50 (Омсм)-1, время жизни неосновных
носителей p=1мкс. Определить плотность тока насыщения и плотность тока
генерации, полагая, что Т=300К, p=.
3.58 Решить предыдущую задачу для германиевого p+-n перехода при
таких же данных.
51
Глава 4. Пробой p-n перехода
Под пробоем p-n перехода понимают явление резкого возрастания
обратного тока при достижении обратного напряжения критического для
данного прибора значения. В зависимости от природы физических явлений,
лежащих в основе пробоя, различают электрический (лавинный и
туннельный) и тепловой пробои. Электрический пробой является обратимым,
а тепловой - необратимым. Лавинный пробой связан с лавинным
размножением носителей заряда под действием сильного электрического
поля. Электроны и дырки, двигаясь через ООЗ при обратном напряжении,
приобретают в сильном электрическом поле на длине свободного пробега
энергию, достаточную для образования новых электронно-дырочных пар
носителей заряда, посредством ударной ионизации атомов полупроводника.
Количественно этот процесс характеризуется коэффициентами ударной
ионизации электронов и дырок, которые сильно зависят от электрического
поля.
Процесс ударной ионизации в p-n переходе характеризуется
коэффициентом лавинного размножения М, под которым понимают
отношение тока данных носителей заряда, выходящих из перехода к току тех
же носителей, входящих в переход.
Считая, что коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок
одинаковы n= p=  из решения уравнения непрерывности для электронов
(или дырок) можно получить связь между коэффициентом лавинного
размножения М и коэффициентом ударной ионизации :

n
1
1
   dx
M 
(4.1)
p
где n, p -границы ООЗ p-n перехода.
При пробое М  и условие лавинного пробоя p-n перехода
принимает вид
n

 dx  1
 p
52
(4.2)
Уравнение (4.2) позволяет определить напряжение лавинного пробоя
при известном профиле распределения примесей в p-n переходе и параметрах
полупроводника (рис. 4.1; 4.2).
Рисунок 4.1 − Зависимость напряжения лавинного пробоя от концентрации
примеси для несимметричного резкого p-n перехода в Ge, Si, GaAs, GaP при 300 К.
Рисунок 4.2 − Зависимость напряжения лавинного пробоя от концентрации
примесей для несимметричного резкого p-n перехода в Si с цилиндрической и
сферической геометрией перехода при 300 К.
Зависимость коэффициента М от напряжения на переходе имеет вид:
53
M
1
 U
1 
 U проб




,
(4.3)
где n-от 2 ÷ 6.
В инженерных расчетах удобно пользоваться
выражениями для напряжения лавинного пробоя:
для резких переходов
следующими
U проб  BN  ,
(4.4)
U проб  Са  q ,
(4.5)
для плавных переходов
где N-концентрация примеси в слабо легированной области диода;
а - градиент концентрации примеси;
B,C,g, - константы для диодов из данного материала.
В p-n переходах современных полупроводниковых приборов,
изготовленных по планарной технологии, имеются участки цилиндрической
и сферической формы, что вызывает понижение величины пробивного
напряжения за счет концентрации электрического поля на участках с
большой кривизной (рис.4.3).
Туннельный пробой связан с туннелированием носителей заряда сквозь
запрещенную зону полупроводника без изменения энергии. Этот вид пробоя
возможен при достижении напряженности электрического поля критического
значения, которое составляет для разных материалов 3*105- 106 В/см.
Напряжение туннельного пробоя определяется по формуле:
U проб 
2
 0 Eкр
 1
2e
54

