Математика (геометрия) - Основные образовательные программы
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт математики и компьютерных наук Кафедра алгебры и математической логики Абдубакова Л.В. МАТЕМАТИКА (ГЕОМЕТРИЯ) Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 35.03.10 – «Ландшафтная архитектура», профили подготовки: «Садово-парковое и ландшафтное строительство», «Декоративное растениеводство и питомники», Программа подготовки: академический бакалавриат Форма обучения - очная Тюменский государственный университет 2014 2 Абдубакова Л.В.Математика(геометрия). Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 35.03.10 – «Ландшафтная архитектура», профили подготовки: «Садово-парковое и ландшафтное строительство», «Декоративное растениеводство и питомники», программа подготовки: академический бакалавриат, форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 48 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Математика (геометрия)» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор © Тюменский государственный университет, 2014. © Абдубакова Л.В., 2014. 3 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Дисциплина "Математика (геометрия)" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления. Цели дисциплины: 1) фундаментальная подготовка в области математики; 2) овладение аналитическими методами высшей математики; 3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях. Задачи дисциплины: - понимание социальной значимости математики и её роли в развитии личности и подготовке к профессиональной деятельности; - создание основы для творческого и методически обоснованного использования математики в целях последующих жизненных и профессиональных достижений. 1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Математика (геометрия)» входит в цикл естественнонаучных дисциплин базовой части Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (ФГОС ВО) по направлению «Ландшафтная архитектура». Дисциплина «Математика (геометрия)» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математика или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями. На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов. Знание математики может существенно помочь в научно-исследовательской работе. Таблица 1. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № Наименование обеспечиваемых Темы дисциплины необхоп/п (последующих) дисциплин димые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1. 2. 3. 4. 5. Строительная физика Начертательная геометрия Общая химия Геодезия Генетика 1.1–1.3 2.1-2.3 3.1–32 + + + + + + + + + + + + + 4 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы. 1. Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями: способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности); 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю): В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: базовые положения фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом географических наук, для обработки информации и анализа географических данных. Уметь:применять математические методы при решении профессиональных задач. Владеть: математическим аппаратом, необходимым для профессиональной деятельности. 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр – первый. Форма промежуточной аттестации экзамен - первый семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144академических часов, из них 76,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 67,35 часа, выделенных на самостоятельную работу. Таблица 2. Вид учебной работы Всего часов Контактная работа со студентами Аудиторные занятия (всего) В том числе: Лекции Практические занятия (ПЗ) Семинары (С) Лабораторные работы (ЛР) Иные виды работ Самостоятельная работа (всего) Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) Общая трудоемкость час зач. ед. 76,65 144 36 36 4,65 67,35 экзамен 144 4 5 3. Тематический план Таблица 3. 3. 3.1 3.2 4 6 4 6 9 9 17 21 2 2 0-10 0-10 5-6 4 14 4 14 9 27 17 55 2 6 0-10 0-30 7-8 6 6 9 21 2 0-14 9 10-12 2 4 2 4 9 9 13 17 1 2 0-7 0-14 12 12 27 51 5 0-35 6 4 10 36 5 6 4 10 36 10 9 9 18 72 21 17 38 144 2 2 4 15 0-15 0-20 0-35 0-100 13-15 16-18 Самостоятельная работа* 1-2 3-4 Семинарские (практические) занятия Лабораторные работы Итого количество баллов 2.2 2.3 В том числе в интерактивной форме 2. 2.1 Итого часов по теме 1.3 Модуль 1 Элементы линейной алгебры Основные задачи аналитической геометрии на плоскости Кривые второго порядка Всего Модуль 2 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве Функции одной переменной Элементы дифференциального исчисления Всего Модуль 3 Неопределенный интеграл Определенный интеграл Всего Итого (часов, баллов) Из них в интерактивной форме Лекции 1. 1.1 1.2 Тема Недели семестра № Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час * с учетом иных видов работ 4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля Таблица 4. № темы 1 1 1.1 1.2 1.3 Всего 2 2.1 2.2 2.3 Всего 3 3.1 3.2 Устный опрос Письменные работы ответ на семинаре Контрольная Решение работа задач Первый семестр Информационные системы и технологии ФЭПО Итого количество баллов Модуль 1 0-1 0-1 0-1 0-3 0-6 0-6 0-6 0-18 0-3 0-3 0-3 0-9 - 0-10 0-10 0-10 0-30 0-1 0-1 0-1 0-3 0-10 0-10 0-20 0-3 0-6 0-3 0-12 - 0-14 0-7 0-14 0-35 0-2 0-2 0-10 0-10 0-5 0-6 - 0-15 0-20 Модуль 2 Модуль 3 6 Всего Итого 0-4 0-10 0-20 0-58 0-11 0-32 - 0-35 0-100 5. Содержание дисциплины. Модуль 1 Тема 1.1Элементы линейной алгебры. Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы.Системы линейных уравнений.Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ. Тема 1.2Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Тема 1.3. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка. Модуль 2 Тема 2.1Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Тема 2.2 Функции одной переменной. Функции. Способы задания функций. Свойства функций.Предел функции в точке. Точки разрыва. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Тема 2.3.Элементы дифференциального исчисления. Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Основные теоремы дифференциального исчисления.Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений.Производные и дифференциалы высших порядков.Правило Лопиталя. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.Исследование функций при помощи производных.Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Модуль 3. Тема 3.1.Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Тема 3.2.Определенный интеграл.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла. 6. Планы семинарских занятий. Модуль 1 Тема 1.1 Элементы линейной алгебры. Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы.Системы линейных уравнений.Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ. Тема 1.2Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на 7 плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Тема 1.3. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка. Модуль 2 Тема 2.1 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Тема 2.2 Функции одной переменной. Функции. Способы задания функций. Свойства функций.Предел функции в точке. Точки разрыва. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Тема 2.3.Элементы дифференциального исчисления. Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Основные теоремы дифференциального исчисления.Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений.Производные и дифференциалы высших порядков.Правило Лопиталя. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.Исследование функций при помощи производных.Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Модуль 3. Тема 3.1.Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. Тема 3.2.Определенный интеграл.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла. 7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Не предусмотрены 8. Примерная тематика курсовых работ Не предусмотрены 9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов. Таблица 5. № 1 1 1.1 1.2 1.3 Модули и темы Модуль 1 Элементы линейной алгебры. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости Кривые второго порядка Всего по модулю 1 Виды СРС Обязательные Дополнительные Первый семестр Проработка лекций. Работа с литературой. Решение типовых задач. К-р. Самостоятельное изучение заданного материала. Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов 1-2 9 0-10 3-4 9 0-10 5-6 9 27 0-10 0-30 8 2 2.1 2.2 2.3 3 3.1 3.2 Модуль 2 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве Функции одной переменной Элементы дифференциального исчисления Всего по модулю 2 Модуль 3 Неопределенный интеграл Определенный интеграл Всего по модулю 3 Итого (часов, баллов) Работа с литературой. Решение типовых задач. Самостоятельное изучение заданного материала. К-р. Работа с литературой. Решение типовых задач. Самостоятельное изучение заданного материала. К-р. Составление задач и их решение (работа в малых группах) Презентация Решение задач повышенной сложности. 7-8 9 0-14 9 9 0-7 10-12 9 0-14 27 0-35 9 9 0-15 0-20 18 72 0-35 0-100 13-15 16-18 * с учетом иных видов работ 10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). 9 10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций): Таблица 6. * - дисциплина базовой части + + + 6 семестр 5 семестр 4 семестр + + + Дендометрия* + Фитопатология* Экология* + Ландшафтоведение* Почвоведение + Декоративная дендрология * 3 семестр Ботаника* + Математика* Почвоведение* ОПК-1 Ботаника* Индекс компетенции Декоративная дендрология* Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра 2 семестр 1 семестр Выписка из матрицы соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств + 10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания: Таблица 7. Карта критериев оценивания компетенций ОПК-1 Код компетенции Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП пороговый (удовл.) 61-75 баллов базовый (хор.) 76-90 баллов повышенный (отл.) 91-100 баллов Знает: о возможности применения математики в различных областях деятельности человека Знает: о применении математики в различных областях будущей профессиональной деятельности Умеет: применять знания по математике в профессиональной деятельности с внешней помощью, строить простейшие математические модели при решении конкретных задач Владеет: методами математики при решении задачи по образцу Умеет: применять математические знания в профессиональной деятельности в стандартной ситуации Знает: о применении математики в различных областях будущей профессиональной деятельности и смежных видах деятельности Умеет: применять математические знания в профессиональной деятельности самостоятельно в любой ситуации Владеет: методами математики при решении стандартной задачи Владеет: методами математики при решении любой задачи Виды занятий (лекции, семинар ские, практические, лабораторные) Оценочные средства (тесты, творческие работы, проекты и др.) Лекции, практические занятия Тестирование, контрольная работа 10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы. Контрольные работы. Контрольная работа №1 1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Найти общее и частное решения: 3x1 2 x2 5 x3 2 x4 1 4 x 13x x 10 1 3 4 2 x1 2 x2 3x3 4 x4 6 2 x1 4 x3 3x3 5 x4 8 2. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера: 3x1 x2 x3 10 3x1 2 x2 2 x3 8 5 x 2 x 8 x 1 2 3 1 3. Решить однородную систему уравнений: 3x1 2 x2 2 x3 1x4 0 3x 1x 1x 4 x 0 1 2 3 4 9 x1 3x2 5 x3 2 x4 0 9 x1 4 x3 7 x4 0 Контрольная работа № 2 1. Даны векторы a и bи угол между ними равный 1200. Построить вектор c=2a-1.5bи определить его длину, если |a|=3, |b|=4. 2. Проверить, что четыре точки А(3;-1;2), В(1;2;-1), С(-1;1;-3) и D(3;-5;3) служат вершинами трапеции. 3. В треугольнике с вершинами A(4;-14;8), B(2;-18;12), C(12;-8;12) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. Контрольная работа №3 1. Начало отрезка АВ находится в точке А(2;-3;4). Точка М(-1;2;5) отсекает от него четвертую часть (АМ:АВ=1:4). Найти координаты точки В. 2. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) x2+y2+z2-10x+8y-8=0; 2) y=4z2? 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через: 1) Ось Oz и точку А(2;-3;4); 2) Точку А параллельно плоскости Oxy. 4. Найти уравнение перпендикуляра к плоскости x-2y+z-9=0, проходящего через точку А(-2;0;-1). Контрольная работа № 4 1. Вычислить интегралы:. 1) sin x sin 3 x dx /2 1 x (2 x 1) dx 2 2) 3 1/ 2 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(x-5)(1-x), y=4, x=1. 3. Вычислить длину дуги кривой. Вычислить длину дуги кривой: r=3(1+sinφ), π/6≤φ≤0. x2 y 2 z 2 1 4 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=0, z=1, 16 9 . Контрольная работа № 5 2 2 1. Найти решение дифференциального уравнения: xy x dx ( y x y)dy 0 2. Найти общее решение уравнения: xdy ydx ydy 3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию: xy’+y-ex=0, y(0)=b. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: 4y’’+4y’+y=0, y(0)=2, y’(0)=0. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНУ Первый семестр 1. Матрицы, действия над матрицами. 2. Определители, их свойства. 3. Обратная матрица. 4. Ранг матрицы. 5. Системы линейных уравнений. 6. Правило Крамера 7. Метод Гаусса 8. Матричный метод. 