О Момент силы относительно неподвижной оси

Введение
Лабораторный практикум является обязательной составляющей изучения курса
физики на естественных факультетах. В течение каждого семестра изучения
физики студенты должны выполнить лабораторные работы, тематика и
количество которых определены учебной программой курса для данного
направления.
Цели лабораторного физического практикума:
1. Изучение основ физики с использованием экспериментальных методов.
2. Знакомство с методикой проведения физического эксперимента.
3. Приобретение опыта проведения измерений физических величин и оценки их
погрешностей.
Для успешного выполнения лабораторной работы и получения зачета за
отведенное время студент обязан заранее подготовится к занятию и составить
конспект лабораторной работы в соответствии с требованиями методических
указаний. Если в течение аудиторного занятия студент не успел получить зачет по
лабораторной работе, он должен провести необходимую обработку результатов
измерений во внеучебное время, правильно оформить работу и представить ее для
получения зачета на следующем по расписанию лабораторном занятии.
Организация учебного процесса в лабораториях осуществляется в соответствии с
утвержденными на кафедре общей физики нормами и правилами проведения
лабораторных работ, с которыми студенты знакомятся на первом занятии.
Этапы выполнения лабораторной работы:
1) получение допуска к лабораторной работе;
2) правильное и самостоятельное проведение измерений;
3) обработка результатов измерений;
4) получение зачета по лабораторной работе.
Подготовка к допуску осуществляется с использованием методических указаний к
3
лабораторной работе и рекомендованной литературы. Проводится оформление
раздела «Краткая теория» в конспекте лабораторной работы.
Допуск студентов к лабораторной работе преподаватель проводит в виде
собеседования со студентом. Подготовка к получению допуска к лабораторной
работе является основой для ее правильного, грамотного и наиболее быстрого
выполнения. В течение подготовки к допуску, которую необходимо проводить
заранее во внеучебное время, студент должен выполнить следующее:
1. Подготовить конспект лабораторной работы по установленной форме.
2. Изучить основы теории физического явления, исследуемого в лабораторной
работе, и запомнить формулировки понятий, используемых в теории.
3. Разобраться с выводом основных формул, которые используются в
лабораторной работе. Понять вид функций и графиков, которые должны быть
получены в работе, а также значения или оценки рассчитываемых величин.
4. Понять процедуру проведения измерений и последовательность обработки
результатов измерения.
После получения допуска каждый студент самостоятельно проводит обработку
результатов измерения и их представление в соответствии с методическими
рекомендациями к лабораторной работе.
Итогом работы служит предоставление оформленного отчета по лабораторной
работе и получение зачета у преподавателя.
4
Лабораторная работа № 315
Определение момента инерции тел правильной формы методом крутильных
колебаний
Оборудование: тренога со спиральной пружиной, штанга с двумя грузами,
секундомер, световой барьер.
Цель работы: определение момента инерции тел правильной формы.
Краткая теория
Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина,
равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до
рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном
движении
n
I   mi ri 2
i 1
.
Суммирование производится по всем элементарным массам mi , на которые
можно разбить тело.
Рисунок 1 – Разбиение тела на элементарные массы mi
Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме
моментов инерции его частей.
Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс
I   r 2 dm    r 2 dV
5
,
где ρ - плотность тела в данной точке; dm=ρ dV - масса малого элемента тела
объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.
Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины ρ и r являются
функциями точки (например, декартовых координат х , у и z).
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его
центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси
определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой
оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела
на квадрат расстояния а между осями.
I  I c  ma 2 .
Момент силы относительно неподвижной точки O - физическая величина,

определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из

точки O в точку A приложения силы, на силу F
 

 
M  rF.

M - осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением


поступательного движения правого винта при его вращении от r к F .
Модуль вектора момента силы
M  F r sin   F l ,


где  - угол между r и F , r sin  l - кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой O - плечо силы.
6
Рисунок 2 – Момент силы относительно неподвижной очки О
Момент силы относительно неподвижной оси z - скалярная величина M Z ,

равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного
относительно произвольной точки O данной оси z .
Рисунок 3 – Момент силы относительно неподвижной оси z
Значение момента M Z не зависит от выбора положения точки O на оси z . Если

ось z совпадает с направлением вектора M , то момент силы представляется в
виде вектора, совпадающего с осью:
 

M z  r F 
  z
.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки O 
r
физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора i


p

m

O
i
i
i
материальной точки, проведенного из точки
, на импульс
этой
материальной точки
7


 

Li  ri pi   ri mi i .
Модуль вектора момента импульса
Li  ri pi sin   mi  i ri sin   pi l ,

где α – угол между векторами ri и

p i ; l  r sin 
- плечо импульса.
Перпендикуляр опущен из точки O на прямую, вдоль которой направлен импульс
частицы.
Рисунок 4 – Момент импульса материальной точки относительно
неподвижной точки О

Li - осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением


r
p
i
поступательного движения правого винта при его вращении от
к i.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z скалярная
величина
равная
L iz,
проекции
на
эту
ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки
O данной оси z.
Значение момента импульса L iz не зависит от положения точки О на оси z.
8
Рисунок 5 – Момент импульса материальной точки относительно
неподвижной оси z
Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела
Li Z  mi  i ri .
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая
отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой





m

i
i
i
i перпендикулярны этому радиусу, т. е.
скоростью . Скорость
и импульс

радиус — плечо вектора mi  i . Тогда момент импульса отдельной частицы
Li Z  mi  i ri и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси
n
LiZ   mi vi ri
i 1
,
равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую
скорость
LZ  I Z 
.
Учтем, что  i   ri
n
n
n
i 1
i 1
i 1
LZ   mii ri   mi ri 2    mi ri 2  I Z 
,
где I Z - момент инерции тела относительно оси z,  – угловая скорость.
9

Найдем выражение для работы при вращении тела (Рисунок 6). Сила F
приложена к точке B , находящейся от оси на расстоянии r ,  - угол между

направлением силы и радиусом-вектором r . Так как тело абсолютно твердое, то
работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол d точка B приложения силы
проходит путь r d и работа равна произведению проекции силы на направление
смещения
на
величину
смещения:
d A  F sin r d .
Учитывая,
что
M Z  F r sin   F l , получаем
d A  M Z d.
Рисунок 6 – К вычислению работы при вращении тела
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:
d A  M Z d ,
MZ
 IZ 2 
d Ек  d 
  I Z  d
 2 
.
Тогда
M Z d  I Z  d ,
d
d
d
 IZ 

