Диффереенц геометрия-4 к. бак

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и
общая теория относительности
для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра
Автор программы: Шварцман О.В., д.ф-м.н, доцент, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 Стандартом НИУ для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
1.1. Целями освоения дисциплины Дифференциальная Геометрия и ОТО являются::
 получение представления об основных структурах, объектах и задачах классической
дифференциальной геометрии и некоторых ее физических приложениях
 получение знания об основных понятиях и некоторых важных результатов современной
римановой геометрии .;
 получение представления о кривизне и тензоре Риччи
 развитие геометрической интуиции в присутствии кривизны.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Владеть основными приемами ковариантного дифференцирования
 Знать классификацию и уметь работать в однородных римановых(псевдоримановых
пространствах пространствах постоянной кривизны..
 Владеть понятием группы преобразований геометрической структуры на многообразии.
 Уметь вычислять кривизну и находить геодезические на однородных пространствах
классических групп.
 Понимать связь дифференциальной геометрии и классической механики .
 Владеть и уметь использовать топологические и геометрические идеи,связанные
 с теоремой Гаусса-Бонне .
 Владеть понятием расслоения и техникой связностей на векторных расслоениях.
Любая математическая компетенция достигается путем решения задач. На лекциях вводятся основные объекты, разбираются поучительные примеры ,доказываются ключевые теоремы. Но этого совершенно недостаточно. Единственный путь к мастерству - самостоятельное
решение задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
умение
формулировать результат
ПК-3
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
умение грамотно пользоваться языком предметной
области
ПК-7
понимание корректности
постановок задач
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
ПК-10
Правильно формулирует собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов, услышанных на лекциях
Формируется в процессе
активных занятий геометрией (участие в семинарах, выполнение курсовых и дипломных работ).
Изучение базового курса
Оценивает строгость любых дифференциально-геометрических текстов
Распознает и воспроизводит имена
основныхдифференциально- геометрических объектов, возникающих при изучении данного раздела
За счет повышения математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение услышанного на
лекции. Беседы с носителями дифференциальногеометрического языка.
Владеет и свободно использует
профессиональную дифференциально-геометрическую лексику
Компетенция достигается
в процессе накопления
геометрического опыта,
общения с преподавателями.
Продумывание базовых
понятий курса
Понимает постановки только опорныхдифференциально геометрических задач
Владеет и использует постановки
«многоходовых» задач
Понимает и воспроизводит основные моменты базовых доказательств и построений
ПК-16
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Компетенция формируется в любом сегменте
учебного процесса
Обосновывает и оценивает логические ходы в произвольных рассуждениях и конструкциях
3
Вырабатывается в процессе решения задач, самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач, самообразования,
общения с преподавателями.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Место дисциплины в структуре образовательной программы
4
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 для усвоения материала 1,2 модуля - хорошим знанием векторной алгебры и математического анализа в объеме первого курса. .
 для усвоения материала 3 модуля - владение курсом Динамические системы в объеме
первых двух модулей
Основные положения дисциплины должны быть использованы при изучении следующих дисциплин:
топология, квантовая механика, , алгебраическая геометрия.
Тематический план учебной дисциплины
5
№
Название темы
1
Элементарная дифференциальная и риманова геометрия регулярных гиперповерхностей в евклидовом пространстве
2
3
4
5
6
Риманова геометрия.
Кривизна..
Вариационная теория геодезических.
Связности в расслоениях...
Приложения дифференциальной и римановой геометриии в физике и математике.
Всего
Лекции
Семинары
Самостоятельная
работа
42
16
8
8
26
44
16
8
8
28
44
16
8
8
28
44
16
8
8
28
48
20
10
10
28
48
20
10
10
28
270
104
52
52
166
Всего часов
по дисциплине
Итого:
4
В том числе аудиторных
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
6.1
Форма контроля
Контрольная
работа
Коллоквиум
Зачет
1
1 год
2 3
4
2 год
2 3
8 8
1
*
8
Параметры **
4
письменная работа
1,5 часа
9
письменная работа
4 часа
экзамен письменная работа 4 часа.
экзамен письменная работа 4 часа
v
Экзамен
v
Экзамен
v
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков(15-20 задач по каждой те-
ме).
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном разделе
дифференциальной геометрии. Предлагается 4 задачи на 90 минут.
.
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 6 задач на 4 часа. Преобладают задачи, требующие хорошего понимания происходящего в курсе Дифференциальной геометрии отчетного модуля
(компетенции – умения и владения)
7
7.1
Содержание дисциплины
Раздел 1. Элементарная дифференциальная геометрия гиперповерхностей в евклидовом пространство
Самостоятельная работа
Содержание темы
Параллельный перенос на
гиперповерхности
Отображение Гаусса.Оператор формы.КривизнаГеодезически
е.
Лекции
Семинары
Литература
Подготовка к
семинарам
Письменное
домашнее
задание
Базовая
2
4
4
4
[2],гл.4
4
4
8
4
[2],гл.4
5
Дополни
тельная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
7.2
Раздел 2. Римановы многообразия
Связность Леви-Чивита и
параллелизм.Ковариантное
дифференцирование векторных и тензорных полей
Экспоненциальное отображение и полнота.теорема
Хопфа-Ринова.
Геометрия компактной
группы Ли.
2
2
4
4
[1],гл.6
[1],гл.2
4
4
6
4
[1],гл.6
[1],гл.2
2
2
6
4
[1],гл.2.5,
гл.2.6
Тензор кривизны и гауссова кривизна
2
2
4
4
[1],гл.7
Тензор Риччи и потоки Риччи
Пространства постоянной
кривизны
3
6
4
, [1],гл.7
6
3
6
4
[1],гл.7
2
4
4
[1],гл.11
[1],гл.3
2
6
4
[1],гл.11
[1],гл.3
2
2
6
4
[1],гл.7
4
4
6
4
4
6
4
[1],гл.5
2
2
6
4
[1],гл.6
2
2
4
[1],гл.5
2
2
4
7.3
7.4
Раздел 3. Кривизна
Раздел 4. Вариационная теория геодезических
Первая и вторая вариация
кривой
Уравнение Якоби и сопряженные точки
Лемма Гаусса и полярные
координаты..
Нормальная система координат
Теория Морса.
7.5
4
[1],гл.11
[1],гл.3
Раздел 5. Связности в расслоениях.
Связности в главных расслоениях
Связности в векторных расслоениях.Параллельный
перенос и ковариантное дифференцирование сечений
Форма кривизны
Плоские связности
4
6
[2],12.5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
7.6
Раздел 6. Приложения.
Классическая механика с точки зрения дифференциальной
геометрии.
2
2
4
4
Связности ЯнгаМиллса.Уравнение Эйнштейна.
4
4
6
4
Теорема Гаусса-Бонне
4
4
6
4
8
[2],гл.6
Образовательные технологии
На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса,
разбираются поучительные примеры. После этого студентам выдается листок с задачами для
самостоятельного решения, содержащий как упражнения для усвоения стандартных фактов и
приемов, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень понимания теории.
Многие задачи предваряют (продолжают) тематику лекций. Студент сдает задачи преподавателям во время семинарских занятий. Возможна замена семинарских занятий мастерклассами и неформальным обсуждением решения трудных задач.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Образец листочка с задачами
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Образец контрольной работы
1. Доказать, что
а) кривая a(t )  cos(at  b), sin( at  b), ct  d является геодезической на цилиндре x12  x22  1. Нарисовать эти геодезические в четырех случаях, когда:
a  0; c  0; a  0, c  0.
б) если (e1 , e2 ) – пара ортогональных векторов, то окружность большого
круга a(t )  (cos at )e1  (sin at )e2 (или точка при a  0 ) является геодезической на
сфере x12  x 22  x32  1 в R 3 .
2. Пользуясь теоремой существования и единственности для ОДУ, доказать, что
других геодезических в примерах из задачи 1 не бывает.
3. Пусть S – некоторая поверхность в R 3 ,  (t ) – кривая на S , v  TS  (t ) . Тогда существует единственное векторное поле V , касательное к S вдоль  (t ) , которое
параллельно (т.е.  V  0 ) и для которого V (t 0 )  v .
4. Пусть  (t ) – геодезическая на поверхности S , причем  (t )  0 , а X – векторное
поле вдоль  (t ) , касательное к S . Тогда X – параллельно  X и угол между X и
 постоянны вдоль  .
0
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Образец домашнего письменного задания
1. Рассмотрим точку
p
на гладкой поверхности M в R 3 . Выберем прямоугольную декартову систему
p
p была
горизонтальна. Тогда локально наша поверхность представляет собой график функции z  f ( x, y ) ,
причем f x  f y  0 в точке 0,0,0 . Докажите, что кривизна M в точке p равна
координат так, чтобы точка
попала в её начало, а касательная плоскость TM p к M в точке
Kp 
f xx
f xy
f yx
f yy
.
2. Вычислите кривизну
x2  y2
а) параболоида вращения z  
2
x2  y2
б) гиперболического параболоида z 
2
 – параметризованный тор в R 3 :
 ( , )  (a  b cos  ) cos  , (a  b cos  ) sin  , b sin  .
cos
K
(

