Задачи на проценты

Задачи на проценты
Задание 1. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 9 %. Какую сумму может получить через год человек,
вложивший в этот банк 320 тыс. руб.?
Решение.
Первый способ. Через год банк должен начислить на счёт вкладчика 9 % от суммы 320 тыс.руб., то есть 320  0,09 = 28,8
(тыс. руб.), так что на счёте окажется 320 + 28,8 = 348,8 (тыс. руб.).
Второй способ. Эту задачу можно решить и по-другому. Положив в банк некоторую сумму, вкладчик получает 9 % от неё.
Поскольку сама сумма составляет 100 %, то через год на счёте оказывается 109 % от этой суммы, то есть вклад вырастет в
1,09 раза. Этот множитель экономисты называют индекс роста и при описании большинства процессов используют именно
индексы роста. Итак, индекс роста к = 1,09. Поэтому в конце года на счёте окажется 320 1,09 = 348,8 (тыс. руб.).
Обобщим. Если имеется необходимость производить аналогичные вычисления для различных исходных сумм и
процентных ставок, можно составить формулу и проводить необходимые расчёты с помощью вычислений.
Для этого решим задачу в общем виде. Если банк дает р % в год, то индекс роста равен 1+
р
(иными словами, единица
100
плюс проценты, записанные в виде десятичной дроби). Значит, если вложена сумма S руб., то, рассуждая точно так же, мы
получим, что проценты составят
pS
р
 p 
, или (1+
)S руб., то есть

 S руб., а всего на счёте вкладчика будет S +
100
100
 100 
р
) раз. Поэтому, обозначив сумму, которая должна быть на счёте вкладчика по истечении одного
100
р
года, через S1, мы получим, что S1 = kS, где k =(1+
). Подставляя конкретные числовые значения р и S, мы будем
100
сумма, выросшая в (1+
получать и соответствующие значения S1.
Например, при вкладе в 1000 денежных единиц под 12 % годовых, то есть при S = 1000 и р = 12, получим:
k = 1 + 0,12 = 1,12; S1 = 1,12 ∙ 1000 = 1120 (д.е).
Вопросы:
Вклад вырос на 50 %, во сколько раз увеличилась сумма денег? (в полтора раза)
Вклад вырос на 500 %, во сколько раз увеличилась сумма денег? (в 6 раз)
Разведанные запасы выросли на 5000 %, во сколько раз они выросли? (в 51 раз)
Сумма выросла в 5 раз, на сколько процентов она увеличилась? (на 400 %)
Объём уменьшился в 4 раза, на сколько процентов он уменьшился? (на 75 %)
Рассмотрим ещё одну задачу такого же типа.
Задание 2. Фирма покупает товар оптом по цене 23 руб. за 1 кг и продаёт его в розницу с надбавкой в 35 %. Какова
розничная цена товара?
Решение. Эту задачу также можно решить двумя способами.
Первый способ. Можно сначала подсчитать величину надбавки: 35% от оптовой цены 23 руб. составляют 0,35  23 = 8,05
(руб.), так что розничная цена равна 23 + 8,05 = 31,05 (руб.)
Второй способ. Можно рассуждать и по-другому: рассматриваемая оптовая цена составляет 100 %, надбавка – 35% от неё,
поэтому розничная цена составляет 135% от оптовой цены. Значит, розничная цена выросла по сравнению с закупочной в
1,35 раза, то есть индекс роста
к = 1,35. Розничная цена будет 1,35  23 = 31,05 (руб.).
Ответ: 31,05 руб.
Вообще, такие расчёты применимы для каждой задачи, где требуется найти значение величины после её прироста на р %. Её
можно записать и в другом виде. Приращение величины S обозначим символом S, и тогда при увеличении S на р % имеем
ðS
. Но новое значение величины – это её старое значение плюс приращение, и следовательно, новое значение равно
100
р
S +ΔS = (1+
)S= к S.