 Na

1
Nd

  0

(4.6)
Рисунок 4.3 − Зависимость напряжения лавинного пробоя от концентрации примесей для
несимметричного резкого p-n перехода в Si с цилиндрической и сферической геометрией
перехода при 300 К
Туннельный пробой может происходить только в p-n переходах,
изготовленных из полупроводников с большой концентрацией примеси,
поскольку для туннелирования необходима малая толщина потенциального
барьера и, следовательно, малая толщина p-n перехода. Поэтому напряжение
туннельного пробоя составляет несколько единиц вольт.
Температурная зависимость напряжения электрического (лавинного и
туннельного ) пробоя p-n перехода.
U проб T   U проб T0  1   T  T0  
(4.7)
где  - температурный коэффициент напряжения пробоя .
При лавинном пробое >0 , при туннельном -<0.
Тепловой пробой диода связан с нарушением теплового равновесия
между мощностью, выделяемой в p-n переходе, и мощностью, отводимой от
перехода в окружающую среду. Напряжение теплового пробоя p-n перехода
определяется по формуле:
kT 2
U проб.тепл. 
Eg RT I обре
(4.8)
С ростом температуры (Т) окружающей среды, ухудшения условий
теплоотвода (повышения RT ) напряжение теплового пробоя уменьшается.
55
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 4
4.1 Объясните, почему лавинный пробой возникает при больших
напряжениях, чем туннельный, тогда как критическая напряженность
электрического поля меньше?
4.2 Поясните, при каких условиях электрический пробой переходит в
тепловой?
4.3 Какие виды пробоя существуют в диодах? Каковы их особенности?
4.4 Сформулируйте условия лавинного пробоя p-n перехода.
4.5 Как зависит напряжение лавинного пробоя диода от:
a) концентрации примеси в базе;
b) градиента концентрации в переходе;
c) удельного сопротивления базы.
4.6 Как и почему изменяется напряжение лавинного и туннельного
пробоя при повышении температуры?
4.7 Каковы особенности теплового пробоя диодов? Как влияет
температура на напряжение теплового пробоя?
4.8 Рассчитать величину напряженности электрического поля при
пробое и пробивное напряжение кремниевого p+-n перехода с концентрацией
доноров в базовой области равной 41015см-3.
4.9 Определить напряжение туннельного пробоя кремниевого
симметричного ступенчатого p-n перехода с концентрацией акцепторов и
доноров, равной 51018см-3, если напряженность критического поля при
туннельном пробое равна 1016В/см .
4.10 Поясните влияние кривизны p-n перехода на его пробивное
напряжение.
4.11 Определить пробивное напряжение кремниевого p+-n перехода с
концентрацией доноров в области базы 1015см-3. При расчете принять, что
коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок одинаковы и
определяются выражением:
 B 
 n   p  A exp   0 
 E 
где А=5106см-1;
В0=2,5106 В/см;
T=1.
56
m
4.12 Решить предыдущую задачу для случая прокола базы диода,
полагая толщину базы равной 5 мкм.
4.13 Определить пробивное напряжение диода Шоттки из арсенида
галлия с концентрацией доноров в базе 41015см-3, полагая значения
постоянных (см.задачу 4.11):
А=1,34106см-1
В0=2,03106 В/см
m=2
4.14 Решить предыдущую задачу для диода с двухслойной структурой
базы n-n+ и толщиной n-слоя, равной 5 мкм.
4.15 Кремниевый планарный диод изготовлен методом диффузии бора
в исходную пластину кремния марки КЭФ 3/0.1 так, что глубина залегания
перехода составляет величину 6 мкм, при концентрации бора в
поверхностном слое 1018см-3. Определить напряжение лавинного пробоя p-n
перехода с учетом кривизны, считая, что диффузия проходит одинаково во
всех направлениях.
4.16 Напряжение лавинного пробоя кремниевого диода при Т=300К
равно 150 В. Определить напряжение пробоя при Т=425К, если
температурный коэффициент напряжения пробоя составляет 0,910-3 К-1.
4.17 Рассчитать минимальную ширину базовой области кремниевого
несимметричного p-n+
перехода с концентрацией акцепторов в базе
16
-3
Na=10 см , исключающую явление прокола базы при пробое.
4.18 Определить изменение напряжения лавинного пробоя
германиевого диода при изменении температуры на 50 С, если напряжения
пробоя при комнатной температуре составляет 50В, а температурный
коэффициент напряжения пробоя равен 0,710-3К-1.
4.19 Напряжение туннельного пробоя диода из арсенида галлия при
комнатной температуре равно 5 В. Определить напряжение пробоя при
температуре 150 С, если температурный коэффициент напряжения пробоя
составляет 1,210-3К.
4.20 Оценить напряжение теплового пробоя германиевого диода при
комнатной температуре, если величина обратного тока диода при этой
температуре равна 10 мА, а тепловое сопротивление 5 К/Вт.
4.21 Рассчитать ТКU пробоя p-n перехода с пробивным паряжением 50
В, если при изменении температуры от 313К до 323К напряжение пробоя
повысилось на 500 мВ. Каков механизм пробоя p-n перехода?
57
4.22 Найти ТКU пробоя p-n перехода с напряжением пробоя 4 В, если
при изменении температуры от 300К до 290К напряжение пробоя
повысилось на 40 мВ. Каков механизм пробоя p-n перехода?
4.23 Выведите условие лавинного пробоя гетероперехода.
4.24 Определить напряжение лавинного пробоя гетероперехода pGenGaAs при следующих данных: Na=1015см-3, Nd=51014см-3.
4.25 Решить предыдущую задачу при концентрации граничных
состояний NS=51011cм-2.
4.26 Решить задачу 4.24 при NS=-51011см-2.
4.27 Определить напряжение лавинного пробоя гетероперехода (p +-p)
Ge - (n-n+) GaAs при следующих данных: толщина p-области 0.5 мкм;
толщина n-области- 3 мкм; Na=1015см-3, Nd=51014см-3. Оценить вклад каждой
из областей гетероперехода в полное умножение.
4.28 Поясните физический смысл методов, позволяющих устранить
влияние поверхности на пробой p-n перехода.
4.29 Вывести выражение для напряжения теплового пробоя p-n
перехода.
4.30 Показать, что коэффициент лавинного размножения в p-n переходе
определяется выражением
M
1
 U
1 
 U проб




