Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Программа дисциплины ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ для направления 521500 - Менеджмент (второй уровень высшего профессионального образования - бакалавриат) Москва 2000 г. I. Пояснительная записка Авторы программы: д.ф.- м.н., проф., член-корр. РАН Павловский Ю.Н. (ВЦ РАН), д.ф.м.н., проф.Самыловский А.И. (ГУ - ВШЭ), к.ф.- м.н., доцент Соколов А.В., д.ф.- м.н., проф. Токарев В.В. (ГУ - ВШЭ), д.ф.- м.н., проф. Уздемир А.П. (МФТИ), д.ф.- м.н.,проф.Федоров В.В. (ВМиК МГУ). Требования к студентам: Учебная дисциплина «Исследование операций» (4 семестр) использует материал предшествующих ей дисциплин учебного плана факультета менеджмента «Математический анализ» (1-2 семестры). «Линейная алгебра» (2 семестр). «Теория вероятностей и математическая статистика» (3 семестр). Аннотация: Программа дисциплины содержит как необходимые общематематические разделы, посвященные дискретной математике, дифференциальным уравнениям, оптимизации и оптимальному управлению, теории игр, стохастическим процессам, так и прикладные разделы, актуальные для работы в различных предметных областях менеджмента. Задачей дисциплины является введение студентов в методологию, подходы, математические методы анализа социально-экономических явлений и процессов с научно-практических позиций, сложившихся к настоящему времени в мировом деловом обществе. Материал дисциплины предназначен для дальнейшего использования и развития в таких специальных направлениях менеджмента как логистика, маркетинг, финансовый менеджмент, управленческое консультирование, стратегическое управление, управление персоналом и др. Учебная задача курса: В результате изучения курса студент должен иметь представление о достаточно полном спектре концепций, подходов, методов современной теории управления и исследования операций. Студент должен знать основные типы математических моделей, используемых при описании сложных систем и при принятии решений, знать сложившуюся к настоящему времени типизацию и классификацию таких моделей, систем, задач, методов. Студент должен научиться строить комбинированные модели и подбирать методы, использующие результаты из различных научных областей. Студент должен овладеть методологией системного анализа реальных ситуаций в целях построения адекватных им моделей и методов, в целях сравнительного анализа моделей и методов, выбора наилучших в рассматриваемой ситуации решений. Формы контроля: По курсу предусмотрены 2 домашних заданий, 2 контрольных работы как формы промежуточного контроля, экзамен как форма итогового контроля. II. Тематический расчет часов № темы Название темы Формализация проблем управления в экономике. Детерминированные задачи оптимизации, статические и динамические задачи. Математическое программирование. Линейное программирование. Многокритериальная оптимизация. Обзор методов оптимизации для сетевых, целочисленных и динамических задач. Контрольная работа по детерминированным конечномерным задачам оптимизации. Принятие решений при наличии возмущении. Игровой подход к управлению (гарантированный результат). Вероятностный подход к управлению. Всего часов В том числе лекций семинаров 6 4 2 2 2 - 10 10 6 4 4 2 6 6 4 4 4 - 2 2 - 6 2 4 6 2 4 Игровые принципы равновесных решений. 10 4 6 Контрольная работа по игровым задачам. Технология математического моделирования и компьютерной имитации. Итого 2 2 - 64 32 32 III. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Тема 1. Формализация проблем управления в экономике. 1.1 Математическое описание экономических объектов Управляемые и прогнозные, или эконометрические модели. Управляемость и большая размерность. Непрерывность и дискретное время. Материальный, финансовый и социальный разделы описания. Описание внешней среды. Поэлементное описание сложной системы по схеме: входы-выходы-внутренние связи и ограничения. Выделение управлений и неконтролируемых воздействий. Слежение за размерностью, переход к безразмерным переменным. Объединение элементов описания. Примеры описаний: производственный, резервирующий и транспортный элементы. Динамические модели кредитования фирмы банком в дискретном и непрерывном времени. Математическая классификация используемых моделей: статические и динамические, непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, сетевые, детерминированные и недетерминированные. Управление запасами, массовое обслуживание. Марковские процессы. 1.2 Схемы принятия управленческих решений. Теоретико-управленческие начала: планирование, измерения (наблюдения), оперативное управление(регулирование). Способы реализации общей идеи обратной связи в экономике алгоритмы, или стратегии управления. Ресурсы управления, цели управления, критерии качества. Допустимость, оптимальность, многокритериальность, предпочтения. Исследователь операции и оперирующая сторона. Различия в информированности и ответственности. Риски и рациональное поведение. Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих решений. Априорная и текущая информация. Обработка наблюдений. Статистическая проверка гипотез. Планирование эксперимента. Детерминированный, гарантирующий и вероятностный подходы к построению стратегий управления. Использование компьютеров в контуре управления и для обучения персонала. Проблемы прикладного использования формализованных процедур принятия управленческих решений. Наука и искусство управления. Успехи и неудачи. Тема 2. Детерминированные задачи оптимизации, статические и динамические задачи. Полная и точная информированность о неконтролируемых параметрах и функциях как полезная математическая абстракция. Программное управление. План производства, распределение ресурсов. Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия. Определения максимума и минимума на допустимом множестве Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые. Эквивалентные, или взаимные задачи оптимизации (например, задача максимизации прибыли при ограниченных сверху затратах эквивалентна задаче о минимизации затрат при ограниченной снизу прибыли на том же допустимом множестве). Повторение: множества и отображения. Тема 3. Математическое программирование. Общая постановка задач конечномерной оптимизации со связями и ограничениями. Допустимое множество. Управление персоналом. Типы максимумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный, глобальный и локальный. Последовательная максимизация как способ аналитического решения задач малой размерности. Геометрическое отыскание максимума в двумерных задачах. Повторение: Метрические пространства, окрестность точки. Предельные, изолированные, внутренние и граничные точки множеств; открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные множества, компакт. Достаточные условия глобального максимума: теорема Вейерштрасса о достижимости максимума и минимума непрерывной функцией многих переменных на компакте; теорема о максимуме вогнутых, т.е. выпуклых вверх, непрерывных функций на выпуклом компакте. Достаточные условия выпуклости. Повторение: Предел и непрерывность функций многих переменных на допустимых множествах. Линейные пространства, линейная комбинация и линейная оболочка, линейная зависимость и независимость, размерность пространства, базис, единственность разложения вектора по базису, изменение координат при смене базиса. Векторно-матричные записи. Скалярное произведение, модуль вектора, угол между векторами; унитарные, евклидовы и банаховы пространства, метризуемость унитарных пространств. Логика высказываний, необходимость, достаточность. Экстремумы гладких и негладких функций. Конусы допустимых и улучшающих вариаций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального максимума в угловой точке. Критерий Сильвестра законоопределённости квадратичных форм. Условия высокого порядка для наличия и отсутствия локальных экстремумов у функций одной переменной. Повторение: производная по направлению и градиент. Ряд Тейлора для функций многих переменных. Функциональная зависимость и якобиан. Множители Лагранжа. Эквивалентность исходной задачи оптимизации со связями и ограничениями безусловному максмину функции Лагранжа. Условия Куна-Таккера, дополняющая нежёсткость, геометрическая интерпретация. Чувствительность максимума к изменению вектора ресурсов. Окаймлённый Гессиан. Теорема Куна-Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Двойственная задача. Рыночное равновесие. Схемы численных методов максимизации (прямых и непрямых): скорейший спуск, проектирование градиента, штрафные функции, метод Ньютона. Поиск глобального максимума в многоэкстремальных задачах. Тема 4. Линейное программирование. Формулировки и экономические приложения. Структура допустимого множества и типы решений. Прямая и двойственная задачи через седловую точку функции Лагранжа, теорема существования прямого и двойственного решений, теорема о дополняющей нежёсткости. Анализ чувствительности и экономическая интерпретация двойственных переменных. Симплекс метод: основная схема алгоритма. Повторение: решение систем линейных алгебраических уравнений. Тема 5. Многокритериальная оптимизация. Истоки многокритериальности. Многокритериальная предпочтительность допустимых стратегий. Эффективность (оптимальность) по Парето или Слейтеру. Построение Парето-эффективной границы путём решения многопараметрической задачи однокритериальной оптимизации с ограниченными величинами остальных критериев. Другие способы сведения к однокритериальной оптимизации. Неединственность Парето-эффективных стратегий. Априорные процедуры многокритериального выбора - свертки критериев, близость к идеальной точке. Апостериорные процедуры - выявление функции полезности у лица, принимающего решения, лексикографическая оптимизация, последовательные уступки по величинам разных критериев. Адаптивные человекомашинные процедуры. Тема 6. Обзор методов оптимизации для сетевых, целочисленных и динамических задач. Сетевое планирование, управление проектами, теория расписаний. Целочисленное программирование. Схема ветвей и границ. Оптимальные программы управления во времени. Принцип максимума Л.С. Понтрягина и принцип оптимальности Беллмана. Тема 7. Принятие решений при наличии возмущений Возмущения как неточно прогнозируемые неконтролируемые воздействия: рыночные цены, спрос и предложение, погода, поведенческие характеристики персонала и др. Априорная и текущая информация о возмущениях, диапазонная и вероятностная. Задача управления запасами. Воздействие возмущений на критерий качества и на множество допустимых управлений Планирование и оперативное управление как типичный для экономики способ реализации общей идеи обратной связи. Многошаговые процедуры управления. Обработка текущей информации о возмущениях, адаптация модели. Игровой и вероятностный подходы к управлению в зависимости от характера информации о возмущениях, диапазонного или вероятностного, и от склонности к риску лица, принимающего решения. Существование седловой точки в смешанных стратегиях для матричных игр. Связь