100
ΔS=
В таких случаях в экономических текстах, и в газетах часто говорят не об уменьшении, а об отрицательном росте. При этом в
табличных данных часто приводят отрицательное число процентов. Например, в таблице изменения курсов валют в строке
«украинская гривна» может встретиться значение –2,3 %, которое означает, что курс гривны относительно рубля уменьшился,
«упал» на 2,3 %.
Так как не всегда известно увеличилась или уменьшилась величина, то говорят об изменении величины, при этом изменение
может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому можно индекс роста назвать индексом изменения.
Задание 3. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25 % годовых, чтобы по истечении года получить 1 млн
руб.?
Решение. По условию, годовой доход на вклад составляет 25 %, значит, индекс роста к =1,25. То есть сумма вклада
увеличится в 1,25 раза. Поэтому в банк следует внести:
1 000 000 : 1,25 = 800 000 (руб.).
Можно рассуждать и другим образом: если внесённая сумма равна S тыс. руб., то проценты за год составят 0,25S тыс. руб.
Тогда из условия задачи получаем уравнение 1, 25S  1000000 . Отсюда S = 1 000 000 : 1,25 = 800 000.
Ответ: 800 тысяч рублей.
Простой процентный рост
Очень часто в задачах встречаются такие понятия, как простой и сложный процентный рост. Попытаемся в них разобраться.
Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т.п., то на него может
налагаться штраф, который называется пеня (от лат. poena – наказание). Если например пеня составляет 1 % от суммы
платежа за каждый день просрочки, то за 19 дней просрочки штраф составит 19 % от суммы платежа, и вместе с самим
платежом человек должен заплатить и пеню. Например, с 50 руб. самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19 
50 = 9,5 (руб.), а всего 59,5 руб.
Составим общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах. Пусть S –
ежемесячный платёж, пеня составляет р % за каждый день просрочки уплаты за некоторый месяц, а п – число просроченных
дней.
Сумму, которую должен заплатить человек после п дней просрочки обозначим через Sп. Тогда за п дней просрочки пеня
составит рп % от суммы S, т.е. индекс роста платы к будет равен 1+
pn
, а всего заплатить за этот месяц придётся кS = (1+
100
pn
pn
pn
)S. Таким образом, Sn = (1+
)S, при этом пеня ∆S =
S.
100
100
100
Рассмотрим ещё одну ситуацию. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р
если клиент внёс сумму S, то через п месяцев на его счёте будет (1+
% от внесённой в банк суммы. Поэтому,
pn
pn
)S, и мы в результате получаем, что Sn = (1+
)S.
100
100
Мы получили ту же самую формулу. Полученная формула применима, конечно, не только для расчёта просроченных
платежей и нахождения суммы на банковском счёте, но и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на
постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие ситуации и имеет
специальное название: формула простого процентного роста. Она показывает значение, которое принимает величина через
п промежутков времени, если в каждый из промежутков она увеличивается на одно и то же число процентов, считая от её
начального значения S.
Задание 12. При покупке товара в рассрочку выплачивается сразу половина стоимости, а вторая половина выплачивается по
5% от неё ежемесячно. Какая часть стоимости товара будет выплачена: а) через 6 месяцев; б) через 8 месяцев?
Решение. Для вычисления размера выплаченной суммы можно применить формулу простого процентного роста. Через
шесть месяцев будет выплачено:
0,5  5  6
56
= (1+
) 0,5=0,65(полной стоимости товара).
100
100
58
Через восемь месяцев будет выплачено: (1+
) 0,5=0,7. (полной стоимости товара).
100
0,5 +
Ответ: 0,65; 0,7.
Заметим, что формула простого процентного роста описывает не только ситуации, когда рассматриваемая величина
действительно возрастает, но и случай, когда она убывает в каждый период на одно и то же число процентов, считая от её
начального значения. Но в таких случаях, как мы уже говорили, речь идёт об отрицательном росте и число процентов р
становится отрицательным. Например, при погашении беспроцентной ссуды ежегодно выплачивается 4 % от суммы ссуды.