n
4.31 Найти зависимость напряжения лавинного пробоя диода от
удельного сопротивления базы.
4.32 Найти выражение, связывающее напряжение лавинного пробоя
резкого p-n перехода с концентрацией примеси в слаболегированной области.
4.33 Показать, что напряжение туннельного пробоя ступенчатого p-n
 1
1 

перехода определяется выражением,U проб   
  0
N
N
a
d


где  - константа для данного материала, величина которой
определяется критической напряженностью электрического поля.
4.34 Почему температурный коэффициент напряжения лавинного
пробоя положителен, а туннельного - отрицателен?
4.35 Вывести выражение, связывающее напряжение туннельного
пробоя p-n перехода с удельным сопротивлением p и n областей.
58
4.36 Пользуясь графиком, приведенным на рис. 4.1, определить
концентрацию
примеси
в
слаболегированной
области
резкого
несимметричного p-n перехода в кремнии при напряжении пробоя 700В.
4.37 Решить предыдущую задачу для p-n перехода из арсенида галия.
4.38 Решить задачу 4.36 для фосфида галлия.
4.39 Поясните механизм различных методов повышения пробивного
напряжения в местах закруглений p-n перехода на поверхности.
4.40 Пользуясь графиком, приведенным на рис. 4.3, определить
концентрацию примеси в базовой области резкого p-n перехода в кремнии,
имеющего цилиндрическую форму с радиусом кривизны 10 мкм при
напряжении пробоя 200 В. Сравнить полученный результат с концентрацией
для плоского перехода.
4.41 Решить предыдущую задачу для сферического p-n перехода.
4.42 Пользуясь графиком на рис. 4.3, определить пробивное
напряжение цилиндрического p-n перехода из кремния при концентрации
примеси в высокоомной области 21014см-3 и радиусе кривизны 1 мкм.
4.43 Решить предыдущую задачу для сферического p-n перехода.
4.44 Даны два полупроводника. В одном из них коэффициенты ударной
ионизации электронов и дырок одинаковы , а в другом ,
0. Показать, что для первого полупроводника для получения большого
коэффициента лавинного размножения М должно выполняться условие
1/, а для второго 1//lnM, где  - толщина зоны лавинного пробоя.
Доказать, что в первом полупроводнике число ионизирующих столкновений
меньше, чем в другом.
4.45 Как и почему зависит напряжение теплового пробоя от
температуры?
4.46 На границах области объемного заряда линейного p-n перехода
концентрации примесей составляют 1016cм-3. Определить плотность тока, при
которой напряженность электрического поля в области лавинного пробоя
будет постоянной. При расчете коэффициенты ударной ионизации
электронов и дырок положить равными, а скорость носителей равна
скорости насыщения. Оценить разность между напряжением, при котором
область пробоя становится однородной, и пробивным напряжением, если
~0(E/E0)m, E0=3,5105В/см, m=6, VS=107см/с.
59
Глава 5. Емкость p-n перехода
Емкость p-n перехода обусловлена изменением заряда, накопленного в
переходе при изменении приложенного к переходу напряжения. Различают
барьерную (зарядную) и диффузионную емкости диода. Барьерная емкость
связана с изменением заряда неподвижных ионов примесей при изменении
приложенного к переходу напряжения и определяется как емкость плоского
конденсатора:
C  S
 0

