Тема 3.Формулы сокращенного умножения. тождественные

Тема 3. «Многочлены. Формулы сокращенного умножения.
Алгебраические дроби. Тождественные преобразования
алгебраических выражений»
Алгебраические выражения
Буквенные обозначения широко применяются в алгебре для
обозначения разных величин. При этом буквы называются
переменными, т.к. им можно придавать различные числовые
значения. Из переменных и чисел при помощи арифметических
операций можно составлять алгебраические выражения.
Простейшими
одночлены.
алгебраическими
выражениями
являются
Определение. Выражение, получаемое при умножении числа
(оно называется коэффициентом) на одну или несколько
переменных, называется одночленом. Одинаковые сомножители
объединяют вместе в виде натуральной степени.
Одночлены, отличающиеся только коэффициентом, называются
подобными. Такие одночлены объединят в один, пользуясь
распределительным законом, такое преобразование называется
приведением подобных членов.
Примеры одночленов: 5 x 2 y 3 ,  1,26 y 3 z, 2 xyz.
Приведение подобных членов: 5x  7 x  (5  7) x  12 x;
 45xyz  57 xyz  13xyz  (45  57  13) xyz   xyz.
Определение. Многочленом называется алгебраическая сумма
одночленов. Сумма, разность и произведение многочленов также
является многочленом. При умножении многочленов используют
распределительный закон.
Определение. Дробное выражение, в числителе и знаменателе
которого стоят многочлены, называется алгебраической рациональной
дробью.
2 xy  x 2
3z 3 y  5 x 2 2 x 4  4 x3  5 x 2  8 x  1
;.
;
.
Примеры: 2
x  y2
zyx 2  xyz 2
x2  x  3
(Если в числителе и (или) знаменателе дроби встречаются
переменные в рациональных степенях, в том числе стоящие под
знаком корня, будем называть такие дроби алгебраическими
иррациональными дробями.)
Примеры:
2 3 x y  3 yx 2
y  5, 25 x 2 2 x3  4 x  9 x5
;.
;
.
x2  y 2
0, 25 yx 2  xy
x 3
Тождественные преобразования
Определение. Два алгебраических выражения называются
тождественно равными (просто равными), если при любых
допустимых значениях переменных их значения совпадают.
Пример. Выражения 5 xy  12 xy и 7xy тожественно равны при
всех значениях x и y.
Заметим, что допустимыми значениями переменных для
алгебраической дроби являются все значения переменных кроме тех,
при которых обращается в ноль знаменатель. Для иррациональных
алгебраических дробей еще необходимо потребовать, чтобы все
выражения, входящие под знак корня четной степени, были
неотрицательными.
Пример.
Для
дроби
2xy  x 2
x2  y 2
допустимыми
значениями
переменных являются все значения кроме y   x , т.е. значения x и y
не могут быть равными или противоположными.
Дробь
2 x3  4 x  9 x5
определена
только
x 3
неотрицательных значениях переменной x, не равных 9.
при
Определение. Преобразование, с помощью которого от одного
алгебраического выражения можно перейти к другому, ему
тождественно
равному,
называется
тождественным
преобразованием этого выражения.
Примеры тождественных преобразований.
1). Одновременное добавление и вычитание одного о того же
одночлена (или выражения, не меняющего область допустимых
значений переменных).
2) Приведение подобных членов.
3) «Разведение» подобных членов (преобразование, обратное
предыдущему).
4) Одновременное умножение и деление на число, не равное 0.
Часто применяемыми в математике являются такие
тождественные
преобразования:
а)
способ
группировки;
б) применение формул сокращенного умножения (ФСУ); в) выделение
полного квадрата. Рассмотрим эти способы.
Способ группировки
Суть это способа заключается в разбивке всех одночленов на
группы по два (реже - по три) слагаемых, имеющих общий
множитель. Причем, после вынесения этого общего множителя из
каждой группы, в скобках остается один и тот же многочлен, который
вновь можно вынести за скобку.
Пример.
Разложить
на
множители
многочлен
2 x2 y  y  2 x2 z 2  z 2 . Применим группировку по два слагаемых.
(2 x2 y  y)  (2 x2 z 2  z 2 )  y(2 x2  1)  z 2 (2 x 2  1)  (2 x 2  1)( y  z 2 ).
Очевидно, что способ группировки можно применить, если
слагаемых четное число, или кратное трем. Если это не так, то
предварительно выполняют «разведение» одночленов на подобные
слагаемые.
Например,
2 x2  3x  1  2 x2  2 x  x  1  2 x( x  1)  ( x  1)  ( x  1)(2 x 1) .
Формулы сокращенного умножения
Из школьного курса хорошо известны следующие формулы
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
 a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3
 a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3
a 2  b 2   a  b  a  b 
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 
Их легко доказать, раскрыв скобки в правой (левой) части
равенства и приведя подобные.
Обобщим некоторые из этих формул. Для любой натуральной
степени n верно a n  b n   a  b   a n1  a n2b  a n3b 2  ...  ab n2  b n1  .
Для нечетных степеней справедлива формула
a 2 n1  b 2 n1   a  b   a n1  a n2b  a n3b 2  ...  ab n2  b n1  .
Обобщением формулы квадрата суммы является
 a1  a2  ...  an1  an 
2