Поэтому ежегодно размер долга уменьшается на 4 % (изменяется на – р %). На практике человек интересуется такими
вопросами, как например насколько быстро растёт долг, если платёж не внести вовремя; как увеличивается сумма денег на
его счёте в банке и т.п.
Такие расчёты можно провести арифметически, однако, как правило, сделать такие оценки можно проще, если использовать
графики. Формула простого процентного роста показывает зависимость величины Sп от п, ясно, что Sп является линейной
функцией от n: Sn =
Sp
n+ S.
100
Если к некоторой сумме, например, 300 тыс. руб. ежемесячно прибавлять по 2 % от неё, то такая зависимость выражается
формулой простого процентного роста: Sn= (1+
Рассмотрим линейную функцию y=
2n
)300, или линейной функцией Sn = 60n +300, где п – натуральное.
100
Sp
Sp
x + S, её график будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом
,
100
100
эта прямая отсекает на оси ординат отрезок длины S.
При натуральных значениях х = п, на графике можно увидеть значения рассматриваемой величины Sп: у(п) = Sп. Поэтому
график рассматриваемой величины Sп – это, строго говоря, есть совокупность отдельных изолированных точек, лежащих на
данной прямой. Однако часто график «обычной» линейной функции y=
Sp
x + S, называют также графиком величины Sп. В
100
некоторых случаях графики помогают нагляднее представить процесс изменения тех или иных величин – это касается в
первую очередь скорости изменения этих величин.
Задание 13. На первый счёт положили 100 тыс. рублей под 30% годовых, а на второй 300 тыс. рублей под 10% годовых. На
каком из счетов через 20 лет сумма будет больше?
Решение. Составим формулы и рассмотрим линейные функции, описывающие данные процессы. Первый счёт: Sn= (1+
)100, у=30х+100. Второй счёт: Sn= (1+
30n
100
10n
)300, у=30х+300. Очевидно, что графики этих функций параллельны, то есть и
100
через 20 лет, как и через 100 лет, сумма на втором счёте будет больше, т.к. скорости роста вкладов оказались одинаковыми.
Ответ: на втором.
Сформулируем свойства простого процентного роста.
(Заметим, что свойства простого процентного роста связаны со свойствами линейной функции: прямая определяется двумя
любыми ее точками, две разные непараллельные прямые в плоскости имеют одну точку пересечения).
Свойство 1. Достаточно знать любые два значения величины, подчиняющейся правилу простого процентного роста, чтобы
найти любое третье значение.
Свойство 2. Если две различные величины, изменяющиеся по правилу простого процентного роста, один раз «пересеклись»,
то мы можем быть уверены в том, что больше этого никогда не произойдёт.
Задание 14. Для всех рабочих предприятия в зависимости от их разрядов установлены различные тарифные ставки, причём
для каждого последующего разряда тарифная ставка увеличивается на одно и то же число процентов от тарифной ставки
работника первого разряда. Сколько получает работник, имеющий четвёртый разряд, если работник первого разряда
получает 5 тыс. рублей в месяц, а шестого разряда – в четыре раза больше?
Решение. Увеличение тарифных ставок в зависимости от разряда на этом предприятии подчиняется правилу простого
процентного роста. Примем ставку рабочего первого разряда за 100 %, тогда ставка рабочего шестого разряда составит 400
%. Поскольку между первым и шестым разрядами 5 квалификационных ступеней, то разница между соседними ставками
будет равна:
400  100
=60 %. Поэтому рабочий четвёртого разряда получит на 180% (3  60%) или на 9000 (5000  1,8) руб.
6 1
в месяц больше, чем рабочий первого разряда. То есть его заработок составит 14 000 руб. в месяц.
Ответ: 14000 руб.
Задание 15. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 руб. возрастёт за 6 месяцев до 650 руб.?
Решение. Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада, конечной суммы и количество
месяцев: 650 = (1+
6p
)500. Преобразуем уравнение:
100
65 = 50 + 3р. Решив это уравнение, получим: р = 5.
Ответ: 5% в месяц.
Сложный процентный рост.
Сберегательные счета в банках теоретически бывают двух видов: до востребования (с которых деньги можно снимать в
любое время) и срочные (с которых вклад нельзя взять ранее, чем через оговоренный срок).
Принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк на срочный счёт. За первый период нахождения
внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов. В конце периода вкладчик может снять со счёта эти
приросшие деньги – «проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т.е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце
следующего периода проценты начисляются банком уже на новую, увеличившуюся сумму. То есть при такой системе
начисляются и «проценты на проценты», или как говорят «сложные» проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положит на счёт в банк 1500 руб. и ни разу не
будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:
10% от этой суммы составляют 0,1  1500 = 150 (руб.), и следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 (руб.)
10% от новой суммы составляют 0,1  1650 = 165 (руб.), и следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815
(руб.)
10% от новой суммы составляют 0,1  1815 = 181,5 (руб.), и следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 =
1996,5 (руб.).
Учителю: не торопите учеников, позвольте им проделать все вычисления вручную или с помощью калькуляторов.
Понятно, что при таком подсчёте понадобится время для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт
можно провести проще.
Через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и поэтому новая сумма составит 110% от начальной, т.е. индекс роста
вклада 1,1. Но в следующем году уже новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т.е. снова увеличится в 1,1
раза. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1  1,1 = 1,12 раза.
Но ещё через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 2  1,1 = 1,13 раза. Поскольку
1,13 = 1,331; 1,331  1500 = 1996,5, то через 3 года на счёте окажется 1996,5 руб.
При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счёте будет
1,15  1500 = 1,61051  1500  2415,77 руб.
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р % годовых, внесённая сумма равна S руб., а сумма, которая
будет на счёте через п лет, равна Sn руб.
pS
pS
p
руб., и через год на счёте окажется сумма S1 = S +
= (1 +
)S, т.е. начальная сумма
100
100
100
p
увеличилась в к = 1 
раз.
100
p
За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма S2 = (1 +
)S1=
100
Р % от S составляют
2
p
p
p 
(1 +
) (1 +
)S = (1 +
 S.
100
100
100 
3
n
p 
p 
 S и т.д. Другими словами, справедливо равенство Sn=(1 +
 S, где n –число периодов. Или
100 
100 
p
Sn= kn ∙S. где к = 1+
, n –число периодов.
100
Аналогично, S3=(1 +
Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов. В недавнем
прошлом во всех банках были таблицы коэффициентов процентного роста.
Заметим, что зависимость Sn= kn ∙ S описывает геометрическую прогрессию.
Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из
начального значения величины, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.
Можно сказать также, что при простом росте 100 % – это всегда начальная сумма, а при сложном росте 100 % каждый раз
новая величина – это предыдущее значение суммы.
Но главное, при простом росте – линейная зависимость от количества периодов, а при сложном росте – показательная.
Задание 19 (открытый банк задач ЕГЭ). Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда
потребуется для получения 42 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
Решение. Аналогично, будем считать, что виноград состоит из воды и сухого вещества. По условию сухое вещество
составляет 81 % от 42 кг изюма, то есть 0,81∙42 = 34,02 кг. В винограде то же самое сухое вещество составляет 18 % от
общего веса. Составим пропорцию:
18 % - 34,02 кг;
100 % - х кг.
х =3402: 18 = 189.
Таким образом, нужно высушить 189 кг винограда.
Ответ: 189 г.
Задание 20 (К - 1998). Содержание сахара в одном соке – 10 %, а в другом – 15 %. Смешали 2 л первого и 3 л второго сока.
