Взаимно обратные функции. Графики взаимообратных функций Две функции f и g называются взаимно обратными, если формулы y=f(x) и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, т.е. если равенство y=f(x) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x=g(y): y=f(x) x=g(y) Если две функции f и g взаимно обратны, то g называют обратной функцией для f и, наоборот, f – обратная функция для g. Например, у=10х и х=lgy – взаимно обратные функции. Ели есть некоторая зависимость между переменными у и х, которая позволяет выразить у как функцию от х и х как функцию от у, то эти две функции являются взаимно обратными. Графики взаимно обратных функций Теорема. Пусть f и g взаимно обратные функции. Графики функций y=f(x) и x=g(y) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу. Доказательство. По определению взаимно обратных функций формулы y=f(x) и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, а значит, эта зависимость изображается одним и тем же графиком – некоторой кривой С. Кривая С является графиком функции y=f(x). Возьмем произвольную точку Р(a; b)С. Это означает, что b=f(a) и одновременно a=g(b). Построим точку Q, симметричную точке Р относительно биссектрисы угла хОу. Точка Q будет иметь координаты (b; a). Так как a=g(b), то точка Q принадлежит графику функции y=g(x): действительно, при х=b значение у=а равно g(x). Таким образом, все точки, симметричные точкам кривой С относительно указанной прямой, лежат на графике функции у=g(x). Примеры функций графики которых взаимно обратны: у=ех и у=lnx; y=x2 (x0) и y=√𝑥; 𝑥 у=2x – 4 и у= +2. 2 Условие существования взаимно обратной функции Функция f имеет обратную, если из соотношения y=f(x) переменную х можно однозначно выразить через у. Есть функции, для которых нельзя однозначно выразить аргумент через заданное значение функции. Например: 1. y=|x|. Для данного положительного числа у найдутся два значения аргумента х, такие, что |x|=у. Например, если у=2, то х=2 или х= - 2. Значит, выразить однозначно х через у нельзя. Следовательно, эта функция не имеет взаимно обратной. 2. у=х2. х=√𝑦, х= - √𝑦 3. y=sinx. При заданном значении у (|y|1) найдется бесконечно много значений х, таких, что y=sinx. Функция y=f(x) имеет обратную, если всякая прямая у=у0 пересекает график функции y=f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если у0 не принадлежит области значений функции f). Это условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x)=y0 при каждом у0 имеет не более одного решения. Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Если f строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x)=y для строго монотонной функции имеет не более одного решения. Показательная функция у=ах строго монотонна, поэтому она имеет обратную – логарифмическую функция 𝑦 = log 𝑎 𝑥. Многие функции не имеют обратных. Если при некотором b уравнение f(x)=b имеет более одного решения, то функция y=f(x) обратной не имеет. На графике это означает, что прямая y=b пересекает график функции более чем в одной точке. Например, у=х2; y=sinx; у=tgx. С неоднозначностью решения уравнения f(x)=b можно справиться, если уменьшить область определения функции f так, чтобы ее область значений не изменилась, но чтобы каждое свое значение она принимала один раз. Например, у=х2, х0; 𝜋 𝜋 y=sinx, 𝑥 ∈ [− ; ]; 2 2 𝜋 𝜋 у=tgx, 𝑥 ∈ (− ; ). 