9. СЛНУ. 13 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. СЛОУ. Метод координат. Основные задачи. Полярные координаты. Уравнение линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение кривой второго порядка. Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы и линейные операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности. Функции. Область определения, множество значений. Способы задания функций. Свойства функций. Элементарные функции и их классификация. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила, формулы ее нахождения. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение производной для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба. Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. 14 54. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям). 55. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. 56. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 57. Формула Ньютона-Лейбница. 58. Замена переменного и метод интегрирования по частям в определенном интеграле. 59. Приложения определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг, поверхностей вращения. 60. Физический смысл определенного интеграла. 61. Приближенные вычисления определенного интеграла. 10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций. Текущая аттестация: Контрольные работы; в семестре проводятся контрольные работы (на семинарах). Коллоквиумы; Промежуточная аттестация: Экзамен (письменно-устная форма).Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок. Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий, индивидуальных домашних заданий, контрольной работы исдачи коллоквиумов. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 7. Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которыхсоответствует уровню задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и критерии их оценивания приведены в таблице 7. 11. Образовательные технологии. При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения. В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в 15 малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов. 12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля). 12.1 Основная литература: 1. Балдин, К. В. Высшая математика [Электронный ресурс] : учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рокосуев. - М.: Флинта, 2010. - 360 с. 978-5-9765-0299-4. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=79497. (дата обращения 14.10.2014). 2. Шипачев, В. С.. Высшая математика: учебник для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2008. - 479 с. 12.2 Дополнительная литература: 1. Бурмистрова, Е. Б.. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: учеб. пособие/ Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. - 2-е изд., доп.. Москва: ГУ ВШЭ, 2007. - 220 с. 2. Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для студ. вузов/ В. С. Шипачев. - 7-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2007. 304 с. 12.3 Интернет-ресурсы: 1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /. 2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /. 3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /. 13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости). При выполнении практических работ в качестве информационных технологий используется следующее программное обеспечение: 1. MicrosoftWord. 2. MicrosoftExcel. 3. MicrosoftPowerPoint. 16 14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля). Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором. 15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля). Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме: - название темы; - цели и задачи изучения темы; - основные вопросы темы; - характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения данной темы; - список рекомендуемой литературы; - наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе таблицы, рисунки, схемы и т.п.; - краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить. В ходе работы над теоретическим материалом достигается - понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы; - воспроизведение фактического материала; - раскрытие причинно-следственных, временных и других связей; - обобщение и систематизация знаний по теме. При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на лекционных и практических занятияхи представленные в рабочей программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы. 17 Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в изучении предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для подготовки к контрольным работам. ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. §1.1. Матрицы и операции над ними. Прямоугольная таблица элементов некоторого множества K , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей порядка m на n ( m n ). Матрицы будем обозначать буквами A, B, ..., а их элементы, находящиеся на пересечении i ой строки и j ого столбца через aij , bij и т.д. Если m n , то матрица называется квадратной порядка n . В общем виде матрица m n записывается следующим образом: a11 a A 21 ... am1 1 . Суммой двух матриц A aij ... a1n ... a2n ... ... ... am 2 ... amn и B bij одного и того же порядка m n a12 a22 называется матрица C cij порядка m n , где cij aij bij i 1.. m ; j 1.. n . Пример 1. 2 1 4 5 6 2 2 5 1 6 1 3 2 3 4 1 1 3 3 4 3 4 5 5 1 2 3 5 4 1 2 . Произведением матрицы A aij на число 4 2 7 7 6 2 1 4 7 3 . 5 2 8 5 7 называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число : A aij aij i 1..m, j 1..n. Пример 2. 1 2 2 1 2 2 2 4 . 3 4 2 3 2 4 6 8 2 3 . Произведением матрицы A aij , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B bij , имеющую k строк и n столбцов, называется матрица C cij , имеющая mстрок и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i ой строки матрицы A и j ого столбца матрицы B , т. е. cij ai1b1 j ai 2b2 j aik bkj i 1..m, j 1..n . При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В противном случае произведение не определено. Пример 3. 18 3 2 1 3 2 5 3 0 1 2 2 4 3 1 13 13 1 2 3 . 5 4 1 3 3 5 2 0 1 2 3 4 2 1 18 16 1 3 2 0 1 §1.2. Определители. Теорема Лапласа. Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел от 1 до n в каком либо порядке. В общем виде она записывается так i1, i2 , ..., in . (1) Говорят, что в перестановке (1) числа i s и it образуют инверсию, если s t , но is it . Перестановку называют чётной (нечётной), если количество всех её инверсий есть число чётное (соответственно нечётное). Оно обычно подсчитывается так: берём число i1 и находим количество чисел, лежащих правее и меньших i1 , т.