Каково содержание сахара в смеси?
(А) 5 %
(В) 12,5 %
(С) 12,75 %
(D) 13 %
(Е) 25 %.
Решение. Будем считать, что сок состоит из сахара и «остального».
Заполним таблицу.
Объём (л)
2
3
2+3=5
1 сок
2 сок
смесь
Содержание сахара ( в %)
10 %
15 %
?
Содержание сахара (в л)
0,1 ∙2 = 0,2
0,15∙3 = 0,45
0,2 + 0,45 =0,65
Очевидно, что в 1-ом соке 0,2 л занимает сахар. Тогда во 2-ом соке 0,45 л сахара. Значит, в смесь попадет 0,65 л сахара, что
составит 13% от 5 л - объёма всей смеси.
Ответ: (D) 13% .
Задание 22 (К - 2001). Сколько процентов 6 процентов составляют от 40 процентов?
(А) 15 %
(В) 24 %
(С)
3
%
20
(D)
100
%
24
(Е) 6 %.
Решение. Требуется выяснить, сколько процентов составляют 6% от 40%. Таким образом, основная величина (которая
принимается за 1) – это 40 %, один процент от неё равен:
40% : 100 = 0,4%, а 6% больше, чем 0,4% в 15 раз (6 : 0,4 = 15).
Таким образом, 6 % составляют 15% от 40 %.
Или переформулируем вопрос: Какую часть составляют 6 от 40?
6 3 15
=
=
.
40 20 100
Ответ: (А)15%.
Задание 24 (К - 2003). Когда бочка пуста на 30 %, она содержит на 30 литров больше мёда, чем когда она полна на 30 %.
Сколько литров мёда в полной бочке?
(А) 60
(В) 75
(С) 90
(D) 100
(E) 120
Решение. Будем считать, что бочка состоит из мёда и пустоты. Если бочка пуста на 30 %, то полна на 70 %, т.е. в ней мёда
0,7 бочки. А когда она полна на 30 %, то в ней мёда 0,3бочки. Разность в 0,4 бочки равна 30 литрам мёда.
Отсюда, в бочку входит 75 л мёда.
Ответ: (В) 75
Задание 26 (открытый банк задач ЕГЭ). В 2008 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2009 году, в
результате строительства новых домов, число жителей выросло на 3 %, а в 2010 году - на 9 % по сравнению с 2009 годом.
Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Решение. Индекс первого изменения числа жителей 1,03; 1,03 > 1, что соответствует росту.
Индекс второго изменения 1,09.
Индекс двойного изменения равен 1,03 ∙ 1,09 = 1,1227.
Произошёл рост, число жителей в 2010 году выросло по сравнению с первоначальным в 2008 году в 1,1227 раза.
По условию было 50000 человек, стало в 1,1227 раза больше, или на 12,27 %.
1,1227 ∙ 50000 = 56135.
Ответ: 56135 человек.
Задание 27 (открытый банк задач ЕГЭ). Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число
процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если,
выставленный на продажу за 19400 рублей, через два года был продан за 15714 рублей.
Решение. Индекс первого изменения цены к, к < 1, что соответствует уменьшению.
Индекс второго изменения тоже к.
Индекс двойного изменения равен к2.
Произошло уменьшение цены в к2 раз.
По условию цена была 19400 руб., стала в к2 раз меньше.
19400 к2 = 15714;
к2 = 0,81;
к =  0,9. По смыслу один корень лишний.
к = 0,9, что соответствует уменьшению на 10 %.
Ответ: на 10 %.
Задание 28 (открытый банк задач ЕГЭ). Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа
увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 128 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход
семьи сократился бы на 2 %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение. Индекс изменения зарплаты мужа равен 3, что соответствует росту на 200%.
Пусть по условию зарплата мужа была М, стала бы 3М, выросла бы на 2 М.