(5.1)
где  - толщина p-n перехода;
S - площадь перехода.
Для резкого p-n перехода
C , рез.  S
e 0 N эф
2  0  U 
(5.2)
для плавного p-n перехода
C ,пл.  S 3
где
1
N эф

e 0a
12 0  U 
(5.3)
1
1

- эффективная концентрация примеси.
Na Nd
Из выражений (5.2) и (5.3) следует, что вольт-фарадные
характеристики в координатах C-2=f(U) и C-3=f(U) (рис. 5.1) имеют
линейный характер и позволяют определить величину потенциального
барьера, эффективную концентрацию (или концентрацию примеси в слабо
легированной области в случае несимметричного p-n перехода) и градиент
концентрации примеси.
Диффузионная емкость p-n перехода связана с изменением заряда
носителей тока в области базы при изменении внешнего напряжения.
60
Диффузионная
емкость
перехода
равна
сумме
обусловленных накоплением зарядов в p и n областях перехода:
емкостей,
Cд  Cд. р.Сд.п. ,
Cд. р.
(5.4)
dQ p
(5.5)
dU
Cд.п. 
dQn
,
dU
(5.6)
Qp,Qn - заряды дырок и электронов в базовых областях.
Рисунок 5.1 − Вольтфарадные характеристики резкого (а) и плавного (б)
переходов.
p-n
Для диода с толстой базой (W >> L)
Cд. р. 
 nIn
kT / e
; Cд.n. 
 pI p
kT / e
(5.7)
а общая диффузионная емкость перехода
Cд 
 n In
kT / e

 pI p
kT / e

I
 p  1    n 
kT / e 
61
(5.8)
где =Ip/I - коэффициент инжекции
I = Ip+In - полный ток.
Для диода с тонкой базой (W<<L)
Cд.n. 
Cд. р. 
I p D
kT / e
I p D
kT / e
(5.9)
(5.10)
а общая диффузионная емкость равна:
Cд 
где  D
I D
kT / e
W2