2 2 Каждая из этих функций имеет обратную: у=х2, х0 𝑦 = √𝑥; 𝜋 𝜋 y=sinx, 𝑥 ∈ [− ; ] x=arcsiny; 2 2 𝜋 𝜋 у=tgx, 𝑥 ∈ (− ; ) x=arctgy. 2 2 Свойства взаимно обратных функций Тождества Пусть f и g взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y=f(x) и x=g(y) равносильны: f(g(y))=y и g(f(x))=x. Например, 𝑎 1. Пусть f – показательная, g – логарифмическая функция. Получаем: = 𝑦 и log 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥. log𝑎 𝑦 2. Функции у=х2, х0 и y=√𝑥 взаимно обратны. Имеем два тождества: (√𝑥)2 = 𝑥 и √𝑥 2 = 𝑥 при х0. Область определения Пусть f и g взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и, наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. Пример. Область определения показательной функции – вся числовая ось R, а ее область значений – множество всех положительных чисел. У логарифмической функции наоборот: область определения – множество всех положительных чисел, а область значений – все множество R. Монотонность Если одна из взаимно обратных функций строго возрастает, то и другая строго возрастает. Доказательство. Пусть х1 и х2 – два числа, лежащие в области определения функции g, причем x1<x2. Обозначим g(x1)=y1, g(x2)=y2. Числа у1 и у2 лежат в области определения функции f, так как они являются значениями функции g. Предположим, что y1у2. В силу монотонности функции f имеем f(y1)f(y2). Но f(y1)=f(g(x1))=x1 и f(y2)=f(g(x2))=x2, т.е. х1х2, что противоречит условию x1<x2. Следовательно, y1<y2. Производная обратной функции Пусть f и g взаимно обратные функции. Графики функций y=f(x) и x=g(y) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу. Возьмем точку х=а и вычислим значение одной из функций в этой точке: f(a)=b. Тогда по определению обратной функции g(b)=a. Точки (a; f(a))=(a; b) и (b; g(b))=(b; a) симметричны относительно прямой l. Так как кривые симметричны, то и касательные к ним симметричны относительно прямой l. Из симметрии угол одной из прямых с осью х равен углу другой прямой с осью у. Если прямая образует с осью х угол α, то ее угловой коэффициент равен 𝜋 1 k1=tgα; тогда вторая прямая имеет угловой коэффициент k2=tg( – α)=ctgα= . 2 𝑘1 Таким образом, угловые коэффициенты прямых, симметричных относительно 1 прямой l, взаимно обратны, т.е. k2= , или k1k2=1. 𝑘1 Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент касательной является значением производной в точке касания делаем вывод: Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих 1 1 точках взаимно обратны, т.е. 𝑔′ (𝑏) = ′ = ′ . 𝑓 (𝑎) 𝑓 (𝑔(𝑏)) 3 Пример 1. y=f(x)=x3. Обратной функцией будет функция y=g(x)= √𝑥. Найдем 1 1 1 производную функции g: 𝑔′ (𝑥) = ′ = = 3 2. 2 𝑓 (𝑔(𝑥)) 3 Т.е. ( √𝑥)′= 1 3 3 √𝑥 2 3(𝑔(𝑥)) 3 √𝑥 . 𝜋 𝜋 2 2 Пример 2. у=f(x)=sinx, x[− ; ]. Обратной функцией будет y=g(x)=arcsinx. Найдем производную арксинуса: 𝑔′ (𝑥) = (arcsinx)'= 1 √1−𝑥 2 1 𝑓′ (𝑔(𝑥)) = 1 cos arcsin 𝑥 = 1 √1−𝑥 2 . Т.е. . Упражнения 1. Докажите, что функция, заданная формулой, обратима: 1) 𝑦 = 2𝑥 2) 𝑦 = 𝑥 − 2 3) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0 4) 𝑦 = , 𝑥 > 0 5) 𝑦 = −3𝑥 + 1 6) 𝑦 = −4𝑥 7) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0; 2] 8) 𝑦 = 𝑥 3 1 9) 𝑦 = − 𝑥 3 2 3 4 𝑥 1 10) 𝑦 = 𝑥 − 3 2 2. Задайте формулой функцию, обратную данной: 2 4 1) 𝑦 = 2𝑥 2) 𝑦 = 𝑥 − 2 3) 𝑦 = 5𝑥 − 10 4) 𝑦 = , 𝑥 > 0 5) 𝑦 = −3𝑥 + 1 6) 𝑦 = −4𝑥 7) 𝑦 = 0,1𝑥 + 1 8) 𝑦 = 𝑥 3 1 9) 𝑦 = − 𝑥 3 3 1 10) 𝑦 = 𝑥 − 3 2 𝑥