Суммарный доход семьи был Д, стал бы 2,28 Д, вырос бы на 1,28 Д. Значит, 2М = 1,28Д.
Следовательно, М= 0,64 Д, или зарплата мужа составляет 64 % суммарного дохода семьи.
Аналогично, стипендия дочери была С, стала бы С : 3, уменьшилась бы на
2
С.
3
Суммарный доход семьи был Д, стал бы 0,98 Д, сократился бы на 0,02 Д. Значит,
2
С = 0,02Д.
3
Следовательно, С= 0,03 Д, или стипендия дочери составляет 3 % суммарного дохода семьи.
Зарплата мужа и стипендия дочери составляют 67 % суммарного дохода семьи, значит, зарплата жены от общего дохода
семьи составляет 33 %.
Ответ: 33 %.
Задание 29 (открытый банк задач ЕГЭ). Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 10 %. На сколько процентов семь
таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Пусть куртка стоит К, рубашка стоит Р, тогда шесть одинаковых рубашек стоят 6 Р. По условию 6Р составят 0,9 К.
6Р=0,9К; значит, Р= 0,15 К, или цена рубашки составляет 15 % цены куртки.
Семь таких же рубашек стоят 7Р.
7Р = 7∙0,15К = 1,05К.
1,05К больше К на 5 %.
Ответ: на 5 %.
Задание 30 (открытый банк задач ГИА). Государству принадлежит 90 % акций предприятия, остальные акции принадлежат
частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 80 млн р. Какая сумма из этой прибыли
должна пойти на выплату частным акционерам?
Решение. Доля акций, принадлежащих государству 0,9, значит, доля частных лиц равна 0,1.
Соответственно, доли выплат 0,9 и 0,1.
80 ∙0,1 = 8 (млн р.) - должно пойти на выплату частным акционерам.
Ответ: 8 млн р.
Задание 31 (открытый банк задач ЕГЭ). Бизнесмен Ватрушкин получил в 2000 году прибыль в размере 1500000 рублей.
Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 5 % по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал
Ватрушкин за 2002 год?
Решение. Индекс ежегодного роста прибыли к=1,05, к > 1.
Прибыль росла дважды – в 2001 и в 2002 годах.
Индекс двойного изменения равен к2 = 1,052 =1,1025.
По условию прибыль была 1500000 руб., стала в 1,1025 раз больше.
1500000 ∙ 1,1025 = 1653750.
Ответ: 1653750 руб.
Задание 32 (открытый банк задач ЕГЭ). Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001
году, имея капитал в размере 4500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла
200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея
капитал в размере 4000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300 % от капитала
предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если
прибыль из оборота не изымалась?
Решение. Компания «Альфа» не изымает прибыль из оборота, то есть ежегодно увеличивает капитал на величину прибыли.
Если прибыль составляет 200% от капитала предыдущего года, то капитал вырастает в 3 раза (был К, вырос на 2 К, стал 3К).
Индекс ежегодного изменения капитала равен 3, что соответствует росту на 200%.
Капитал рос с 2002 года по 2006, то есть пять раз.
Индекс итогового изменения равен к5 = 35 =243.
По условию первоначально капитал был 4500 долларов, стал 1 093 500 долларов (в 243 раза больше).
Аналогично, компания «Бета» не изымает прибыль из оборота. Если прибыль составляет 300% от капитала предыдущего
года, то капитал вырастает в 4 раза (был К, вырос на 3 К, стал 4К).
Капитал рос с 2004 года по 2006, то есть три раза.
Индекс итогового изменения равен к3 = 43 =64.
По условию первоначально капитал был 4000 долларов, стал 256 000 долларов (в 64 раза больше).
Капитал «Альфы» к концу 2006 года больше капитала «Беты» на 837 500 долларов.
Ответ: на 837 500 долларов.
Задание 33 (открытый банк задач ЕГЭ). Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7100 рублей. Проценты по вкладу
начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же
банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом
клиент А. получил на 781 рубль больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Решение. Индекс ежегодного роста вклада к, к > 1.
