Банк задач по интегральному исчислению

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»
* Изменить порядок интегрирования
4
2 y
2
4 y y
6
2 y
4
0
f  x, y dx   dy
 dy 
2
y  x 2 , y  0 , x  1,
* Найти площадь плоской области, ограниченной линиями
x  2.
* Вычислить

x
  3  arcctg y dxdy , где
 f x, y dx .
(D) – область, заданная неравенствами
( D)
x 2  y 2  1, x 2  y 2  9 , y  0 , y  x .
2
2
* Найти массу тела, ограниченного поверхностями z  2  4  x  y , x  y  2 ,
x  0 , y  0 , z  0 , если плотность распределения массы

 ( x, y, z)  2  4  x 2  y 2
* Изменить порядок интегрирования

1
.
6
y2 / 8
8
6 y / 4
4
y/2
6
y/2
 dy  f x, y dx   dy  f x, y dx .
2
* Найти массу плоской области, ограниченной линиями xy  1 , y  x , y  4 , если
плотность распределения массы
 ( x, y )  2 x .
x  0,
* Найти площадь плоской области, заданной неравенствами
y
x
,
3
x2  y2  4 y .
* Найти массу тела, ограниченного поверхностями z  y  a , z  y  a , x  a , x  0 ,
z  0 , если плотность распределения массы  ( x, y, z )  x .
2
2
* Найти объем тела, ограниченного поверхностями z  5  16  x  y , z  5 ,
y  0 ( y  0 ).
* Найдите среднее значение функции y  1   x  1
геометрическую иллюстрацию.
2
2x 2  x  4
 x 3  x 2  4 x  4 dx .
sin x
dx .
* Найдите интеграл 
cos3 x
5
* Найдите интеграл  cos xdx .
* Вычислите интеграл
ln cos x 
dx .
sin 2 x
e 3 x dx
* Найдите интеграл  x
.
e 2
4
* Найдите интеграл  tg xdx .
* Найдите интеграл

на отрезке [0,3]. Сделайте
* Запишите любую интегральную сумму Римана для функции y  sin x на отрезке
 3 
0, 2   , если n  3 .
*
Переходя

к
полярным
координатам,
вычислите
двойной
интеграл
a  x  y dxdy , где область D ограничена окружностью x  y  ax .
2
2
2
2
2
D
*
Определите
объём
тела,
ограниченного
az  x 2  y 2 ,
поверхностями
2az  a 2  x 2  y 2 .
1/ 2
dx
 x ln 2 x .
0
2
2
2
2
2
* Вычислите интеграл   x ydx  xy dy , где   окружность x  y  R ,
* Исследуйте на сходимость интеграл

пробегаемая против часовой стрелки.
* Вычислите объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой
y  2 x  x 2 и осью абсцисс, вокруг оси ординат.
* Не вычисляя интегралы I 1   e
x2
0
0
9
x
Найдите
массу
тела,
3 x  / 2
1
0
2
dx и I 2   e x dx , сравните их по величине.
4
*
3
 dx  f x, y dy   dx  f x, y dy .
* Измените порядок интегрирования
9
1
4
ограниченного
x 2  y 2  z / 5 , x  0 , y  0  x  0,
поверхностями
x 2  y 2  z 2 / 25 ,
y  0 , если   x, y, z   14 yz .

* Найдите объём тела, ограниченного поверхностями z  2  12 x  y





2
поле образовано силой F  x  y i  2 xy  8 j .
sin x
* Найдите интеграл 
dx .
1  2 cos x
2
2
, z  24 x  2 .
* Найдите объём тела, ограниченного цилиндром 2 z  x и плоскостями z  0 , y  0 и
3x  2 y  12 .
2
* Определите массу пирамиды, образованной плоскостями x  y  z  a , x  0 , y  0 ,
z  0 , если плотность в каждой точке её равна аппликате этой точке.




* Найдите циркуляцию векторного поля a  zi  y j  xk
x  2 cos t ,
y  2 sin t ,
2
вдоль контура  :
z  2 cos t в сторону возрастания параметра t.
e2 1
* Вычислите определенный интеграл
1  ln( x  1)
dx .
x

1
e 1

16
* Вычислите интеграл

256  x 2 dx .
0
* Найдите площадь области, ограниченной линиями
y  ( x  2 )3 , y  4 x  8 .
* Найдите длину дуги кривой
x  5(t  sin t ), (
 y  5(1  cost ) 0  t   ).

* Найдите несобственный интеграл или установить его расходимость
0
dx
.
2
x

x

1


* Найдите несобственный интеграл или установить его расходимость
3
dx
.
2
x

5x
0

3
x
 cost dt
2
* Вычислите предел lim
x0
0
x
* Вычислите определенный интеграл
1
x 2 1
dx .
3
x

3
x

1
0

* Вычислите определенный интеграл
1
x
2
 1  x 2 dx .
0
* Найдите площадь области, ограниченной линиями
y  x 9  x2 ,
y  0 (0  x  3).
* Найдите длину дуги кривой
 x  32 cost  cos2t ,
0  t  2 .