2 D - среднее время диффузии носителей через базу.
62
(5.11)
Контрольные вопросы, задачи и упражнения к главе 5
5.1 Что понимают под барьерной емкостью p-n перехода? От чего она
зависит?
5.2 Что понимают под диффузионной емкостью полупроводникового
диода? От чего и как она зависит?
5.3 Какую информацию о параметрах p-n перехода и как можно
получить, зная экспериментальную зависимость барьерной емкости перехода
от приложенного напряжения?
5.4 Барьерная емкость диода с резким p-n переходом равна 100 пФ при
обратном напряжении 4 В. Определить снижение емкости при увеличении
обратного напряжения по модулю до 9 В.
5.5 Покажите, что диффузионная емкость полупроводникового диода
со структурой типа p+-n и толщиной базы W равна
Cд 
eW 2 I
2 D p kT
5.6 Германиевый плоскостной диод с сопротивлением p и n областей
p=0.1 Омсм, n=2 Омсм находится под обратным смещением 25 В. Найти
толщину области объемного заряда и емкость p-n перехода в этом случае,
положив площадь перехода равной 1 мм2.
5.7 Показать, в каком случае в резком p-n переходе произведение
обратного тока на емкость перехода является величиной постоянной.
5.8 Некоторый диод изготовлен на основе кремниевой пластины марки
КЭФ 2,0/0,8 толщиной 0,5 мм путем вплавления в нее алюминия. Определить
диффузионную емкость диода при прямом смещении 0.4 В, если толщина nобласти после вплавления стала 0.45 мм.
5.9 Для барьера Шоттки, образованного на основе кремния
n-типа
15
-3
известно, что концентрация электронов в кремнии равна 10 cм , высота
барьера составляет 0.5 эВ. Рассчитать толщину области объемного заряда и
барьерную емкость при подаче на переход внешнего смещения 0 В, 1 В, -1 В.
5.10 Определить дифференциальное сопротивление и диффузионную
емкость кремниевого диода при прямом смещении 0.6 В, если известно, что
концентрация дырок в p-области 51016см-3, концетрация электронов в nобласти 81016см-3, площадь перехода 10мм2, время жизни неосновных
носителей заряда n =1 мкс, p =10 мкс.
63
5.11 Рассчитать параметры эквивалентной схемы (рис. 5.1)
кремниевого диода, если концентрация дырок в p-области pp=1016см-3, а
концентрация электронов в n-области nn=1014см-3, обратный ток насыщения
10 мкА, прямое напряжение 0.35 В, Т=300К, объемное сопротивление базы
RБ =5 Ом.
RБ
Сдиф
Rд
СБ
Рисунок 5.2
5.12 Барьерная емкость диода с резким p-n переходом 150 пФ при
обратном напряжении 2.5 В. Какое требуется обратное напряжение, чтобы
уменьшить емкость до 25 пФ? Высоту потенциального барьера принять
равной 0.75 В.
5.13 Определить барьерную емкость кремниевого резкого
несимметричного p-n+ перехода, если удельное сопротивление p-области
p=10 Омсм, высота потенциального барьера 0.8 В, приложенное обратное
напряжение 10 В, площадь поперечного сечения p-n перехода 1мм2.
5.14 В германиевом резком p-n переходе удельная проводимость pобласти p=103 (Омсм)-1, а удельная проводимость n-области n=10 (Омсм)1
. Площадь поперечного сечения перехода 1 мм2. Определить: барьерную
емкость перехода при нулевом смещении и при обратном напряжении 5 В.
5.15 Определить диффузионную емкость и дифференциальное
сопротивление при Т=300К кремниевого диода при прямом смещении 0.8В,
если площадь перехода 10мм2, время жизни электронов в p-бласти с
концентрацией 51015см-3 равно 510-5 с, а время жизни дырок в n-области с
концентрацией 21016см-3- 810-6с.
5.16 Найти диффузионную емкость кремниевого p-n перехода
диаметром 10 мм, изготовленного на основе кремния марки КДБ-1-1.5/0.045,
если известно, что концентрация примеси в n-области много больше, чем в pобласти. Величина прямого напряжения 0.4В.
5.17 Резкий p-n переход имеет следующие параметры: Na=1017см-3,
Nd=1015см-3, площадь поперечного сечения p-n перехода 1мм2, подвижности
электронов и дырок n=1300см2/Вс, p=500см2/Вс, диффузионные длины
неосновных носителей заряда
Lp =5 мкм, Ln=2 мкм, относительная
диэлектрическая проницаемость полупроводника, из которого изготовлен
64
переход  =12, концентрация собственных носителей заряда n i1010см-3.
Рассчитать при Т=300К значения следующих параметров:
1) концентрацию основных и неосновных носителей заряда;
2) удельные проводимости и сопротивления p и n областей;
3) высоту потенциального барьера;
4) коэффициенты диффузии носителей заряда;
5) обратный ток насыщения;
6) ток диода при прямом напряжении 0.35 В;
7) ток диода при большом обратном напряжении;
8) ширину p-n перехода при обратном напряжении 20 В;
9) барьерную емкость p-n перехода при обратном напряжении 20 В;
10) отношение дырочной составляющей тока, проходящего через p-n
переход, к электронной.
5.18 Барьерная емкость резкого кремниевого p-n перехода площадью
1мм2 при обратном напряжении 5 В составляет 250 пФ. Определить:
1) изменение емкости при обратном напряжении 15 В;
2) максимальную напряженность электрического поля в p-n переходе
при обратных напряжениях 5 и 15 В.
5.19 Для барьера Шоттки, образованного на основе арсенида галлия nтипа, известно, что концентрация электронов равна 1014см-3, высота барьера
составляет 0.8 эВ. Найти толщину области объемного заряда и барьерную
емкость при нулевом смещении.
5.20 Решить предыдущую задачу при смещении +0,7В ; -5В.
5.21 Некоторый p-n переход при обратных напряжениях 2,4, 6В имеет
барьерные емкости равные соответственно 22, 9.2, 6 пФ. Определить закон
распределения примеси, эффективную концентрацию или градиент
концентрации примеси, высоту потенциального барьера p-n перехода.
5.22 Найти температурный коэффициент барьерной емкости резкого pn перехода, изготовленного из кремния.
5.23 Решить предыдущую задачу для германиевого p-n перехода.
5.24 Вывести выражение для барьерной емкости плавного p-n перехода.
5.25 Вывести выражение для барьерной емкости резкого p-n перехода.
5.26 Показать, что барьерная емкость полупроводникового диода
C 0
определяется выражением C 

