Длина пути движущегося тела изменяется по закону

Длина пути движущегося тела изменяется по закону: S  At  Bt 3 , где B  1 м / c3 . За 2 c от
начала движения тело проходит 10 м . Найти:
1) скорость тела в конце второй секунды;
2) тангенциальное ускорение в этот момент времени.
Дано:
S  At  Bt 3
B  1 м / c3
t1  2 c
S1  10 м
Найти:
v t 2 c  ?
a
t 2 c
?
Решение
Сначала найдем неизвестный коэффициент
A
что означает ? в
уравнении пути. Т.к. за t1  2 c от начала движения тело проходит S1  10 м , то, подставив
известные величины в уравнение пути, получим:
10  A  2  1 23
10  2 A  8
2A  2
Отсюда получим:
A  1( м / c) .
Скорость – это первая производная пути по времени:
v
dS
.
dt
Тогда получим:
v
d
 At  Bt 3   A  3Bt 2 .
dt
Проверим размерность:
 v   м / c  м / c3  c 2  м / c .
В конце второй секунды скорость тела равна:
v t  2 c  1  3 1 22  13( м / c) .
Тангенциальная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории точки и
равна первой производной скорости по времени:
a 
dv
.
dt
a 
d
A  3Bt 2   6 Bt .

dt
Тогда:
Проверим размерность:
 a   м / c3  c  м / c 2 .
В конце второй секунды тангенциальное ускорение равно:
a
t 2 c
 6 1  2  12 ( м / c 2 ) .
Ответ: v t  2 c  13 м / c , a
t 2 c
 12 м / c 2 .
Маховик, вращаясь равнозамедленно, остановился за 3,14 c , сделав 25 оборотов.
3) Какую угловую скорость имел маховик до торможения?
Дано:
N  25 об
t  3,14 c
Найти:
1  ?
Решение
Число оборотов N за промежуток времени t свяжем с угловым перемещением за этот
же промежуток времени:
  2 N .
(1)
Средняя угловая скорость вращения равна:
1  2
 
где
2
,- доказать
1 - начальная угловая скорость,
2 - конечная угловая скорость.
Т.к. маховик остановился через время t , то 2  0 . Отсюда средняя угловая скорость вращения
равна:  
1
2
.
Тогда угловое перемещение за время t равно:
1t
  t
2
.
(2)
Приравняем уравнения (1) и (2):
2 N 
1t
.
2
Выразим отсюда искомую начальную угловую скорость:
1 
4 N
.
t
Проверим размерность:
1  
об
 об / c .
c
Подставим числа:
1 
4  3,14  25
 100  об / c  .
3,14
Ответ: 1  100 об / c .
Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через t  0,5 c на расстоянии 10 м по
горизонтали.
4) с какой скоростью v0 он брошен?
5) с какой скоростью упадет на землю?
Дано:
t  0,5 c
l  10 м
Найти:
v0  ?
v ?
Решение
Из уравнений кинематики получаем, что перемещение камня по вертикали (оно равно высоте, с
которой брошен камень), равно:
Sy  h 
где
gt 2
,
2
g - ускорение свободного падения,
t - время полета камня,
а горизонтальное перемещение камня (оно равно расстоянию от места бросания) равно:
S x  l  vx t ,
(1)
где vx - скорость камня относительно оси x .
Из уравнения (1) получим начальную скорость камня:
l
vx  v0  .
t
Т.к. камень свободно падает, то вертикальная составляющая скорости равна:
v y  gt .
Тогда результирующая скорость при падении камня на землю
v  vx  v y  vx  g t
2
2
2
2 2
.–
ОБЪЯСНИТЬ ЧТО ОЗНАЧАЕТ КАЖДАЯ БУКВА И КВАДРАТ
ОТКУДА И ПОЧЕМУ
Проверим размерность:
v0  
м
 м/c,
c
v 
м2 / c 2  м / c .
Подставим числа:
vx  v0 
10
 20  м / c  ,
0,5
v  202  9,82  0,52  20,59  м / c  .
Ответ: v0  20 м / c , v  20,59 м / c .
Троллейбус массой 15 т, трогаясь с места, движется с ускорением 1, 4 м / c 2 . Коэффициент
трения 0,02.
6) Найти, какую кинетическую энергию приобретет троллейбус через 10 м пути.
Дано:
m  15 т  15 103 кг
a  1, 4 м / c 2
  0, 02
l  10 м
Найти:
Eк  ?
Решение
Сначала определим набранную троллейбусом скорость за 10 м пути. Согласно формулам
кинематики, скорость равна:
v  at ,
где
(1)
a - ускорение,
t - время,
а пройденный троллейбусом путь равен:
at 2
l
2
.почему делённая на 2?
Отсюда время равно:
t
2l
.
a
Подставим в выражение для скорости (1):
v  a2 
2l
 2al .
a
(2)
Формула для кинетической энергии имеет вид:
Eк 
mv 2
,
2
где m - масса троллейбуса.
Подставив сюда (2), окончательно получим искомую кинетическую энергию:
Eк 
m  2al
 mal .
2
Проверим размерность:
 Eк   кг  м / c2  м  H  м  Дж
Подставим числа:
Eк  15 103 1, 4 10  210 103  210 кДж .
Ответ: Eк  210 кДж .