y

3
2
sin
t

sin
2
t
,

* Найдите несобственный интеграл или установить его расходимость:

dx
x x
2
.
1
* Найдите несобственный интеграл или установить его расходимость:
6
x
3
2
dx
.
 7x  10
* Линейная плотность тонкого неоднородного стержня АВ длиной 5 см определяется по
формуле (x) = 10x + 2, где x  длина стержня, отсчитываемая от точки А. Найдите
массу стержня.
* Пластинка D задана ограничивающими её кривыми x  y  1 , x  y  16 , x  0 ,
2
2
2
2
x  3y
. Найдите массу пластинки.
x2  y2
3
3
* Найдите длину дуги астроиды x  a cos t , y  a sin t .
y  0 . Поверхностная плотность  x, y  
*
Вычислите
R x
2
R
 dx 
R
тройной
dy
интеграл,
R x  y
2
2
2
2
 x
 R2  x2
2
переходя
к
сферическим
координатам

 y 2 dz .
0
1
* Вычислите интеграл
x
2
1  x 2 dx .
0
* Пластинка D задана ограничивающими её кривыми x  y  9 , x  y  25 ,
2
x  0,
y  0 . Поверхностная плотность  x, y  
2
2
2
2y  x
. Найдите массу
x2  y2
пластинки.
* Измените порядок интегрирования в двойном интеграле
3
* Вычислите интеграл

dx
1
2 y
0
y
 dy  f x, y dx .
.
x  x3
1 2 1
* Найдите длину кривой x  y  ln y от точки y  1 до точки y  e .
4
2
1
* Найдите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y  sin x , y 
*
Вычислите



2

x , вокруг оси OX.
несобственный
интеграл
или
установите
его
расходимость
dx
.
x 2  4x  9
* Вычислите интеграл
* Вычислите интеграл
3x  2
 x 2  8 x  17 dx .
 2 xy  y dx  x
2
dy , где L  окружность x 2  y 2  4 .
L

* Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость
dx
1
.
x
2
* Вычислите тройной интеграл, переходя к сферическим координатам  xyzdxdydz , где
V 
 x  y  z  1, x  0, y  0, z  0,
V: 
 x  0, y  0, z  0 .
2
2
2
1
* Не вычисляя интегралы, выясните, какой из интегралов больше I 1   x sin xdx или
2
2
0
1
I 2   x sin 2 xdx (ответ обосновать).
0
* Вычислите объём тела, ограниченного поверхностями y  x , y  2 x , z  0 ,
z  x  9.
* Найдите объём тела, образованного вращением одной арки синусоиды y  sin x вокруг
оси OX.
* Определите массу тела, ограниченного поверхностями x  y  z  0 и z  h , если
плотность в каждой точке равна аппликате этой точки.
2
2
2

* Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость

0
xdx
4x
2

1
3
.
* Используя свойство определённого интеграла с переменным верхним пределом
 e  1dt
x
интегрирования, вычислите lim
0
x 0
*
Вычислите
2
2 x x
0
0
 dx
2

тройной
интеграл,
.
x3
переходя
к
цилиндрическим
координатам
a
dy  z x 2  y 2 dz .
0
 2  x   x
1
* Интеграл
t2
3
dx

определяет площадь. Постройте соответствующую
0
геометрическую фигуру.
* Вычислите тройной интеграл
 x
2
 x 2  y 2  2 z,
 y 2 dV , где V: 
z  2.


V 
* Найдите площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t-sint),
y = a(1-cost).
* Найдите площадь части гиперболического параболоида az  xy , заключенной внутри
цилиндра x  y  a .
2
2
2

2
* Оцените интеграл J   e
sin 2 x
dx .
0
* Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y2 – 4y + x2 = 0,
y2 – 10y + x2 = 0, y  x / 3 , y  3 x .
* Найдите среднее значение функции f ( x)  sin x на отрезке [0, ].
2
*
Найдите
объём
тела,
ограниченного
цилиндром
плоскостями и плоскостью 3х+ у =12  y  0  .
z  9  y 2 , координатными
* Используя свойство определённого интеграла с переменным верхним пределом
 e
x
интегрирования, вычислите предел lim
С
I1 
помощью
 x  y 
2
формулы
Грина
 1 dx
0
.
2x 3
x 0
*

x2
вычислите
dx  x  y  dy и I 2 
2
AmB
разность
 x  y 
2
между
интегралами
dx  x  y  dy , где AmB 
2
AnB
отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(1,1), а AnB  дуга параболы y  x .
2
* Вычислите интеграл
xdx
 sin 2 x .
* Определите массу тела, ограниченного поверхностями x  y  z  0 и z  h , если
плотность в каждой точке равна аппликате этой точки.
2
2
 1 и  
* Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя окружностями
(вне окружности
2
  1 ).
* Составьте сумму Римана для функции f  x    x  1
2
отрезок на 4 равные части и выбирая в качестве
* Расставьте пределы интегрирования в интеграле
2
cos
3
на отрезке [-1,3], разделив
 i правые концы отрезков разбиения.
 f  x, y dxdy по области D,
D 
ограниченной линиями y  x , y  x  3 , y  2 x  1 , y  2 x  5 .
2
2
* Найдите массу плоской области, ограниченной линиями y  x , x  y , если
плотность распределения массы
 ( x, y)  xy .
* Вычислите интеграл
 1  x
2
 y 2 dxdy , где (D) – область, заданная
( D)
2
2
неравенствами ( x  3)  y  9 , y  0 .
2
* Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z  y , y  z  2 , x  0 , x  4 .
* Найдите объем тела, ограниченного поверхностями
z  6  ( x 2  y 2 ) , z 2  x 2  y 2 ( z  0 ).
* Найдите длину дуги кривой (l ) : x  e
t
cos t , y  e  t sin t , z  e  t , где 0  t  3 .
* Найдите длину дуги кривой (l ) : x  2(cost  t sin t ) , y  2(sin t  t cost ) , где
0  t  2 .