У вкладчика А. счёт рос дважды.
Индекс двойного изменения равен к2 , значит, на счету денег стало 7100 к2 (в к2 раз больше).
У вкладчика Б. счёт рос единожды, значит, на счету денег стало 7100 к (в к раз больше).
Зная, что клиент А. получил на 781 рубль больше клиента Б., составим уравнение:
7100 к2 - 7100 к = 781.
Решим получившееся квадратное уравнение. Смысл имеет положительный корень.
Индекс ежегодного роста вклада к =1,1.Банк начислял по этим вкладам 10 процентов годовых.
Ответ: 10 %.
Задание 34 (открытый банк задач ЕГЭ). Митя, Антон, Паша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 150000
рублей. Митя внёс 24 % уставного капитала, Антон - 50000 рублей, Паша - 0,2 уставного капитала, а оставшуюся часть
капитала внёс Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал
вкладу. Какая сумма от прибыли 600000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.
Решение. Митя внёс 24 % уставного капитала, его доля
24
.
100
50
2
. Доля Паши
.
150
10
58
17
Их общая доля
, значит, на долю Коли приходится
уставного капитала.
75
75
17
От прибыли 600000 рублей Коле причитается
∙600000 = 136 000.
75
Антон внёс 50000 рублей, его доля
Ответ: 136 000 рублей.
Задание 35 (открытый банк задач ЕГЭ). В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг
подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в
среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
Решение. Пусть акции компании подорожали на х процентов, индекс первого изменения цены (1+х) > 1, что соответствует
росту.
Индекс второго изменения (1 - х) < 1, что соответствует уменьшению.
Индекс двойного изменения равен (1+х) (1-х).
По условию произошло уменьшение цены на 64 %, что соответствует индексу 0,36.
(1+х) (1-х) =0,36;
х2 = 0,64;
х =  0,8. По смыслу один корень лишний.
х = 0,8, что соответствует 80 %.
Ответ: на 80 %.
ЕГЭ Задача 19.
1. Алексей взял в банке кредит на 1,6 млн. рублей. Схема погашения кредита следующая:
выплаты происходят ежемесячно после начисления банком процентов, при этом годовой
процент делится на 12 и полученный процент ежемесячно начисляется на остаток долга.
Алексей выплатил всю сумму кредита за два месяца, заплатив в конце первого месяца
800 тысяч рублей, а в конце второго – 830250 рублей. Определите, под какой процент
годовых банк выдал кредит Алексею.
Ответ: 15%
2. Дмитрий положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления
процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате
чего остаток на счете стал равен 3,4 млн. рублей. А еще через год, после начисления
процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по сравнению с исходной суммой.
Какую сумму Дмитрий положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк
начислял один и тот же процент годовых?
Ответ: 1,7 млн. рублей
3. Станислав собирается взять в банке кредит на 600 тысяч рублей по ставке 15%
годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, быть
может, последней), после начисления процентов. Сколько составит минимально
возможная переплата по кредиту, если Станислав хочет, чтобы ежегодные выплаты не
превосходили 240 тысяч рублей? (Переплатой по кредиту называется разница между
собой всех выплат и величиной кредита)
Ответ: 210993 руб. 75 копеек
4. Строительная фирма взяла в банке кредит на 67 млн. 100 тысяч рублей по ставке 20%
годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами, после начисления
банком процентов. Фирма выплатила долг за четыре года. На сколько рублей меньше
переплатила бы фирма по кредиту, если бы выплатила долг за два года?
Ответ: 15 млн. 840 тысяч рублей
5. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из
первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно
вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после
начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с
первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Ответ: 210 тысяч рублей
6. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала
1
в размере 5%, затем 12%, потом 11 % и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под
9
действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по
истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 %.
Определите срок хранения вклада.
Ответ:7