2derivativenotpolusenrichtime

КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
Якубовский Евгений Георгиевич
Национальный Минерально-Сырьевой
Университет Горный
Инженер, Санкт-Петербург
e-mail [email protected]
Аннотация
Дифференциальные
уравнения
в
частных
производных
могут
иметь
бесконечное действительное решение и конечное комплексное решение.
Квазилинейные уравнения в частных производных второго порядка сводятся к
бесконечной системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений,
которые
сводятся
с
помощью
редукции
к
конечной
системе
дифференциальных уравнений. При этом если координаты положения
равновесия комплексные возникают особенности решения, действительное
решение бесконечно, а комплексное конечно. При этом, если между начальной
и конечной точкой уравнения движения произошло излучение энергии, то этот
процесс определяется целыми числами и приводит к другому значению энергии
состояния.
Исследуем
эти
решения
квазилинейных
дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка.
Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, комплексное
решение
Решение систем уравнений в частных производных с первой производной
по времени исследовано в [1]. Причем конечное решение, при некоторых
условиях, получается только в комплексной плоскости. Физический смысл
комплексного решения см. [2]. Рассмотрим систему квазилинейных уравнений
второго порядка
1
L
L
 2U k
 2U k
  [a0 nl ( x1 ,..., x3 )   a1nls ( x1 ,..., x3 )U s  ...]

t 2
xl xn
l ,n 1
s 1
L
L
l 1
s 1
  [b0l ( x1 ,..., x3 )   b1ls ( x1 ,..., x3 )U s  ...]
U k

xl
.
L
 [c0 ( x1 ,..., x3 )   c1s ( x1 ,..., x3 )U s  ...]U k  d k ( x1 ,..., x3 ), k  1,..., L
s 1
С
помощью

U(t , x1 ,..., x3 )   b n (t ) n ( x1 ,..., x3 )
подстановки
получаем
n 0
уравнение (1). При этом величина d k ( x1 ,..., x3 ) , это внешнее воздействие. Для
решения этого уравнения подставляем эту функцию в уравнение в частных
производных, умножаем на величину
 s ( x1 ,..., x3 )
и интегрируем по
пространству. Получим дифференциальное уравнение (1). Функции  n ( x1,..., x3 )
выберем синусоидальными, тогда если решение непрерывная функция, то
коэффициенты ряда убывают как величина 1/ n 2 , и процесс редукции
возможен.
Исследуем нелинейное обыкновенное уравнение со второй производной по
времени, где при действительных аргументах b1,...,bN уравнение действительно
d 2bs
dt
2
 Fs (b1 ,...,bN ), s  1,..., N .
(1)
Системы уравнений, содержащие первую производную по времени в правой
части, приводятся к виду (1). Допустим, имеем уравнение
d 2bs
dbN
db1

F
(
b
,...,
b
,
,...,
), s  1,..., N .
s
1
N
dt
dt
dt 2
Продифференцируем его по времени, получим
d 3bs
dbN
db1

G
(
b
,...,
b
,
,...,
).
s
1
N
dt
dt
dt 3
Введя новые переменные
yn  bn , yn N 
уравнений
2
dbn
, n  1,..., N ; , получим систему
dt
d 2 ys
 Fs ( y1 ,..., y2 N ), s  1,...,2 N .
dt 2
Т.е. удалось избавиться от производных в правой части дифференциального
уравнения. Докажем вспомогательную лемму
Лемма 1. Сумма коэффициентов  
s
l
s 1

k 1
S

равна нулю, т.е.
s 1
QS 1 (als )
(als
 alk
S
)
k s 1
по индексу s
(als
 alk
)
ls  0 . Где QS 1 ( y ) полином степени S  1.
Дробь разлагается на простые дроби
S
QS 1 ( y )
ls