a12  a22  ...  an21  an2  2a1a2  2a1an1  2a1an  2a2a3  ...  2an1an
Эти формулы обычно доказывают с помощью метода
математической индукции, который будет приведен ниже (тема 10).
Выделение полного квадрата
Квадрат суммы (разности) двух выражений состоит из трех
слагаемых: квадратов первого и второго выражений и их удвоенного
произведения, взятого со знаком + (-). Может случиться, что одно из
трех слагаемых отсутствует. Выделить полный квадрат – значит
добавить и отнять недостающее слагаемое и применить формулу
квадрата суммы (разности):
a 2  2ab  a 2  2ab  b 2  b 2   a  b   b 2 .
2
a 2  b 2  a 2  b 2  2ab  2ab   a  b   2ab   a  b   2ab.
2
2
Пример. В многочлене 4 x2  5xy  9 y 2 выделить полный квадрат
суммы, содержащий а) первый и второй одночлены; б) второй и
третий одночлены; в) первый и третий одночлены.
Решение. а) обозначим слагаемые искомой суммы а и b. Тогда
по условию имеем a2  4 x2  a  2 x . Рассмотрим только случай со
5y
5y
 b  . До полного квадрата
знаком +. Далее 2ab  5 xy  2  2 x 
4
4
2
 5 y  25 y
не хватает b    
. Добавим и отнимем этот одночлен в
4
16
 
исходном многочлене.
2
2
2

5 y  5 y   25 y 2
2
4 x  5 xy  9 y    2 x   2  2 x      
 9 y2 

4  4   16

2
2
2
5y 
7

  2x    7 y2.
4 
16

Для случаев б) и в) приведем ответы
2
5x 
11

б) 4 x  5 xy  9 y   3 y    3 x 2 .
6
36

2
2
в) 4 x 2  5 xy  9 y 2   2 x  3 y   7 xy .
2
Преобразования алгебраических дробей
При выполнении действий с дробями полезно придерживаться
следующего алгоритма.
1. Определить область допустимых значений переменных.
2. Разложить на множители числители и знаменатели дробей,
входящих в преобразуемое выражение.
3. Сократить дроби, если это возможно.
4. Расставить порядок действий в выражении.
5. При выполнении каждого действия результат по возможности
упрощать: раскладывать на множители и сокращать.
Задания для аудиторного занятия
1. Разложить многочлены на множители
а) 2 x3  3x2  2 x  3; б) a 2  ab  2b2 ; в) a9  8 ;
г) x4  x 2  1; д)  a  b   a  b    a  b   a  b  ;
2
5
2
5
е) b2  ab  2a2  b  a ; ж) 8a3  b3  3ab(4a  2b) ;
з) 625x4  81y 4 ; и) a11  2048 ; к) 128x7  y 7 ;
л) a3  b3  c3   a  b  c  ; м) (a  b  c)  ab  bc  ca   abc .
3
2. Выделить полный квадрат тремя способами
а) 9 x2  6 xy 2  4 y 4 ; б) 4 x2  7 x  16 .
3. Известно, что a  b  c  12, ab  bc  ca  15
Найти a2  b2  c2 .
4. Найдите наименьшее значение выражения
 2a  1 2a  1  3b  3b  4a  .
6. Заполните пропущенные места одночленами так, чтобы
равенство оказалось верным
а)  ab 4  ...  ...  12a 2b9  ...  ... ;
3
б) 8a 3  ...  ...  ... 4...  2ab  ... .
7. Найдите все пары значений а и b, при которых данное
равенство является верным при всех значениях x.
8 b
 4 x  11  x      x2  40ax  15bx  1.
a a
8. Выполнить действия
 a

9a
12a 2  9a
9
а)

1:



;
2
3
2
a

3
27

a
a

3
a

9
3

a




 a1,5  b1,5
2b0,5
0,5 0,5 
 a b  :  a  b   0,5 0,5 .
б)  0,5
0,5
a

b
a b


9. Упростить выражение и вычислить его значение при
заданных значениях параметров.
 m2 n   m 1 1 
а)  2   :  2    , m  97, n  41.
m n n m
n
б)
a3  a 18  6 a  2 2
 1, a  2.
a a 2 82 a
10. Доказать, что при всех значениях а и b верно неравенство
5 2
a  3ab  2b 2  0 .
4
3