Кручение с растяжением трубчатого элемента в стержневой

КРУЧЕНИЕ С РАСТЯЖЕНИЕМ ТРУБЧАТОГО ЭЛЕМЕНТА
В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА
ПРИ СМЕШАННОМ НАГРУЖЕНИИ
В. В. Стружанов, Е. Ю. Просвиряков
Уральский государственный университет, Институт машиноведения УрО РАН,
Екатеринбург, Россия
В конструктивном элементе (рис. 1), состоящем из двух упругих стержней 1 и 2,
реализуется процесс активного растяжения с кручением трубчатого элемента 3. Элемент
изготовлен из упругопластического материала, обладающего эффектом деформационного
разупрочнения. Стержень 1 передаёт на образец растягивающее усилие (в сечении B-B
блокировано кручение), а стержень 2 – крутящий момент (блокировано горизонтальное
перемещение сечения C-C). Геометрические размеры образца таковы, что сила,
растягивающая образец, по величине равна напряжению  , удлинение образца –
деформации растяжения  , крутящий момент, действующий на образец, – касательному
напряжению  , а угол закручивания – деформации сдвига  . Жёсткость стержня 1 при
растяжении равна 1 , а жёсткость стержня 2 при кручении – 2 . Смешанное нагружение
элемента осуществляем заданием монотонно возрастающих перемещения u и крутящего
момента M (рис. 1). Свойства материала трубчатого элемента 3 определяет
потенциальная функция   ,   (потенциал напряжений), которая имеет области
выпуклости и невыпуклости, отвечающие соответственно процессам упрочнения и
разупрочнения материала.
Рис. 1 Конструктивный элемент
Состояние механической системы, являющейся при
градиентной, описывает потенциальная функция (лагранжиан)
W
где
 ,  ,  
3
z
1  u   
2
2

2    
2
2
активном
нагружении

  Md   ,
0
– параметры состояния системы, а
1, 2 , u, P 
(1)
4
r
– параметры
управления. Здесь  – угол закручивания сечения D-D (рис. 1).
Критические точки функции W определяет система уравнений 3W  0, или в
координатной форме
W,   ( ,  )  1 (u   )  0,

(2)
W,   ( ,  )  2 (   )  0,

W,  2 (   )  M  0.
Здесь 3 – оператор Гамильтона в пространстве состояний 3z ,    , ,   , (запятая
обозначает дифференцирование по переменным, стоящим после неё). Решения уравнений
равновесия (2) образуют четырёхмерное многообразие равновесных состояний QW
(многообразие катастроф функции W ) в пространстве 3z  4r .
В зависимости от значений параметров управления система (2) может либо не иметь
решений, либо иметь одно, либо более чем одно решение. Для определения числа
решений (числа положений равновесия потенциальной функции) при изменении
управляющих параметров и бифуркаций состояний равновесия можно упростить задачу,
введя модельную потенциальную функцию V .
Представим функцию W в виде
W V 
где V   ( ,  ) 
1  u   
2
2    
2
 
2


Md ,
0

  Md . Заметим, что функция V является потенциальной
2
0
функцией механической системы, в которой отсутствует стержень 2, то есть исключены
параметр состояния  и параметр управления 2 . Критические точки функции V
определяются из решения следующей системы уравнений
V,   ( ,  )  1 (u   )  0,
(3)

V,   ( ,  )  M  0.
Совокупность критических точек функции V образует трёхмерное многообразие QV
равновесных состояний в пространстве 2e  3r .
Сравнивая системы уравнений (2) и (4), находим, что число решений у них
одинаково и зависит только от значений управляющих параметров 1 , u, M. Кроме того, в
положениях равновесия основной и упрощённой механических систем они определяют
одни и те же параметры состояния  ,  . Параметр  (после решения системы (4)
независимо находится из второго уравнения системы (2) при заданном 2 . Таким
образом, параметры 2 и  несущественны для анализа бифуркаций положений
равновесия рассматриваемого конструктивного элемента при его смешанном нагружении.
Поэтому при исследовании равновесных состояний системы вместо функции W будем
использовать функцию V .
Зафиксируем параметр 1. Тогда формулы (3) представляют из себя отображение
:
2
e

1
u

1
M

1
u
 u ,
1
M
 {M } , определяемое формулами
 ( ,  )

,
u 
1

 M   ( ,  ).

Матрица Якоби этого отображения равна
c12 
 c11

1
1  ,
J   1


 c

c
 21
22 
Если матрица J невырождена, то есть det J  0, то отображение  есть локальный
2
гомеоморфизм. Точки из
в которых матрица Якоби вырождается, являются
e,
критическими точками отображения  . Их образы в пространстве 1u  1M составляют
множество критических значений отображения. Согласно теореме Сарда это множество
имеет меру нуль. Очевидно, что расположение критических точек и критических значений
отображения  будет зависеть от значений параметра 1. С использованием линий
критических значений, полученных для различных 1 , построена сепаратриса модельной
потенциальной функции, которая разбивает пространство управляющих параметров на
две области. В области, ограниченной сепаратрисой, механическая система имеет два
решения, а в области, расположенной вне сепаратрисы, – ни одного решения.
Используя далее матрицу Гессе модельной потенциальной функции
  c c 
H V    1 11 12  ,
c22 
 c21
исследуем устойчивость деформирования системы. Компоненты матрицы
параметризуют евклидово пространство
3
H
H V 
. Множество точек в которых матрица Гессе
H V  вырождена, образует в параметризованном пространстве коническую поверхность
с вершиной в начале координат – дискриминантный конус матрицы H V  . Внутри
дискриминантного конуса матрица Гессе H V  положительно определена, вне конуса –
знаконеопределена или отрицательно определена. Следовательно, в точках,
расположенных внутри конуса равновесие устойчиво, а вне конуса – неустойчиво.
Процесс деформирования конструктивного элемента изображается движением в
пространстве 3H точки с координатами  1  c11 , c22 , c12  . Этот путь начинается в точке
A  1  E, G, 0 , расположенной внутри дискриминантного конуса, и заканчивается в точке
B  1 , 0, 0  , являющейся вершиной конуса и соответствующей разрушению образца. При
монотонном возрастании параметров нагружения u и M путь в пространстве 3H находится
сначала внутри конуса, затем попадает на границу дискриминантного конуса и
скачкообразно переходит в точку B. В этом случае происходит потеря устойчивости, и
конструктивный элемент разрушается динамически (происходит катастрофа).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-08-00125).