.
( y  al1 )...( y  als 1 )( y  als 1 )...( y  alS ) s 1 y  als
Докажем, что выполняется
S

s 1
ls
коэффициенты
ls  0 , причем как не трудно убедиться
определяются
по
формуле
Qs 1 (als )
  s
. Для чего рассмотрим сумму
(al  al1 )...(als  als 1 )( als  als 1 )...(als  alS )
s
l
S
P( y )  
s 1
QS 1 (als )( y  al1 )...( y  als 1 )( y  als 1 )...( y  alS )
.
(als  al1 )...(als  als 1 )( als  als 1 )...(als  alS )
Эта сумма равна
P( y )  QS 1 ( y ) , так
как в
S
точках выполняется
P(als )  QS 1 (als ), s  1,..., S . Распишем формулу для полинома, равного QS 1 ( y ) ,
разделив его на произведение ( y  a1l )...( y  alS ) , получим
S

s 1

QS 1 (als )
(als  a1l )...(als  als 1 )(als  als 1 )...(als  alS )(als  y )
QS 1 ( y )
( y  a1l )...( y  als 1 )( y  als )( y  als 1 )...( y  alS )
3
0

.
полагая, y 
alS 1
получим тождество
S 1

s 1
ls  0 , в случае, если имеется
S 1
положение равновесия. Полученная формула в тексте статьи используется в
двух случаях QS 1 ( y )  1, QS 1 ( y )  y .
Теорема 1. Рассматривается задача Коши при произвольных действительных
начальных условиях для системы нормальных нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (1). Она имеет конечное число не кратных
положений равновесия.
Случай вырожденного решения задачи Коши –
положения равновесия, не рассматривается. В случае, если у системы (1)
имеются комплексно-сопряженные положения равновесия с действительной
частью, то при конечном аргументе t действительное решение задачи Коши
системы
при
(1)
действительных
начальных
условиях
стремится
к
бесконечности.
Доказательство.
Приведем правую часть этого уравнение к уравнению в собственных
значениях, воспользовавшись преобразованием bs (t )   g sl cl (t ) exp( l t ) , где
l
величина собственных векторов g sl и собственных чисел  l определяется из
уравнений |
Fs
F
 2k  sn | 0, ( s  2k  sn ) g nk  0 .
bs
bs
Где величина
Fs
определена в координатах положения равновесия системы
bn
дифференциальных уравнений. В новых переменных cl (t ) дифференциальное
уравнение запишется в виде
d 2 cl
 (sl ) 2 (cl   ls )  (cl   ls ) 2 Pl (c1 ,...,c N )  l (c1 ,...,c N ) . (2)
2
dt
Находим координаты положения равновесия и полюсы этой системы
нелинейных дифференциальных уравнений  ls , которые определятся из
уравнений l (1s ,..., Ns )  0, l  1,..., N . Тогда уравнение запишется в виде
4
S
d 2 cl
 exp[ H l (t )] (cl   ls ) .
2
dt
s 1
(3)
Где величина
exp[ H l (t )] 
l (c1 ,...,c N )
S

s 1
.
(cl   )
s
l
При этом экспонента в ноль не обращается. Если нет кратных положений
равновесия, в точке положения равновесия множитель exp[ Hl (t )] равен
exp[ H l (t )] 
s 1

 l (1s ,..., Ns ) / cl
(  
n 1
s
l
n
l )
S

n  s 1

(  
s
l
n
l )
s 1

n 1
(sl ) 2
(  
s
l
n
l )
S

.(4)
(  
n  s 1
s
l
n
l )
Причем, так как нет кратных положений равновесия, величина sl не равна
нулю, и значит, множитель exp[ Hl (t )] в ноль не обращается.
При этом величина exp[ H l (c1 ,...,c N )] , не обращающаяся в ноль функция.
d2
d2
Вводя оператор exp[ H l (c1 ,...,c N )] 2  2 .
dt
dhl
определим
функцию
hl (t ) .
Известно
(6)
dul dhl dul
.

dt
dt dhl
тождество
Продифференцировав его по времени, получим
d 2ul dhl d dhl d
dhl 2 d 2ul