е. число инверсий, которое образует i1 с остальными. Затем поступаем аналогично с числами i2 , ..., in 1. Сумма этих чисел и будет количеством всех её инверсий. Например, в перестановке 5, 3, 1, 4, 2 число инверсий равно 7 и поэтому она нечётная. Определителем квадратной матрицы называется сумма всех её правильных произведений, причём каждое из них в этой сумме берётся со знаком «плюс», если соответствующая ему перестановка чётная, и со знаком «минус» – в противном случае. Определитель матрицы A порядка n записывается так: A a11 a21 a12 a 22 ... a1n ... a 2n ... ... ... ... a n1 an 2 ... a nn Если в матрице зафиксировать k различных строк и столбцов, то на их пересечении элементы составят матрицу порядка k , определитель которой называется минором k ого порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть k различных строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и j1 ,..., jk , то определитель, составленный из элементов оставшихся n k строк и столбцов, умноженный на число (1)i1 ... ik j1 ... jk называется алгебраическим дополнением исходного минора k ого порядка. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе k строк. Тогда сумма произведений всех миноров k ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их алгебраические дополнения равна исходному определителю. СЛЕДСТВИЕ. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя на их алгебраические дополнения равна определителю, т.е. n A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aij Aij , при любом фиксированном j 1 i, 1 i n. □ Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны нулю. Непосредственно из определения определителя следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали. Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка. Именно, 19 a11 a21 a12 a11a22 a12 a21. a22 Пример 4. 2 3 4 5 2 5 3 4 2 . a11a12 a13 a21a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a31a32 a33 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 . Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком ‹‹+››, а какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников: Пример 5. 3 2 1 2 3 1 3 3 2 2 1 4 1 2 0 1 3 4 2 2 2 4 0 2 3 1 0 18 8 12 8 22. Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке (или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление определителя n ого сводят к вычислению определителя n 1 ого порядка. При необходимости процедуру повторяют. Пример 6. Вычислить определитель D 1 2 2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 3 1 2 3 . Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко второй, третьей и четвёртой строке, получим 20 D 1 2 3 2 0 4 7 7 0 0 0 6 6 7 0 1 . Распишем определитель по первому столбцу: 4 7 7 D 1 111 0 6 6 7 0 . 1 Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим D 6 12 2 4 7 6 1 228. §1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера. ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A B A B . Пусть A и B матрицы порядка n . Матрица B называется обратной для матрицы A , если AB BA E . Матрица A называется невырожденной, если A 0 . ЛЕММА (к теореме об обратной матрице). (а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная; (б) если обратная матрица для A существует, то она единственна. ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу 1 , где A A11 An1 ... A A11 ... An1 A 1 1 A ............... .............. (4) A A ... A A1n Ann nn 1n ... A A Иными словами, ij ый элемент A1 равен алгебраическому дополнению ji го эле- мента A , деленному на A . Пример 7. 3 1 0 1 1 . Её определитель A 5 , поэтому обратная Дана матрица A 2 2 1 4 матрица A1 существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A : 1 1 2 1 A11 111 5; A12 11 2 10 ; 1 4 2 4 21 A13 11 3 2 1 0; 1 0 4; 1 4 3 1 A23 12 3 1; 2 1 3 0 A32 13 2 3 ; 2 1 3 1 A33 13 3 1. 2 1 A21 A31 5 4 1 1 A22 A32 10 12 3 . 5 A23 A33 1 0 1 2 1 3 0 A22 12 2 12; 2 4 1 0 A31 131 1; 1 1 A11 1 1 Тогда A A12 5 A13 A21 12 1 Линейным уравнением от n неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида a1 x a 2 x 2 ... a n x n b . Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (5) .......... .......... .......... ......... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bn Эта СЛУ состоит из m уравнений от n неизвестных. Матрица A aij , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде x1 b1 x b A 2 2 x b n n (6) СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных m n и основная матрица ее невырожденная. ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение x1 ,..., xn , которое находится по формулам x1 1 , x2 2 ,..., xn n , где определитель основной матрицы СЛУ, а i получается из в результате замены в i го столбца на столбец из свободных членов. Пример 8. Решить систему уравнений 22 x 2y z 1 2 x y z 1 x 3 y z 2. 1 2 1 Решение. 2 1 1 1; 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1; 2 2 1 1 1; 3 2 1 1 0, 2 3 1 1 2 1 1 3 2 1 1 0 т. о. x 1 1; y 2 1; z 3 0. 1 1 1 ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. §2.1. Арифметическое линейное пространство R n . Рассмотрим множество R n всех n ок (строк из n элементов) действительных чисел 1 ,..., n . Введем на этом множестве умножение числа на n ку и сложение n ок так: 1 ,..., n 1 ,..., n , 1 ,..., n 1 ,..., n 1 1 ,..., n n . Ниже n ки будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами a,b,..., возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор 0,...,0 . Числа из R будем обозначать греческими буквами , ,... Множество R n , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или n - мерным векторным пространством. Вектор вида 1a1 ... m a m называется линейной комбинацией векторов a1 , , a m (с коэффициентами 1 ,..., m ). Говорят, что система векторов a1 , , a m является линейно независимой, если для любых чисел 1 ,..., m равенство 1a1 ... n a n влечет, что 1 ... n 0 . В противном случае система векторов a1 , , a m называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов a1 , , a m линейно зависима, если найдутся числа 1 ,..., m , не все из которых равны 0 , но 1a1 ... m a m . Равенство 1a1 ... m a m можно выразить словами: линейная комбинация векторов a1 , , a m с коэффициентами 1 ,..., m равна нулевому вектору. Линейно независимая система порождающих называется базисом R n . Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в 3 : e1 1, 0, 0; e2 0, 1, 0; e3 0, 0, 1. R §2.2. Ранг матриц. 23 Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы. Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы m n как на векторы пространства m (соответственно, n ). Говорят, что подмножество векторов R R L линейного пространства является его подпространством, если для всех выполнены два условия: (а) a, b L a b L ; a, b L и числа (б) a L a L . Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо взять произвольное множество A векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество L всевозможных линейных комбинаций векторов из A образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено векторами A . По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система векторов из A содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг матрицы по строкам. ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу. Пример 1. Найти ранг матрицы 3 1 A 2 2 4 3 1 2 2 2 3 3 2 1 3 1 0 1 . 1 1 Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля. d 3 4 1 2 2. Минор третьего порядка 3 4 3 d / 1 2 2 1, 2 3 3 окаймляющий d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие d / , равны нулю: 3 4 3 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 1 3 1 0; 3 4 3 1 2 2 0 1 2 3 3 1 2 2 1 1 0, т. е. ранг матрицы A равен трём. Назовём элементарными следующие преобразования матриц: перестановка строк (столбцов); домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 24 добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число; вычёркивание нулевой строки (столбца). УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □ УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из k векторов 1, 2 , 3 ,, k ,, n ; 0 , 2 , 3 ,, k ,, n ; 0 ,0 , 3 ,, k ,, n ; 0 ,0 ,0 ,, k ,,n линейно независима. □ В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и будет рангом матрицы. Пример 2. Найти ранг матрицы 1 2 2 2 1 2 3 4 0 6 5 8 . 0 6 5 8 0 6 6 9 3 1 0 4 4 0 . 4 4 3 5 3 1 Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу 3 4 1 2 0 6 5 8 0 0 1 1 ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём. §2.3. Системы линейных уравнений. Общий вид СЛУ задается системой: a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (*) .......... .......... .......... ......... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bn Набор чисел x1,, xn такой, который при подстановке вместо x1 ,, xn , каж- дое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением. Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее 25 решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и несовместной– иначе. Классической является следующая ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной. Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная СЛУ равносильна исходной, если из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0 0 ; обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля; прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число. Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что a11 0 (этого можно всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них сла- a гаемые, содержащие x1 . Для этого, умножаем первое уравнение на 21 и прибавля a11 a ем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на m1 и не приба a11 вим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида a11x1 a12 x2 a1n xn b1 / a22 x2 a2/ n xn b2 / / / am 2 x2 amn xn bm . / Полагаем, что a22 0 (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение вида 0 a и a 0 , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида 0 0 , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид a11x1 a12 x2 a1r xr a1r 1xr 1 a1n xn b1 / a22 x2 a2/ r xr a2/ r 1xr 1 a2n xn b2/ / / / / arr xr arr 1 xr 1 arn xn br . Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число r является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить x r 1 также через x r 1 ,..., x n , и так далее. Наконец получим систему 26 x1 c1 d1r 1xr 1 d1n xn x c d r rr 1 xr 1 d rn xn . r Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения xr 1,..., xn и вычисляя x1, x2 ,..., xr можно получить все частные решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*). Пример 3. Решить систему уравнений x1 2 x2 5 x3 20 x1 x2 3x3 8 3x 3x 13 x 48. 2 3 1 Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: 1 2 5 1 1 3 3 3 13 20 1 8 0 48 0 2 5 20 1 2 5 20 3 2 12 0 3 2 12 . 3 2 12 0 0 0 0 Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной x1 2 x2 5 x3 20 , 3 x 2 x 12 2 3 в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём x3 , и выразим через неё остальные, получим: 11 x1 12 3 x3 . 2 x2 4 x3 3 Полагая, например, x3 3 , получим одно из частных решений системы: x1 1; x2 2; x3 3. Если все свободные члены СЛУ b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой линейных однородных уравнений (СЛОУ). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ. ТЕОРЕМА(о СЛОУ).Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n r некоторых ее частных решений, где n число неизвестных СЛОУ, а r ранг ее основной матрицы. Пример 4. Решить систему x1 2 x2 2 x3 3x4 0 2 x1 3x2 x3 5 x4 0 x x 3x 8 x 0. 2 3 4 1 Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены 27 равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы: 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 . 5 11 2 3 1 5 0 1 0 1 5 11 1 1 3 8 0 1 5 11 Мы пришли к системе уравнений x1 2 x2 2 x3 3 x4 0 x2 5 x3 11x4 0. В качестве независимых выберем две переменные, например x3 , x4 . Выразим остальные переменные через независимые. Получим x1 8 x3 19 x4 x2 5 x3 11x4 . Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид: x1 x2 x3 x4 -8 -5 1 0 19 11 0 1 Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации фундаментальных решений, т. е. общее решение системы x 8,5, 1, 0 19, 11, 0, 1; , R. Поле комплексных чисел. В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости C ( x, y ) : x, y R, каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом: (a, b) (c, d ) (a c, b d ); (a, b) (c, d ) (ac bd , cd bc). Множество C с введёнными операциями сложения и умножения образует поле комплексных чисел. Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь, справедливая при любом расположении точек на плоскости: a r cos , b r sin . Для произвольного комплексного числа имеем: a bi r cos r sin i r cos i sin . Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа 3 i . 2 2 Решение. Здесь a 3 , b 1 . Тогда r 3 1 2 . 3 cos 2 sin 1 2. 11 6 28 Решая систему, получаем 11 . Таким образом 6 11 11 3 1 2 cos i sin . 6 6 Формулы Муавра: r cos i sin n r n cosn i sin n . 4 Пример 8. Вычислить 1 i . 4 Решение. 1 i 2 cos i sin 4 4 Пример 9. Вычислить i . 4 2 4 cos i sin 4. Решение. Найдём тригонометрическую форму числа i : 3 3 i sin . 2 2 3 3 2k 2k 3 3 2 2 i sin cos i sin Тогда cos . 2 2 2 2 3 3 2 2 i sin i При k 0 имеем: 0 cos . 4 4 2 2 7 7 2 2 i sin i При k 1 : 1 cos . 4 4 2 2 Пример 10. Вычислить 3 8 . Решение. В тригонометрической форме 8 8 cos 0 i sin 0 . 