,

)

Доказать, что
.
b(a  b cos )
3. Пусть
4. Пусть
 (t, )  x(t ), y(t ) cos , y(t ) sin   , y (t )  0
y ' x'
y ' ' x' '
K
y ( x' 2  y ' 2 ) 2
для
t I ,  R.
x'
Доказать, что
Замечание. Если
5. Пусть
.
x' 2  y' 2  1 , то K  
y' '
.
y
 (t )  x(t ), y(t ) , где
t
x(t )   1  e 2 d
, (t
 0)
0
y(t )  e t
и пусть  (t ,  )
поверхность, полученная из кривой
метризированная псевдосфера).
Докажите, что поверхность
 (t ,  )
 (t )
по рецепту задачи 4 (пара-
имеет постоянную кривизну
K  1 .
6. Что произойдет с секционной кривизной, если удвоить риманову метрику?
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
7. Построить неполное связное риманово многообразие бесконечного диаметра, такое,
что никакие две его точки, удаленные друг от друга на расстояние, большее 1, нельзя соединить
отрезком.
8. Если G – связная группа Ли, обладающая двусторонне-инвариантной римановой метрикой, то exp : LieG  G есть отображение "на".
9. Если M – полное риманово многообразие, а N – любое его накрытие, то и N – полное риманово в метрике, индуцированной с M .
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Образец варианта экзамена (зачета)
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Оценка за домашнее письменное задание: студент решил менее четверти задач листка - оценка
0-3 балла в зависимости от качества его рассказа и трудности решенных задач;
студент решил от четверти до половины задач - оценка 4-5 балла (с теми же оговорками),
студент решил от половины до трех четвертей предложенных задач - оценка 6-8 баллов;
студент решил больше трех четвертей предложенных задач - оценка 9-10 баллов
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Дифференциальная геометрия и общая теория относительности для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. Р.Бишоп, , Р.Критенден Геометрия многообразий-Москва,Мир,1967.
2..П.К. Рашевский Риманова геометрия и тензорный анализ осква,Наука,1967
Дополнительная литература
1. Д Ж. Милнор Теория Морса, Москва,Мир,1965.
2.Chavel,Modern Riemann Geometry,Academic Press..
13