(
ul )  ( )
dt dhl dt dhl
dt
dt 2
dhl2
(7)
Значит, подействовав оператором (6) на функцию u l и используя (7) чтобы
получить (8), имеем
dhl
 exp[ H l (c1 ,...,c N ) / 2] .
dt
(8)
S
d 2 cl
  (cl   ls )  D(cl ) .
Получим дифференциальное уравнение
2
dhl
s 1
5
Умножаем это уравнение на величину
dcl
и интегрируем по cl . Получим
dhl
c
l
dcl 2
dc
величину первого интеграла энергии E  ( ) / 2   D(cl )dcl  ( l ) 2 |h h0 / 2 .
l
l
dhl
dhl
c0
l
При значении скачка от значения c l1 до значения cl2 получим выделившуюся
N
энергию E s  
l 1
c
c2
l
l
l
l
N
dcl 2
dcl 2 cl2
[( ) / 2   D(cl )dcl ]   [( ) |c1 / 2   D(cl )dcl ]
l
dhl
dhl
l 1
c0
c1
Разделим это дифференциальное уравнение на правую часть и полученную
дробь разложим на сумму простых дробей. Получим
S

s 1
ls 
1
s 1

k 1
Следует
различать
ls d 2 cl
 dhl2 (9)
s
cl   l
( ls   lk )
.
S

( ls   lk )
k s  1
величину
d 2 cl  cl (hl  hl )  cl (hl  hl )  2cl (hl )
и
величину dhl2  (hl ) 2 при условии hl  0 .
hl
При
этом
имеем

hl0
d p(hl ) 
2
dhl2 .
x
dx  dy  (hl 
hl0 ) 2
d 2 p ( hl )
 1.
dhl2
/ 2  p(hl ) .
hl0
Или
d 2 ( cl ) 2 / 2
 1 , запишем это равенство по-другому
Причем имеем
dcl2
d 2 yl
1
d ( 2 yl ) 2
(10).
g ( cl ) 
Двойной интеграл можно представить в виде
cl
x
cl0
cl0
 
f ( y )d y d xили
имеем
d 2 g ( cl )
d ( cl )
2
 f ( cl ) 
2ls
( cl   )( cl   )
s
l
s
l
6

ls

s
l
(
1
cl  
s
l

1
cl  
s
l
).
При решении в действительной плоскости существует формула
x

x0
dx
x
 ln | | .
x
x0
(1.2.6)
В комплексной плоскости формула другая
x
dx
 ln | x | i arg x  2in  ln | x0 | i arg x0  2in0 .
x

x0
Причем n  n0 в случае, если между начальным моментом и текущим
состоянием произошло изменение состояния, например, излучение энергии или
получение энергии. При излучении энергии энергия состояния, зависящая от
квантового числа n0 , начинает зависеть от квантового числа n .
Причем
в
случае
комплексных
координат
положения
равновесия
справедливо
x

x0
(2 x   )dx
[(2 x  2 Re a)  (  2 Re a)]dx



( x  Re a) 2  (Im a) 2 x0
( x  Re a) 2  (Im a) 2
x
 {ln[( x  Re a) 2  (Im a) 2 ] 
  2 Re a
Im a
[arctan
x  Re a
 n]} | xx0
Im a
Т.е. в результате интегрирования появился арктангенс, чего нет, если в качестве
интеграла использовать формулу (1.2.6)
Из дифференциального уравнения (9) и (10), получим d 2 g (cl )  d 2 p(hl ) ,
откуда имеем g (cl )  p(hl ), g (cl0 )  p(hl0 )  0 ,
S
g (cl )   {
s 1
ls
 ls
[( cl   ls )[ln( cl   ls )  2inl  1] 
 ( cl0   ls )[ln( cl0   ls )  2inl  1] 
 ( cl   ls )[ln( cl   ls )  2inl  1] 
( cl0   ls )[ln( cl0   ls )  2inl  1]}  (hl  hl0 ) 2 / 2  al (hl  hl0 )  p(hl )
Произведя элементарные преобразования по суммированию коэффициентов
при целых числах, получим
7
S
g ( cl )   [
s 1
ls
 ls
[( cl   ls ) ln( cl   ls ) 
 ( cl0   ls ) ln( cl0   ls )  2i ( cl  cl0 )nl
 ( cl   ls ) ln( cl   ls ) 
 ( cl0   ls ) ln( cl0   ls )]  (hl  hl0 ) 2 / 2  p (hl )
Эта формула получена в предположении, что состояния в начальный и текущий
момент времени не одинаковы, и поэтому берется разная ветвь логарифма. Это
происходит в случае, если система может излучить энергию и тогда, начальное
и конечное состояние имеют разную ветвь логарифма и решение зависит от
целого числа. Интеграл зависит от 2 N констант.
Выведем формулу для решения в действительной плоскости. Опуская индексы,
преобразуем формулу, суммируя с комплексно сопряженной формулой
2 Re  ( c /   1)[ln( c   )  2ipl ]  2(r  ii )[ c( r  i i ) /( r2   i2 )  1] 
 {ln[( c   r ) 2   i2 ]1/ 2  i