2k 2k 3 8cos0 i sin 0 2 cos i sin . 3 3 k 0 : 0 2cos 0 i sin 0 2 ; 2 2 i sin k 1: 1 2 cos 3 i; 3 3 4 4 i sin k 2 : 2 2 cos 3 i. 3 3 i cos 29 Методические указания при решении контрольных работ Контрольная работа № 2 Цель: Формирование навыков выполнения операций над матрицами и вычисления определителей второго, третьего и четвертого порядков; решение СЛУ 5 2 1 7 Задание 1: Найти сумму и разность матриц A 3 0 и B 2 3 . 5 2 0 1 Решение: Здесь даны матрицы одного размера 3 2 , следовательно, суще- ствуют их сумма и разность. Согласно определению алгебраической суммы матриц имеем 2 7 1 5 9 A B 3 2 03 5 5 0 2 1 5 1 5 5 27 A B 3 2 0 3 1 5 0 2 1 5 4 3 , 1 6 3 . 3 Задание 2: Вычислить определители: 1) Решение: 1) По формуле (1) находим 2 7 3 8 2 ; 2) 1 8 4 1 3 5. 2 6 2 7 2 8 7 3 37 . 3 8 2) Разлагая данный определитель, например, по элементам первой строки, находим 2 4 1 3 5 1 5 1 3 4 1 3 5 2 1 2 6 8 6 8 2 8 2 6 2 28 4 46 1 22 218 . Тот же результат получится, если воспользоваться формулой (2): 2 4 1 1 3 5 2 3 6 1 2 1 4 5 8 8 3 1 8 2 6 2 5 2 4 1 6 218 . 3 1 1 Задание 3: Для матрицы A 4 3 1 найти обратную матрицу и проверить, 2 1 0 1 1 что A A AA E . 30 3 1 1 Решение: Так как det A A 4 3 1 3 0 , то матица A имеет обратную 2 1 0 матрицу, элементы которой равны aij1 1 A ji . A Вычислим алгебраические дополнения Aij элементов a ij для det A : 3 1 1 3 4 A13 1 2 1 1 ; 0 3 2 ; 1 3 2 31 1 A31 1 3 1 2 ; 0 1 2 ; 1 A11 1 11 A22 1 2 2 A33 1 3 3 A12 1 1 2 A21 1 2 1 4 1 2; 2 0 1 1 1; 1 0 3 1 1 ; 2 1 3 2 3 1 A32 1 1; 4 1 A23 1 23 3 1 5. 4 3 Теперь, используя формулу (1), находим обратную матрицу 1 1 1 2 3 1 2 A 1 2 2 1 3 3 2 1 5 2 3 1 2 3 3 2 1 . 3 3 1 5 3 3 Далее вычислим произведение 0 1 1 2 3 1 1 3 0 1 1 A A 2 2 1 4 3 1 0 3 0 = 3 3 0 0 3 2 1 5 2 1 0 1 0 0 = 0 1 0 E . 0 0 1 1 Аналогично находим 3 1 1 1 1 2 1 AA 4 3 1 2 2 1 E . Итак, обратная матрица вычислена 2 1 0 3 2 1 5 1 правильно. Задание 4.Решить систему линейных уравнений: 1) используя правило Крамера; 2). методом Гаусса. 31 3x1 x2 x3 12 5 x1 x2 2 x3 3 x x 2x 3 3 1 2 Решение: 1). Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы: 3 1 1 5 1 2. 2 1 1 Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 . a33 3 1 1 Δ 5 1 2 3 1 2 5 11 (1) 2 1 (111 1 2 3 1 5 2) 12 0 2 1 1 Запишем и вычислим вспомогательные определители: 12 1 1 Δx1 3 3 1 1 2 12 1 2 3 11 (1) 2 3 (3 11 1 2 12 3 2 1) 0 ; 2 3 12 1 Δx2 5 1 3 3 2 3 3 2 5 3 1 12 2 1 (1 3 1 3 2 3 2 5 12) 84 ; 2 3 1 12 Δx3 5 1 1 1 Тогда x1 3 3 1 3 5 112 (1) 3 1 (1112 1 3 3 1 5 3) 60 ; 3 x1 0 0 ; 12 x2 x2 84 7 12 ; x3 x3 60 5. 12 2). Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду. 3 1 1 12 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 5 3 5 1 2 3 3 1 1 12 0 4 5 3 0 1 4 4 1 1 2 3 5 1 2 3 0 4 8 3 0 0 3 15 Таким образом, система равносильна системе 32 x1 x 2 2 x3 3 5 3 x 2 x3 4 4 3 x3 15 Находим x3 5 3 5 28 x2 5 7 4 4 4 x1 12 7 5 0 Ответ: x1 0 , x2 7 , x3 5 При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ. Задание 5. Показать, что система имеет единственное решение 2 x 3 y z 13 4 x 7 y 13 x 2 y 5 z 4 Решение: Данная система имеет размер 3 3 (три уравнения и три неизвестных). Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных: 2 3 1 A 4 7 0 . Матрица A квадратная 3 3 . Вычислим определитель мат 1 2 5 рицы , используя формулу его разложения по элементам первой строки: 3 1 2 7 0 4 0 4 7 4 7 0 2 3 1 2 5 1 5 1 2 1 2 5 2 35 3 20 1 1 129 . Так как определитель системы 129 0 , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера: x y y ; z x ; z , где 129 - главный определитель системы; x , y , z вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю . 13 3 1 x 13 7 0 13 7 5 3 0 4 1 13 2 4 2 5 1 7 4 3 13 5 13 0 2 455 26 28 195 258 ; 2 y 4 1 13 13 4 1 0 2 13 5 13 0 1 1 4 4 5 1 13 1 13 4 5 2 0 4 130 16 13 260 387 ; 33 2 z 4 1 3 7 2 13 13 2 7 4 3 13 1 13 4 2 4 13 7 1 3 4 4 2 13 2 56 39 104 91 48 52 0. Отсюда по правилу Крамера имеем: x 258 2; 129 0 z z 0. 129 y x y 387 3 ; 129 Решение системы единственно, это совокупность чисел 2; 3 0 . Контрольная (расчетно-графическая) работа № 3 Контрольная работа охватывает весь учебный материал по разделам математики «Функция. Пределы. Производная». Вариант работы студента определяется следующим образом по таблицам. Складываем последние две цифры зачетки. По полученному числу (четное или нечетное) определяем номер таблицы. После этого определяем вариант по последней цифре зачетки. Например, номер зачетной книжки (студенческого билета) 20145642 Находим сумму 4+2=6 – четное число, значит таблица первая. Вариант – второй (2), следовательно выполнять задания 17 22 36 43 50 64 2 Варианты контрольной работы для студентов, у которых сумма двух последних цифр номера зачетной книжки – четное число (последняя цифра – номер варианта) вариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 19 11 17 12 16 13 10 14 15 18 2 21 27 22 26 23 20 24 25 28 29 Номер задания 3 4 37 42 32 46 36 43 33 40 30 44 34 45 35 48 38 49 39 41 31 47 5 56 53 50 54 55 58 59 51 57 52 6 63 60 64 65 68 69 61 67 62 66 Варианты контрольной работы для студентов, у которых сумма двух последних цифр номера зачетной книжки – нечетное число (последняя цифра – номер варианта) вариант Номер задания 34 1 19 11 15 18 14 12 17 10 16 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 21 25 28 24 22 27 20 26 23 29 3 35 38 34 32 37 30 36 33 39 31 4 48 44 42 47 40 46 43 49 41 45 5 54 52 57 50 56 53 59 51 55 58 6 62 67 60 66 63 69 61 65 68 64 Работа, выполненная не по своему варианту, возвращается без проверки и зачета. Отчет по работе выполняется на отдельных листах и сдается в одном файле преподавателю в указанные сроки. Если не уложились – контрольная не засчитывается, выставляется оценка «ноль» и переписывается во время консультаций по предмету. Условия всех задач необходимо записывать полностью. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения. Перечислим важнейшие из этих требований: а) студенты должны соблюдать абзацы, всякую новую мысль следует начинать с красной строки; б) важные формулы, равенства, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы сделать их более обозримыми; в) при описании решения задачи краткая запись условия отделяется от решения, в конце решения ставится ответ; г) серьезное внимание следует уделять правильному написанию сокращенных единиц величин по Международной системе единиц (СИ); д) необходимо правильно употреблять математические символы. Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно вписывать и сопровождать всеми вычислениями. Чертежи и графики должны быть построены карандашом с использованием чертежных инструментов (циркуля, линейки, угольника), соблюдая масштаб, допускается использование цветных карандашей и гелевых ручек. В конце работы следует проставить дату выполнения работы и подпись. Варианты заданий Задание 1. Найти производные 10. 1) y x3 3x ; sin 3x 4) y arctg 2 5x 3x 3 8x ; 2 2) y arccos 2 5x e x ; 5) y ln 2 cos 2x ; x 2 3) y ctg3 x ; x 6) y tg 2x ln 2x ; 35 11. 12. 1) y arcsin 2 5x x 2 ; 2) y tg3 (sin 2x) 2x ; 4) y ln 3 (sin 8x) ctg 2x ; 5) y sin 3x lg 7x 2 ; 3) y cos 8x arccos 3x x5 ; 6) y arctg 2 3x ; 1) y arccos 2 7 x 3x 1 ; 2) y ctg 2 (cos 2x) 7 x ; 3) y sin 3x arcsin 4x x2 ; 13. 4) y ln 2 (cos 2x) tg 3x ; 5) y cos 3x lg 8x ; 1) y ln3 sin x ; 2) y 4) y sin 3x arctg 14. 1) y sin 3x ln 7x ; x 3 ctg x 2 cos 2x 4) y 2x 15. 16. 1 ; x 1) y 5x x5 ; ; tg 2x 2 arcsin x 2 ; 3) y cos lg 5x ; 3x 5) y arctg 5x 8x 5 ; sin x ; 5) y sin 2x x 3 7 ; 6) y ln 3 2) y ln 5 sin x 8x 2 ; 4 x x4 2x ; sin 8x 5) y x2 1 1) y 2x ; cos 2x 2) y arcsin 2 (ex ) x 3 ; x3 3x ; sin 3x 2 3) y cos5 (ln 7x) ; 1 4) y arctg 3x cos ; x 1) y 6) y 2x 2) y arccos 3x ctg(3x 7) 4) y arctg 2 3x 2x 4 1 ; 5) y ln 2 17. 6) y arcctg 2 8x ; 1 ; x 3) y arccos2 3x ; 6) y arccos2 5x ; sin 3x ; x 1 3) y tg3 x ; x 6) y ctg 3x ln x ; 2 2) y arccos 2 5x e x ; 2 3) y ctg3 x ; x 36 5) y ln 2 4) y arctg 2 5x 3x 3 8x ; cos 2x ; x 6) y tg 2x ln 2x ; 1) y arccos 2 7 x 3x 1 ; 2) y ctg 2 (cos 2x) 7 x ; 3) y 18. sin 3x arcsin 4x x2 ; 5) y cos 3x lg 8x ; 4) y ln 2 (cos 2x) tg 3x ; 1) y ln3 sin x ; 19. 4) y sin 3x arctg 2) y 1 ; x 6) y arcctg 2 8x ; tg 2x arcsin x 2 ; 3x 5) y arctg 5x 8x 5 ; 3) y cos2 lg 5x ; 6) y 2x 2 sin x ; Задание 2. Найти значение третьей производной в точке х0 № Задание х № Задание х0 4 2 у х6 1 х 2 0 2 0 22 1 х х у 23 х 7 у 1 1 у sin( 3x 1) 24 у π 28 1 х4 х у 25 3 х -8 2 у cos( x 3 3x) 6 0 π 5 - 3 у 345 х х 2 1 2 у 3 /3 26. -2 2 1 25 х2 у x 5 cos x 2 7 1 9 Задание 3. Найти область определения функции № варианта Задание 0 32 34 x2 1 f ( x) 3 x 1 f ( x ) log 3 ( x ) ln x f ( x) x2 2 36 f ( x ) sin 3 3 f ( x) 1 x 2 x 2 7 x 10 № варианта 31 33 35 Задание f ( x ) x 2 tgx f ( x ) log 3 ( x ) 2 х ln x f ( x) x2 2 1 x 2 37 f ( x ) cos 39 f ( x ) 4 х 2 7 х 10 37 8 Задание 4. Провести исследование функции и построить ее график № Задание 2x 1 x2 40. f ( x) 42 x2 1 9 x2 6x 2x2 f ( x) 4 x2 4x 1 f ( x) 1 x2 f ( x) 44 46 4 8 f ( x) № 41 43 45 47 x2 2x 2 x 1 49 Задание x2 1 f ( x) 1 x2 f ( x) x 1 x ( x 1) 2 1 x2 x3 f ( x) 2(1 x) 2 f ( x) f ( x) х 4 3 Задание 5. Для данной функции: найти точки разрыва, скачок функции в каждой точке разрыва, сделать чертеж № 5 0 5 2 5 4 5 6 Задание e x , x 0 1 f x , 0 x 2 x 2 x 1, x 2. 2, x 1 f x 1 x, 1 x 0 ln x, x 0. x 1, x 0 f x sin x, 0 x 3, x . sin x, x 0 f x x, 0 x 2 2 x 1, x 2. № варианта 5 x2 , x 1 f x 2, x 1 log x, x 1. 0,5 5 1 2x , x 0 f x x 3 , 0 x 2 x 4, x 2. 5 1, x 0 f x 2 x , 0 x 2 x 3, x 2. 5 x 2, x 3 f x 0, 3 x 0 x , x 0. 1 3 5 7 Задание 38 1 x , x0 f x x 2 , 0 x 3 2 x 1, x 3. 5 8 5 9 x 2, x 1 f x x 2 1, 1 x 0 1 , x 0. x Задание 6. Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы: x 1 x 2 1 ln x 60. lim ; lim x x1 e e x1 3 x 1 ex e 61. lim sin x x ; lim x0 x1 x2 1 ln x ln(1 x) x sin x ; lim x0 e x e x x3 1 x 63. lim xctgx ; lim 1 x0 x0 x 62. lim x0 1 1 ln(1 x) 64. lim ; lim x x0 x e x 1 x0 1 1 65. lim ; x1 x 1 ln x x3 x 2 x 1 lim x1 x3 3x 2 x sin x xe 2 66. lim x ; lim x e x x0 sin11x 68. x3 8 cos x lim 2 x ; lim x / 2 x2 x 2 1 2 x 2 х3 67. lim x2 ln x ; lim x 4 3х х 2 x0 1/ х 69. lim x 2 x x x3 3х2 2 ; lim x1 х3 4 х2 3 ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ (частичный) 1. Найти производные f ( x) 9 3 х 2 5 х 1 , f ( x ) х 4 х 3tgx 1 39 Предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, стремящегося к нулю, называется производной функции в данной точке. Вычисление производной можно провести по определению или по правилам дифференцирования. Используем правила дифференцирования. 2 1. Преобразуем функцию к виду f ( x ) 9 х 3 5 5х Используя таблицу производных, получаем f ( x ) (9 х 2 3 2 2 2 2 3 1 х х 3 5 5 ) 9 х 5 5 9 х 5 5 9 х 3 5 5х ln x 6 x 2. х 5 3 5x 1 ln 5 Воспользуемся u v u v u v f ( x ) х 4 х 3tgx 1 формулой для производной произведения x 4 x 3tgx 1 x 4 x 3tgx 1 4 x 3 1 3tgx 1 x 4 x 3 cos2 x 2. Найти значение третьей производной в точке х0 y sin 3 2 x , х0=π Данная функция является сложной функцией. Во первых, это степенная функция (степени 3), во-вторых, это тригонометрическая функция (sin), втретьих, это сложный аргумент (2х). Тогда, производная от данной функции есть композиция выделенных функций y (sin 3 2 x) sin 3 2 x sin x 2 x 3sin 2 2 x cos 2 x 2 y (3 sin 2 2 x cos 2 x 2) 6 sin 2 2 x cos 2 x 6 sin 2 2 x cos 2 x sin 2 2 x cos 2 x 6 2 sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x sin 2 2 x sin 2 x 2 64 sin 2 x cos2 2 x 2 sin 3 2 x y (6 4 sin 2 x cos2 2 x 2 sin 3 2 x ) 64 sin 2 x cos 2 2 x 2 sin 2 2 x 24 sin 2 x cos 2 2 x sin 2 x cos 2 2 x 2sin 2 2 x 24 cos 2 x 2 cos 2 2 x sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x 2 2 2 sin 2 x cos 2 x 2 24 2 cos3 2 x 4 sin 2 2 x cos 2 x 4 sin 4 x y( x0 ) (sin 3 2 x)x0 y 24 2 cos3 2 4 sin 2 2 cos 2 4 sin 4 24 2 12 4 0 1 4 0 48 3. Найти область определения функции Область определениея функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл. 40 Логарифмическая функция имеет смысл, если x 0 x 0 отсюда x 1 x 1 6 x 0 x 6 0 6 Таким образом, x 0;6 4. Провести исследование функции и построить ее график y 1 x 1 2 1. Область определения D( x ) : x 2 1 0 , x 2 1, x 1. Таким образом, D(x) ;1 1;1 1; 2. Множество значений Множество значений функции – это множество ограничений на у. E( y) ; 3. Четность, нечетность y( x) y( x) функция четная , y( x) y( x) функция 1 1 y х 2 у( х) 2 ( x) 1 х 1 нечетная Функция четная, значит её график симметричен относительно оси ОУ. 4. Периодичность y( x Т ) y( x) функция периодичная 1 y х Т у( х) ( x Т )2 1 Функция непериодическая. 5. Монотонность 1 11 1 1 2 2 2 y 2 2х (х 1 ) 1 х 1 х 1 2 х 1 х 12 у 0 х 2х 2 1 2 2 х 0 2 х 1 0 0, + -1 + 2х 0 х 0 0 - 1 - х 41 Функция возрастает на промежутках ;1 1;0 , убывает 0;1 1; . Точка х=0 – точка максимума Тогда наибольшее значение функции у ( 0) 1 1 0 1 2 6. Выпуклость 2 2 2 2 1 2х 2 х х 2 1 2 х х 2 1 2 х 2 1 2 х 2 х 2 1 х 2 1 y 2 2 ( х 2 1) 4 х 2 14 ( х 1) 2 х 2 1 4 х х 2 1 2 х 2 y 0, х 2 1 4 х 2 1 2 х 2 1) 8 х 2 х 2 1 4 2 х 2 2 8х 2 х 2 1 3 6х2 2 х 2 1 6 х 2 2 0 0 2 6 х 2 2 (не имеет решения). 3 2 х 1 х 1 0 6х2 2 Значит, точек подозрительных на перегиб нет. + -1 1 + х ᷃ ∩ ᷃ Функция выпукла на (-1;1), на остальных промежутках вогнута. 