dt
d t . Так как угловая скорость
d t , то M Z  I Z  .
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
M Z  IZ  .
10
d A  d Eк вр
,
или
Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента
инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.
11
Теория метода
В установке вращение тела происходит под действием спиральной пружины. В
области упругих деформаций вращающий момент, стремящийся вернуть тело в
положение равновесия, прямо пропорционален углу поворота φ
М = −𝐷𝜑,
(1)
где D – угловой коэффициент жесткости пружины.
Тогда основной закон динамики вращательного движения для установки может
быть записан в виде
𝐼
𝑑2 𝜑
𝑑𝑡 2
= −𝐷𝜑.
(2)
Преобразовав (2) к виду
𝐷
𝜑̈ + 𝜑 = 0,
𝐼
(3)
получим уравнение гармонического осциллятора, частота собственных колебаний
которого
𝐷
𝜔=√ .
(4)
𝐼
Тогда период крутильных колебаний
𝐼
𝑇 = 2𝜋√ .
𝐷
(5)
Для определения угловой жесткости пружины используется штанга с двумя
грузами, которые могут перемещаться вдоль нее. Момент инерции такой системы
относительно оси вращения
𝐼 = 𝐼0 + 2𝐼1 ,
(6)
где 𝐼0 - момент инерции штанги, 𝐼1 – момент инерции груза (грузы расположены
на одинаковом расстоянии от оси вращения).
Момент инерции груза может быть найден по теореме Штейнера
𝐼1 = 𝐼𝐶 + 𝑚𝑙 2 ,
12
(7)
где 𝑚 − масса груза, 𝑙 – расстояние от оси вращения до центра масс груза.
Учитывая (6-7) и возводя в квадрат (5), получим
𝑇2 =
4𝜋2
𝐷
(𝐼0 + 2𝐼𝐶 + 2𝑚𝑙 2 )=
8𝜋2
𝐷
𝑚𝑙 2 +
4𝜋2
𝐷
(𝐼0 + 2𝐼𝐶 ).
(8)
Представим (8) в виде
𝑇 2 = 𝑘𝑙 2 +b.
(9)
Т.к. квадрат периода крутильных колебаний системы линейно зависит от квадрата
расстояниия грузов до оси вращения, то измерив период колебаний для
нескольких положений грузов и определив коэффициент 𝑘 методом наименьших
квадратов, можно рассчитать угловой коэффициент жесткости
𝐷=
8𝜋2 𝑚
𝑘
.
(10)
Определить момент инерции тел правильной формы можно по формуле
(5),записанной в виде
𝐼=
𝑇2𝐷
4𝜋2
,
(11)
где Т - период колебаний тела на спиральной пружине.
Описание установки
Экспериментальная установка содержит треногу со спиральной пружиной 1, к
которой с помощью винта во вращающемся валу могут крепиться штанга с
грузами 2, шар 3, диск 4, цилиндр 5, полый цилиндр 6, и электронный секундомер
7 для измерения периода крутильных колебаний.
13
7
5
1
3
6
2
4
Рисунок 7 – Экспериментальная установка
Ход работы и обработка результатов измерений
Упражнение 1
1. Поставьте переключатель режимов работы светового барьера в крайнее
нижнее положение.
2. С помощью винта закрепите штангу с двумя грузами во вращающемся валу.
3. Расположите грузы на штанге симметрично относительно оси вращения.
Измерьте расстояние 𝑙.
4. Расположите треногу со штангой так, чтобы в положении равновесия конец
штанги перекрывал окошко светового барьера.
5. Поверните маятник на 900 относительно начального положения, нажмите
кнопку «SET» и отпустите маятник. После совершения одного полного
колебания секундомер покажет его длительность.
6. Измерьте период колебаний штанги для пяти различных положений грузов,
передвигая грузы на 1-2см к оси вращения.
14
7. Измерения для каждого положения грузов повторяйте три раза.
8. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:
№ измерения
𝒍,см
𝒍,м
𝑙 2 , м2
𝑙 4 , м4
Т1, с
Т2, с
Т3, с
Тср, с
𝟐
𝐓ср
1
2
3
4
5
𝟐
𝒍𝟐 𝐓ср
9. Для нахождения углового коэффициента жесткости методом наименьших
квадратов заполните таблицу
(при вычислении углового коэффициента
жесткости используйте средние значения Т периодов колебаний штанги с
грузами для пяти положений грузов):
A=∑𝟓𝐢=𝟏 𝐥𝟒𝒊
B=∑𝟓𝐢=𝟏 𝒍𝟐𝐢
𝟐
C=∑𝟓𝐢=𝟏 𝒍𝟐𝐢 𝐓𝐢ср
𝟐
F=∑𝟓𝐢=𝟏 𝐓𝐢ср
k=
𝐁𝐅−𝟓𝐂
𝐁 𝟐 −𝟓𝐀
m=0,214 кг
10.По формуле (10) рассчитайте угловой коэффициент жесткости.
Упражнение 2
1. Поставьте переключатель режимов работы светового барьера в крайнее
нижнее положение .
15
2. С помощью винта закрепите тело в основании спиральной пружины.
3. Закрепите на теле цветной стикер и расположите треногу с телом так, чтобы
в положении равновесия стикер перекрывал окошко светового барьера.
4. Поверните маятник на 900 относительно начального положения, нажмите
кнопку «SET» и отпустите маятник. После совершения одного полного
колебания секундомер покажет его длительность.
5. Измерения для каждого тела повторяйте три раза.
6. По формуле (11) рассчитайте момент инерции тела.
7. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:
№
Т, с
Т2, с
D, Н∙м
I, кг∙м2
Iср, кг∙м2
1
2
3
8. Рассчитайте момент инерции тела, используя значения его массы и
размеров (см. приложение А).
9. Сравните результаты, полученные в пунктах 7 и 8.
.
16
Контрольные вопросы
1. Дайте определение момента инерции материальной точки.
2. Дайте определение момента инерции системы материальных точек.
3. Дайте определение момента инерции твердого тела.
4. В чем заключается физический смысл момента инерции?
5. Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.
6. Дайте определение момента импульса и момента силы относительно точки.
7. Дайте определение момента импульса и момента силы относительно оси.
8. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
9. Выведите формулу момента инерции однородного стержня относительно
оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости.