2
 i arctan
c  r
i
 2ipl } 
 2[r ( c r  1)  i c i ] ln[( c   r ) 2   i2 ]  2[i ( c r  1)  r c i ] 
[

2
 arctan
c  r
i
 2pl ],  r  i i 
 r2   i2   r
2
i
 r2   i2   r
2
 r  i i
 r  i i 
 r2   i2
Разрешая это уравнение относительно величины аргумента arctan , получим
cl   lrs
 lis
(hl  hl0 ) 2 / 2
 tan[ 
  l ( pl1 ,..., plN )] (11)
s
s
2[li ( cl  r  1)  lr cl  i ]
Эта функция при наличии комплексных координат положения равновесия
стремится к бесконечности при решении в действительной плоскости. При этом
не сразу происходит переход к комплексному решению. Решение несколько раз
переходит от значения
cl   , до значения
8
cl   уменьшая свою энергию
за счет излучения при скачке.
В конце концов, образуется комплексное
стабильное решение. При этом комплексное решение конечно.
При этом задача движения N тел в действительной плоскости не сразу
стремится к бесконечности, хотя имеет комплексные координаты положения
равновесия. Безразмерное уравнение движения многих тел имеет вид
d 2 R l N rgn (R l  R n )

3
d 2
n 1 rg | R l  R n |
n l
N
Введя
характерный
безразмерный
радиус
радиус
суммы
R l  rl / rg
тел
rg 
и
2  mn
n 1
2
V
.
Введем
характерное
время
N
  Vt / rg  V 3t / 2  mn . Где  гравитационная постоянная, rl радиус вектор
n 1
l тела, mn масса n тела, величина V это скорость тела.
При этом характерное расстояние вращения тела в поле тяготения массы M
удовлетворяет уравнениям
mM
r2
mV 2
,

r
откуда имеем радиус орбиты движения тела r 
M
V2
, где M большая масса,
равная массе всех тел, которая создает поле, m,V
масса и скорость
вращающегося тела, r расстояние между центрами вращающегося тела и тела,
создающего поле. Значит, величина

R ~ 1 для тел солнечной системы
2r V
 2 . При этом в силу наличия массивного тела в задаче движения
V rg
планет, имеем малый параметр для описания вращения планет  
rgn
rg

mn
N

k 1
9
mk
.
Причем координаты положения этой системы уравнений комплексные. При
рассмотрении удаленного тела правая часть не равна нулю, значит,
действительных координат положения равновесия нет.
При этом имеем из безразмерного уравнения движения N тел значения hl ~  ,
dg (cl0 ) dcl dp(hl0 )
 ~ 1,  ~ 1 . Оценим из равенства
константу a . Имеем

dcl dhl
dhl
s
lr
s
li
dg / dc ~ 1, dp / dh ~ a , откуда имеем dc / dh ~ a .
Интегрируя (9), получим аргумент из формулы (11), причем решение равно
( cl   lr ) /  li ~
1
i