7. Асимптоты х 1 вертикальные асимптоты (из области определения функции) 1 1 0 , значит у=0 –горизонтальная асимптота lim 2 x x 1 1 1 1 1 k lim 2 lim 3 0 , значит наклонных асимптот нет. x x 1 x x x x 8. Дополнительные точки Найдем точки пересечения графика с координатными осями. Ох: у=0, 1 0 - не существует, значит график не пересекает ось Ох. x 1 2 Оу: х=0, у=-1 9. График 42 3 Контрольная работа № 4 Тема «Неопределенный интеграл. Методы вычисления» Цель: закрепить понятие неопределенного интеграла и методов их вычисления. Работа выполняется на отдельном листе. В работе должны быть представлены: - формулировка задания; - основные определения, используемые при решении; - промежуточные вычисления; - выводы. Номер варианта определяется по списку студентов в журнале старосты. Варианты заданий 1. Вычислить неопределенный интеграл используя таблицу интегралов и основные свойства интегрирования. № варианта 1. 3. Задание 1 х 3 3 5 x 8 cos 2 x dx х 9 № варианта 2. 2 3 2 7 dx x 4. Задание 11 x 3 tg2 x dx x 7 1 2 1 3x dx 4 tg 2 x 2 1 x x 2 43 x2 4x 6 7 x dx 12 10 3 x 4 x3 x 2 7 dx 6. 9. 3 x 2 2 6 x dx 10. 7 9 x2 2 9x 11. 8 11 х 4 3 х3 х 2 8 dx 12. 7 13. x 45 x 2 1 dx 4 x 14. x 4 dx 16. 5. 7. 15. 17. 19. 21. 23. 25 27. x 2 1 2 х 52 dx 18. 1 20. 3 х 3 х7 7 cos 3x dx х 16 2 2 х 3x 2 1 dx 3x 3x 2 1 dx х 8 4 cos x dx х 0,7 x dx 0,2 0,5x dx 0,1 7 x2 x2 dx 2 5х 7 11 x dx 2 x 2 5x 6 7 x dx 2 7 dx x 3 5 1 3x dx 4 tg 2 x 2 1 x x 2 24. x2 4x 6 7 x dx x4 4 x2 6x 5x3 dx 26. x 3x 3x 2 1 dx 7 9 x2 2 9x 31. х 8 7 х 4 cos x dx 35. 22 29. 33. 8. x4 4 x2 6x 5x3 dx 0,7 x 0,1 0,2 0,5x dx 7 x2 x2 dx dx 28. 30. 32. 34. 36. 12 x 3 10 4 x3 3 dx x 7 2 8 11 х dx 4 3 2 х3 х 8 5 x 4 x2 1 dx 4 x x 2 1 x 4 dx 2 х 52 dx 3 х7 3 x 2 2 6 x dx 44 2. Вычислить неопределенный интеграл, применяя или метод замены, или интегрирование по частям. Используйте таблицу интегралов и основные свойства интегрирования № варианта 1 2 3 Задание 6 7 8 2 x 1 e 19 20 х sin xdx 2 x 3 cos xdx 21 8 cos 4 5 sin 4 dx ln x dx x2 22 x2 23 3x 2 5x 7 e x 2 x dx ln xdx 24 27 10 28 11 x sin 5xdx 29 x6 7 dx x 30 dx x e x dx ln xdx x4 3 2 e x sin xdx 2 x 3 cos xdx х sin xdx 2 x 3 cos xdx 31 14 ln x x 2 dx 32 x2 33 3x 2 16 17 18 5x 7 e x 2 x dx 2 x 1 e 8 cos 4 5 sin 4 dx 2 x dx 1 4 ln xdx 3x dx х sin xdx 34 35 36 dx x dx 1 4 13 15 dx 4 x 1 e x dx 2 26 ln 5 x dx x x2 dx 3 x2 1 x5 x 1 25 3x 2 4 1 х2 х 2 dx x 2 x 4dx 9 12 Задание sin x cos x 1 dx x5 x 6 7 dx 4 5 № варианта x 2 dx 4 x 1 e x dx x5 x6 7 dx 2 x 3 cos xdx 3. Вычислить неопределенный интеграл от рациональной функции. № варианта Задание № варианта Задание 45 3х 5 1 х 2х 7 dx х2 2 х 1х 12 dx 4х 1 х 2х 3 dx 2 3 4 5 6 7 8 х2 х х 2 2 х 5х 1 dx 2х 3 х 52 dx 2х 4 х 2 х 2 dx х3 х 2 4 х 5 dx 3х 4 19 20 21 22 23 24 25 х 1 х dx 26 8х 3 dx 4х 5 2х 5 х 2 1х 2 1 dx 27 2 х 2 3х 3 х 2 2 х 5х 1 dx х 1 х 3 х 2 4 dx 29 13 2 х 2 11 х 2 х 6 dx 31 14 х4 х 2 1х 2 dx 1 х 3 1 dx 6х 1 х 2 2 х 8 dx 5х 7 х 3х 4 dx 32 3х 2 х 10 х 4х 2х 1 dx 36 2 9 10 11 12 15 16 17 18 х 2 28 30 33 х 1 х 3х 2 4 dx 2 х 2 11 х 2 х 6 dx х4 х 2 1х 2 dx 1 х 3 1 dx 6х 1 dx 2х 8 5х 7 х 3х 4 dx х 2 3х 2 х 10 х 4х 2х 1 dx х3 х 2 6 х 16 dx 7х 9 х 3х 4 dx 2х 3 х 1х 2 dx х2 2 х 1х 12 dx 4х 1 х 2х 3 dx х2 х х 2 2 х 5х 1 dx 2х 3 х 52 dx 2х 4 х х 2 dx 2 34 х3 х 4 х 5 dx 3х 4 х 12 х dx 2х 4 х 2 х 2 dx 2 35 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми в декартовых координатах (сделать чертёж) 1. линиями у 2 х 2 3 и у=4х+3; 46 2. линиями у х 2 1 и у=2х+4; 3. линиями у 3х 2 1 и у=-6х-8; 4. линиями у 2 х 2 7 и у=-4х+1; 5. линиями у 5х 2 3 и у=10х+18; 6. линиями у 2 х 2 4 и у=-4х-2; 7. линиями у х 2 4 и у=-2х+1; 8. линиями у х 2 6 и у=-2х+3; 9. линиями у 2 х 2 4 и у=4х+2; 10.линиями у 3х 2 3 и у=6х+12; 11.линиями у 2 х 2 3 и у=4х+3; 12.линиями у х 2 1 и у=2х+4; 13.линиями у 3х 2 1 и у=-6х-8; 14.линиями у 2 х 2 7 и у=-4х+1; 15.линиями у 5х 2 3 и у=10х+18; 16.линиями у 2 х 2 4 и у=-4х-2; 17.линиями у х 2 4 и у=-2х+1; 18.линиями у х 2 6 и у=-2х+3; 19.линиями у 2 х 2 4 и у=4х+2; 20.линиями у 3х 2 3 и у=6х+12; 21.линиями у 2 х 2 3 и у=4х+3; 22.линиями у х 2 1 и у=2х+4; 23.линиями у 3х 2 1 и у=-6х-8; 24.линиями у 2 х 2 7 и у=-4х+1; 25.. линиями у 5х 2 3 и у=10х+18; 26.линиями у 2 х 2 4 и у=-4х-2; 27.линиями у х 2 4 и у=-2х+1; 28.линиями у х 2 6 и у=-2х+3; 29.линиями у 2 х 2 4 и у=4х+2; 30.линиями у 3х 2 3 и у=6х+12; ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ 1. Вычислить неопределенный интеграл используя таблицу интегралов и основные свойства интегрирования. (4 x sin x 1)dx . Решение: Согласно свойствам интеграл примет вид: (4 x sin x 1)dx 4 xdx sin xdx dx 4 xdx sin xdx x C . 3 По таблице интегралов находим: 47 1 xdx 2 x 2 C1 . sin xdx cos x C . 2 Следовательно, 1 (4 x sin x 1)dx 4 2 x ( cos x) x (C1 C2 C3 ) 2 x 2 cos x x C. 2 Ответ: (4 x sin x 1)dx 2 x 2 cos x x C. 2. Вычислить неопределенный интеграл, применяя или метод замены, или интегрирование по частям. х 2 х 2 х dx 1 х е dx х х dx Используем метод замены 1 = х 2 1 t, x 2 t 1 1 dt 1 dt 1 1 1 x 2 t 1 2 ln t C ln x 2 1 C ln x 2 1 C t 2 t 2 2 2 1 2 xdx dt , xdx dt 2 х 1 Ответ: 2 dx ln x 2 1 C х 1 2 х е dx udv uv vdu х = Используем u x, du x dx dx dv e dx, v e dx e x x x метод интегрирования по частям x e x e x dx x e x e x C Ответ: х е х dx x e x e x C Вычислить неопределенный интеграл от рациональной функции. 3) х 2 5x 2 x 2 1x 1 dx Подынтегральная дробь правильная, однако ее знаменатель не до конца разложен на множители. Сначала преобразуем знаменатель: x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 Тогда имеем x 2 5x 2 x 2 5x 2 x 2 1x 1 x 1x 12 48 Представим дробь в виде суммы простейших дробей x 2 5x 2 A B C Найдем А, В. С. 2 x 1x 1 x 1 x 1 x 12 x 2 5x 2 A B C A x 1 B x 1 x 1 C x 1 2 2 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 12 2 Две дроби равны, если равны числители и знаменатели. Знаменатели равны, тогда приравняем числители x 2 5x 2 Ax 2 2 x 1 Bx 2 1 C x 1 Ax 2 2 Ax A Bx 2 B Cx C x 2 5x 2 A B x 2 2 A C x A B C Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. В равенстве стоят многочлены второй степени. x2 1 A B x1 5 2 A C 0 x 2 A B C 1 A B 1 A B 2 1 складываем 2 4 A, A 5 2 A C 4 2 3 3 A B 2 A B C 1 1 3 Подставляем во вторую систему находим В: 1 B, B 1 2 2 2 1 Подставляем в первую систему, находим С: 5 2 С , С 5 1 6 2 1 3 Итак, А , В , С 6 . Подставляем в разложение через простейшие 2 2 дроби 1 3 x 5x 2 6 2 2 2 x 1x 1 x 1 x 1 x 12 2 Имеем x 5x 2 2 x 1x 1 2 dx 1 3 2 dx x 2 1 dx x 1 6 1 dx 3 dx dx dx 6 2 2 x 1 2 x 1 x 1 x 12 x 1 C 1 d ( x 1) 3 d ( x 1) 1 3 2 6 x 1 d ( x 1) ln x 1 ln x 1 6 2 x 1 2 x 1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 ln x 1 ln x 1 6 C 2 2 x 1 x 2 5x 2 1 3 1 dx ln x 1 ln x 1 6 C Ответ: 2 2 2 x 1 x 1x 1 49