 U
1   


где Cб0 -значение барьерной емкости при напряжении на диоде равном
нулю;
65
, -параметры апроксимации.
5.27 Показать, что диффузионную емкость полупроводникового диода
 I  I 
можно представить в виде Cдиф  э S
kT / e
где Э - эффективная постоянная времени (равна времени жизни
неосновных носителей в базе диода для диодов с толстой базой и времени
пролета носителей через базу для диодов с тонкой базой).
5.28 Пользуясь зависимостью барьерной емкости от обратного
напряжения (рис. 6.34), определить параметры апроксимирующей
зависимости Сб0,  .
5.29 Представить зависимости барьерной емкости от обратного
напряжения графически в координатах lgC=flg(U+0) для различных p-n
переходов (резкого, плавного, сверхрезкого).
5.30 Для одного и того же p-n перехода представить графически
зависимости барьерной емкости от обратного напряжения в координатах
С-2=f(U) или C-3=f(U) при разных температурах.
5.31 Представить графически зависости барьерной емкости от
обратного напряжения в координатах C-2=f(U) или C-3=f(U) при разных
значениях эффективной концентрации или градиента концентрации.
66
Приложение 1. Параметры германия, кремния и арсенида галлия
Ge
Si
GaAs
Плотность, г/см3.
5.32
2.33
5.32
Атомная масса
72.60
28.1
144.6
4.4*1022
5*1022
2.2*1022
16
12
11
при Т=0К
0.785
1.21
1.52
при Т=300К
0.72
1.12
1.43
0.12
0.26
0.068
0.28
0.49
0.12
3900
1400
8500
1900
500
400
2.5*1013
1.4*1010
1.3*107
Параметр
Плотность атомов, см-3.
Относительная диэлектрическая проницаемость
Ширина запрещенной зоны,эВ
Эффективная масса m*/m0
Электронов
дырок
Подвижность электронов,
см2/(В с).
Подвижность дырок, см2/(В с).
Собственная концентрация
(Т=300К), см-3.
носителей
ni
Электрическое поле пробоя Екр,кВ/см
100
300
Собственное удельное сопро- тивление Ом см
(при Т=300К)
47
2*105
5*106
Коэффициент диффузии электро- нов, см2/с.
99
34
212.5
Коэффициент диффузии дырок, см2/с.
47
13
10
0.64
1.45
0.46
6*106
107
107
6*106
8*106
-----
Nc (T=300К)
1.04*1019
2.8*1019
4.4*1017
Nv (T=300К)
6.1*1018
1.02*1019
8.6*1018
Коэффициент теплопроводности
Дрейфовая
электронов
Дырок
скорость
 , Вт/(К см).
насыщения,
см/c
400
Эффективная плотность состояний, см-3.
67
Приложение 2 . Фундаментальные физические постоянные
Масса покоя электрона
m0=9.1*10-31 кг
Заряд электрона
e= 1.6*10-19 Кл
Магнитная проницаемость
вакуума
0=4*10-7Гн/м
Диэлектрическая проницаемость
свободного пространства
0=1/ 0*c2=8.85*10-14 Ф/см
Скорость света в вакууме
с=2.99*1010 см/с
Постоянная Планка
h=6.62*10-34 Дж с= 4.14*10-15эВ с
Постоянная (число) Авогадро
NАВ=6.02*1023 1/моль
Универсальная газовая
постоянная
Постоянная Больцмана
R=8.31 Дж/ (моль К)
k= R/NAВ= 1.38*10-23 Дж/к=8.6*10-5 эВ/к
Постоянная СтефанаБольцмана
1эВ=1.6*10-19 Дж,
=5.67*10-8 Вт/(м2*К4)
1 Ом*см= 104Ом*мм2/м
68
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния”
М, Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань.
2009.
69