  cl / 2  hl2  ahl ,
2
tan 
 / 2  (hl  ahl ) / cl  i tan 
причем имеем hl  4 cl . Но эта бесконечность
реализуется для гладких
поверхностей. В случае шероховатой поверхности величина бесконечного
значения
решения,
заменяется
на
cl  (  cr  i li / tan  ) 2 ,
где
tan 
среднеквадратичный тангенс наклона шероховатостей поверхности планет, а
величина cl соответствует безразмерной координате планеты. Т.е. через время
N
t
2  mn
n 1
V
3
tan 
наступит комплексное решение.
Но при движении земли время наступления комплексного решения равно
t  2  6.67  10
8
2  10 33
(2  10 )
6 3
10
5
 5.27  10 9 cek  167 year ,
и
через
время
167 year возникнет особенность и начнется комплексное решение.
Теорема 2. Решение системы уравнений (1) в комплексной плоскости конечно
в случае отсутствия излучения nl  0 и полюсов.
Допустим cl   . Тогда имеем значение левой части выражения, стремящееся
к константе, а справа бесконечная величина hl   при условии t   , значит,
величина cl не стремится к бесконечности, и является конечной величиной.
10
Теорема 3.В случае комплексного решения оно даже при наличии излучения и
полюсов не стремится к бесконечности на конечном отрезке времени. При
этом, при увеличении времени радиус траектории увеличивается.
Теорема следует из вида решения (10), которое при конечной правой части
(конечной величине hl ) является конечным, зависящим от значения интервала
времени hl , с ростом этого интервала значение радиуса увеличивается,
определяясь как корень уравнения
2ils
 ls
( cl  cl0 )nl  (hl  hl0 ) 2 / 2 .
(10)
Т.е. Вселенная расширяется, причем по закону (10) без учета излучения.
При этом в случае наличия излучения решение комплексное в силу
зависимости решения от начальных условий. Если cl0 положительно, то
величина cl комплексная согласно формуле (10), если cl0 отрицательно, то
величина cl комплексная согласно формуле (11).
Потенцируя данное выражение, получим нелинейную систему уравнений
Вольтера относительно неизвестных cl (t ), l  1,..., N
S

s 1
( cl   ls )
( cl  
 exp[
2ils
 ls
ls ( cl /  ls 1)
( cl0   ls )
s
s
s l ( cl /  l 1)
(
l )
cl0
 
ls ( cl0 /  ls 1)
s
0
s
s l ( cl /  l 1)
l )
( cl  cl0 )nl ]  exp[ (hl  hl0 ) 2 / 2] 
t
 exp{[ 
t0
l [c1 ( ) ,...,c N ( )]
S

s 1

.
(11)
d ]2 / 2}
[cl ( )   ls ]
Это уравнение может иметь для одного из уравнений нуль функции
l [c1 ( ) ,...,cN ( )] , что приведет к изменении монотонности у функции hl (t ) ,
вместо возрастания будет убывание функции hl (t ) .
11
Взятие
по
модулю
l [c1 ( ) ,...,c N ( )]
функции
S
 [cl ( )  
s 1
,
что
определяет
s
l ]
действительное значение hl (t ) , эквивалентно переходу к дифференциальному
уравнению
d 2 cl

d 2
 l (c1 ,...,c N )
S

s 1
[cl ( )   ls ]
S

s 1
[cl ( )   ls ]
Что приводится к дифференциальному уравнению
S
d 2 cl
  [cl ( )   ls ] .
2
d | hl |
s 1
Что допускает уравнение
d 2 cl
  l (c1 ,..., c N )
d (| hl |) 2
Причем  (| hl |) монотонная функция. Выбирая начальное приближение в виде
hl 
t
hl0
  |  l    l (1   ) | dt
t0
 l 
l 
sl
(al  al1 )...(al  al 1 )( al  al 1 )...(al  alS )
 l ( x10 ,..., x N0 )
S