10.Выведите формулу момента инерции однородного диска относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости.
11.Выведите формулу момента инерции однородного прямого цилиндра
относительно оси, проходящей через центр масс параллельно его
образующим.
12.Выведите формулу момента инерции однородного шара относительно оси,
проходящей через его центр масс.
13.Выведите
формулу
момента
инерции
полого
прямого
цилиндра
относительно оси, проходящей через центр масс параллельно его
образующим.
17
Заключение
План оформления лабораторной работы:
1. Номер лабораторной работы.
2. Название лабораторной работы.
3. Цель работы.
4. Оборудование.
5. Краткая теория.
6. Описание установки.
7. Ход работы и обработка результатов измерений.
Все
расчеты,
необходимые
для
получения
окончательных
результатов
лабораторной работы, должны быть представлены в конспекте в форме,
доступной для проверки преподавателем. Все расчеты должны проводиться в
международной системе единиц измерения СИ.
На основе проведенных расчетов в конспекте лабораторной работы (если это
требуется) должны быть построены экспериментальные графики зависимостей
физических величин, предусмотренные методическими указаниями.
Требования по оформлению графиков:
1) Графики строятся на миллиметровой бумаге;
2) на графике: оси декартовой системы, на концах осей — стрелки, индексы
величин, единицы измерения, множители;
3) на каждой оси указывается масштаб;
4) под графиком указывается его полное название;
5) на графике должны быть отмечены экспериментальные точки.
Результаты расчета физических величин, которые должны быть получены как
итог выполнения лабораторной работы. Окончательный результат должен быть
представлен в виде среднего значения измеренной физической величины с
указанием ее доверительного интервала.
18
Вывод по лабораторной работе должен включать в себя сравнение полученных
результатов с теоретическими положениями.
19
Приложение А
Таблица 1
Шар
m=0,761 кг
r=0,070 м
Диск
m=0,284 кг
r=0,108 м
Сплошной цилиндр
m=0,367 кг
r=0,0495 м
Полый цилиндр
m=0,372 кг
r1=0,046 м
r2=0,050 м
Стержень
m=0,133 кг
l=0,6 м
20
Приложение Б
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные
ошибки.
Метод
наименьших
квадратов
применяется
также
для
приближённого
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным при обработке измерений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например,
длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится
много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое из всех
отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на
соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов
отклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше,
чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было
другой величины. Само правило арифметической середины представляет,
следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.
Пример 1
Рисунок 8 - Кривая, проведённая через точки, имеющие нормально
21
распределённое отклонение от истинного значения
Пример 2
Пусть надо решить систему уравнений
(1)
число которых более числа неизвестных x, y,
Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему
уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по
обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные
уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные
уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно,
получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на
коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе
нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:
то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:
22
(2)
Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко
составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой
неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в
первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен
коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного
ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:
Составив значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения:
,
откуда
x = 3,55;
y = − 0,109
При составлении обычной регрессионной модели используется та же методика, и
данные коэффициенты представляют собой коэффициенты уравнения регрессии.
Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в
которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев
уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших
степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела:
предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким
23
приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и
пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое
уравнение к линейному.
24
Рекомендуемая литература
1. И.Е. Иродов. Механика. Основные законы. М.-С-Пб.: БИНОМ- Лаборатория
знаний, 2009.
2. Курс физики. Учебник для вузов/под. ред. проф. В.Н. Лозовского. СПб: Лань,
2009. Т.1
3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Том 1. Механика. C-Пб.-М.-Краснодар:
ЛАНЬ, 2008.
4. Т.И. Трофимова. Краткий курс физики. Учебное пособие для вузов. М:
КноРус, 2010.
5. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона (1890—1907).
25