с прямой и двойственной задачами линейного программирования. Метод множителей Лагранжа для задачи отыскания максимина со сложными ограничениями. Многошаговые схемы управления. Выделение этапов, различающихся составом управленческих решений и информацией о возмущениях. Рекурсивное решение последовательное применение принципа наилучшего гарантированного результата от заключительного по времени этапа к первому. Аналитическое решение задачи о планировании договоров и оперативной компенсации сбоев в сырьевых поставках. Тема 8. Игровой подход к управлению (гарантированный результат) Гарантия допустимости управления и справедливости оценки качества при любых возмущениях из априори прогнозируемого множества. Наилучшая гарантирующая программа управления. Множество допустимых гарантирующих программ. Максимизация на этом множестве точной нижней грани по возмущениям критерия качества. Управление с полной информацией о возмущениях, или абсолютно оптимальная стратегия. Доминирование управления с полной информацией над программным по условиям допустимости, по реализациям критерия качества и по его априорной гарантированной оценке. Игровая интерпретация программного управления и управления с полной информацией. Седловая точка как необходимый и достаточный признак априорной неразличимости всех разумных способов управления запасами. Седловые точки в антагонистических играх на независимых множествах допустимых выборов. Примеры наличия и отсутствия, т.е. пересечения или непересечения графиков максимизирующей и минимизирующей стратегий. Ненужность переговоров между сторонами в случае неединственности седловой точки. Достаточные и необходимые условия для седловых точек. Тема 9. Вероятностный подход к управлению. Вероятностная информация о возмущениях: плотность распределения, функция распределения, вероятностная мера множеств. Трудности получения такой информации даже для повторяющихся операций. Осреднение критерия качества управления по возмущениям. Ограничительные условия использования осреднённых критериев: многократное повторение операций без последствия, аддитивный (трансферабельный) характер исходного критерия качества (например, прибыль), согласие оперирующей стороны на неуправляемый риск, независимость множества допустимых управлений от возмущений. Альтернатива осреднению - заданная надёжность успеха в каждой операции: вероятность одновременного соблюдения условий допустимости управления и справедливости оценки его качества должна быть не ниже желаемой надёжности, а оценка качества - максимально возможной. Формализация задачи с фиксированной надёжностью успеха через вероятностную меру множества благоприятных возмущений. Пример аналитического решения статистической задачи управления запасами. Предельный переход в гарантирующее управление при стремлении надёжности успеха к единице. Краткие сведения о методах стохастической оптимизации. Тема 10. Игровые принципы равновесных решений. Неантагонистические бескоалиционные игры. Четыре принципа формирования равновесных стратегий индивидуального поведения: доминирующие стратегии, индивидуальные гарантирующее стратегии, равновесие по Нэшу, оптимум по Парето. Достоинства, недостатки, сравнение между собой и с седловой точкой, в общем случае и на примерах (война или мир, дуополия Курно). Стратегия наказания как механизм, заставляющий соблюдать договор о выборе одной из неединственных равновесных ситуаций. Понятие о коалиционных играх. Конечно-шаговые игры с полной и неполной информацией. Дерево игры. Множества неопределённости, или информационные множества. Рекурсивное решение. Бесконечно повторяющиеся игры. Народная теорема. Тема 11. Технология математического моделирования и компьютерной имитации. Этапы моделирования: составление моделей элементов системы, объединение (сборка) моделей, проверка замкнутости, идентификация параметров модели по реальной статистике, разработка метода расчетов по модели, верификация и поправки модели, составление сценариев для расчетов, проведение расчетов, экспертиза результатов, при необходимости - правка модели. Имитация и моделирование, сходство и различие. Использование компьютерной имитации для обучения персонала и в контуре управления. Примеры имитационных систем для микроэкономических и социально-экономических задач. Список литературы Основная литература 1.Аронович А. Б., Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Сборник задач по исследованию операций.- М.: Изд-во МГУ, 1997. 2.Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология-М.: «Мир», 1973. 3.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория.-М.: "Прогресс", 1975. 4.Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. -М.: «Мир», 1985. 5.Павловский Ю. Н. Имитационные системы и модели. - М.: "Знание", 1990. Дополнительная литература 1.Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: «Наука», 1971. 2.Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: «Наука», 1976. 3.Иванов Ю. Н., Токарев В. В.,Уздемир А. П. Математическое описание элементов экономики. - М.: «Физматлит». 1994. 4.Карманов В. Г. , Федоров В. В. Моделирование в исследовании операций. — М.: «Твема», 1996. 5.Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. -М.:"Наука",1975. 6.Петросян Л. А., Зенкевич Н. А, Семина Е. А. Теория игр. - М.: "Высшая школа", 1998. 7.Шебеко Ю. А. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений. - М.: Изд-во МАИ, 1990. 8.Chiang Alpha С. Fundamental Methods of mathematical economics, McGrawHill, 1967, 1974, 1984.