s 1
( xl0  als )
,
exp[(t  t 0 ) 2 ]
, 
exp[(t  t 0 ) 2 ]  exp[1 /(t  t 0 ) 2 ]
Причем величину  l нужно выбрать ветвь сходящейся координате
положения равновесия. Для сходимости к положению равновесия, нужно чтобы
время
hl  hl0
было монотонной функцией. Для этого нужно, чтобы
действительная часть  l имела тот же знак, что и действительная часть  l .
Подставляем эту зависимость в уравнение Вольтера, определяем монотонный
аргумент hl  hl0 , и из нелинейного уравнения зависимость xl (t ) , подставляем в
12
правую часть системы уравнений Вольтера, получим новое значение hl  hl0 , и
продолжаем процесс итераций. Причем уже на первом шаге получится
dhl
0
dt
и получается монотонная функция hl  hl0 . Причем величину времени нужно
представить в безразмерном виде.
Эта формула получена в предположении, что начальное и конечное состояние
решения не одинаковы. Если между ними произошло излучение, то энергия
системы изменится в соответствии со значением логарифма и появится
зависимость от разности целых чисел конечного и начального состояния nl ,
соответствующих разным ветвям логарифма. При этом разность энергий до
излучения и после с перескоком со значения c l1 до значения cl2 определяется
по формуле
N
E s  
l 1
c2
l
2
dc
[( l ) 2 |cc1l / 2   D(cl )dcl ] . Определения решения по
l
dhl
c1
l
формуле (10) может содержать точки ветвления решения. Но при этом вторая
производная от решения стремится к бесконечности в силу наличия точки
ветвления, и значит, нарушаются условия единственности решения задачи
Коши. При этом, сходящийся ряд, описывающий решения в точке ветвления не
существует.
Переход с одного значения целого числа на другое связан с изменением
фазы аргумента
Re{[( cl /   1) ln
s
l
( cl   ls )
( cl0   ls )
/[
2

s
l
 ( cl /   1) ln
s
l
( cl   ls )
( cl0   ls )
]/
( cl  cl0 )]}  1
при изменении времени hl . Как только граница основной ветви логарифма
достигнута, происходит перестройка целого числа, изменение на единицу, и как
следствие скачок решения задачи, при неизменной фазе правой и левой части
(11). Такая перестройка возможна при условии приближения к положению
13
равновесия
cl /  ls  1 , что может произойти в одном уравнении, при общей
неустойчивости координат положения равновесия. Она возможна в случае
| cl ||  ls | при условии
  ls
Re{[ln
(
cl0
  )
s
l
 ls
 ln
(
cl0
  )
s
l
] /(
2

s
l
cl0 )}  1
Кроме того, при приближении решения к начальным данным фаза равна
Re{ cl /  ls  1  O[( cl  cl0 ) /  ls ]2 }  2 ,
Что может вызвать переход энергии.
Отметим, существование частных случаев решения при разных значениях
энергии. Так у дифференциального уравнения имеется особенность
q   2 (q 3  q / 2)  0 .
(12)
В котором имеется комплексное конечное решение q(t )  
1 1   exp(it )
2 1   exp(it )
при действительных координатах положения равновесия. Но это решение
особое, оно не удовлетворяет произвольным начальным условиям, так как
зависит от одной константы. Оно является решением уравнения при частном
случае начальных условий при условии E  0 .
q 2  2 (q 4  q 2 )

 0.
2
4
А это дифференциальное уравнение имеет точку ветвления и две ветви
аналитической функции, которой равна правая часть дифференциального
уравнения. При другом значении энергии комплексного решения уравнения
(11) нет. Оно имеет при других значениях энергии конечное действительное
решение.
Выводы
14
Комплексное решение, которое существует в случае комплексных положений
равновесия, назовем турбулентным, в силу физического смысла комплексного
решения
см.
[2].
Мнимая
часть
комплексного
решения
описывает
математическое отклонение от среднего решения, и определяет вращающуюся
или осциллирующую часть решения. В случае гидродинамики комплексное
решение описывает пульсирующую турбулентную скорость потока. Причем
возможно особое комплексное решение при определенных значениях энергии
системы, т.е. дисперсия решения, может проявиться и быть не нулевой при
определенных значениях энергии.
Список литературы
1. Якубовский Е.Г. Комплексные ограниченные решения уравнений в
частных производных. Материалы международной научно-практической
конференции. Теоретические и практические аспекты естественных и
математических наук. Новосибирск: Изд. «Сибак», 2012, с. 19-30.
http://sibac.info/index.php/2009-07-01-10-21-16/5809-2013-01-17-07-57-12
2. Якубовский Е. Г. Модель комплексного пространства и распознавание
образов. На стыке наук. Физико-химическая серия. Т.2, Казань, - 2014, стр.
186-187.
http://istina.msu.ru/media/publications/article/211/bd0/6068343/raspoznavobrazov
withouteqution.pdf
15