Дифференциальная геометрия-1

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия-1
для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра
Авторы программы: Казарян М.Э., д.ф.-м.н., [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2012 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
Стандартом НИУ для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра;
Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2012г.

Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины “Дифференциальная геометрия” являются
получение представлений об основных понятиях теории многообразий – векторных полях и
дифференциальных формах;
 получение знаний о внешней геометрии поверхностей в трехмерном пространстве, первой и
второй квадратичных формах, гауссовой кривизне
 получение знаний об основных объектах дифференциальной геометрии расслоений, таких
как связность, ковариантное дифференцирование, кривизна;
 получение знаний об основных объектах римановой геометрии — тензор кривизны Римана,
геодезические.
.


Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины





В результате освоения дисциплины студент должен:
Овладеть способами заданий векторных полей и дифференциальных форм. Овладеть
умением производить замены координат, проводить вычисление коммутаторов полей и
дифференциалов форм.
Научиться вычислять основные дифференциально-геометрические инварианты поверхностей,
такие как метрика, главные кривизны, параллельный перенос.
Овладеть языком дифференциальной геометрии расслоений — связности как ковариантное
дифференцирование, параллельный перенос, кривизна, символы Кристоффеля.
Научиться вычислять кривизну по явно заданной метрике на поверхности.
Овладеть языком римановой геометрии — тензор Римана, связность Леви-Чивита, уравнения
геодезических.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
Умение
формулировать результат
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
Оценивает строгость и
корректность любых текстов по
классической механике и теории
поля
Распознает и воспроизводит
названия основных
дифференциально- геометрических
объектов, возникающих при
изучении данного раздела
Владеет и свободно использует
язык дифференциальной геометрии
Понимает постановки только
основных задач курса
понимание корректности
постановок задач
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах

ПК-10
Свободно владеет языком и
методами дифференциальной
геометрии
Понимает и воспроизводит
основные моменты базовых
доказательств и построений
ПК-16
Обосновывает и оценивает
логические ходы в произвольных
рассуждениях и конструкциях
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
Компетенция
формируется в любом
сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий
(участие в семинарах,
выполнение курсовых и
дипломных работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры
в процессе обучения
Продумывание и
повторение услышанного
на семинарах и лекциях.
Беседы с
преподавателями.
Компетенция достигается
в процессе решения
дифференциальногеометрических задач
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в
процессе решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования,
общения с
преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата);

курс динамических систем (2 год бакалавриата);
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
топология, спецкурс по К-теории, алгебраическая геометрия, симплектическая топология

Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего часов
по
дисциплине
В том числе аудиторных
Лекции
Семинары
Самостояте
льная
Практически
работа
е занятия
1
Многообразия,
векторные поля и
дифференциальные
формы
24
6
6
16
2
Поверхности в
трехмерном
пространстве:
риманова структура,
II квадратичная
форма, главные
кривизны, гауссова
кривизна.
20
4
4
1
3
Блистательная
теорема Гаусса:
формы связности и
кривизны для
метрики на
поверхности.
Евклидовы
координаты для
плоской метрики
30
6
6
12
4
Связность как
ковариантное
дифференцирование:
векторное расслоение,
сечения, матрица
связности. Уравнение
Картана, тензор
кривизны
20
4
4
12
5
Римановы
26
6
6
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
многообразия:
риманова связность.
Симметрии тензора
кривизны
6
Геодезические, их
вариационные
свойства,
сопряженные точки
Итого:

24
6
6
16
144
32
32
80
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
8
1 год
2 3
8
v
Итоговый Экзамен
Параметры **
4
Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи
задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема).
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа)
v
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 2-3 часа)
2 контрольные работы

Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков(15-20 задач по каждой теме).
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными
техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном разделе
дифференциальной геометрии. Предлагается 5задач на 3 часа.
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (5-7 задач по
каждой теме).
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 6 задач на 4 часа. Преобладают задачи,
требующие хорошего понимания происходящего в курсе Дифференциальной геометрии отчетного
модуля

Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная итоговая + 0,6*Оитог.контроль
Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.


Содержание дисциплины
Раздел 1. Многоообразия, поля и формы.
Содержание темы
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Многообразия, вектонные поля и
дифференциальные формы
Внешняя произодная формы,
коммутатор векторных полей

Первая и вторая квадратичные формы,
гауссова кривизна
Гауссово отображение, параллельный
перенос
1
3
[1,2]
1
1
3
[1,2]
Лекции Семинары Самостоятельная работа
1
1
Литература
1
4
[1,3]
1
4
[1,3]
Раздел 3. Гауссова кривизна
Содержание темы
Блистательная теорема Гаусса.
Вычисление гауссовой кривизны по
метрике

1
Раздел 2. Геометрия поверхностей
Содержание темы

Литература
Лекции Семинары Самостоятельная работа
1
1
4
Литература
[1,3]
Раздел 4. Ковариантная производная и кривизна
Содержание темы
Связность в векторном расслоении,
матрица связности, замена
тривиализации
Кривизна в расслоении. Структурное
уравнение Картана
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Литература
1
1
4
[1,3]
1
1
4
[1,3]
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра

Раздел 6. Римановы многообразия
Содержание темы
Связность Леви-Чевиты, тензор Римана
и его симметрии. Тензор Риччи и
скалярная кривизна

1
1
3
Литература
[1,3]
Раздел 7. Геодезические
Содержание темы
Уравнение геодезических. Уравнения
Эйлера-Лагранжа и Гамильтона для
геодезических

Лекции Семинары Самостоятельная работа
Лекции Семинары Самостоятельная работа
1
1
4
Литература
[1,3]
Образовательные технологии
На лекции даются основные определения курса, доказываются основные теоремы,
формулируются вспомогательные утверждения, иногда оставляемые студентам в виде задач.
Студентам выдается задание, с задачами для самостоятельного решения. Эти задачи соответствуют
тематике текущих лекций. Студент сдает задачи во время семинарских занятий.


Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач контрольного задания по теме Геометрия поверхностей.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Образец варианта экзамена (зачета)
 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
 Базовый учебник
1. Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения
 Основная литература
2. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М., Мир, 1972. 280 с.
3. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб. пособие
для вузов,—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—480 с
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование.