момент инерции

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Определение момента инерции
Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина,
равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до
рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном
движении
n
I   mi ri 2
i 1
.
(1)
Суммирование производится по всем элементарным массам mi , на которые можно
разбить тело.
Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме
моментов инерции его частей.
Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс
I   r 2 dm    r 2 dV
,
(2)
где ρ - плотность тела в данной точке; dm=ρ dV - масса малого элемента тела
объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.
Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины ρ и r являются
функциями точки (например, декартовых координат х , у и z).
Момент инерции сплошного цилиндра
Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно
малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции
2
каждого полого цилиндра dI  r dm , ( dr  r ), объем элементарного цилиндра
2πrh dr, его масса dm = 2πrhρ dr и dI=2πhρr3 dr (ρ - плотность материала). Момент
R
1
I   dI  2h  r 3 dr  hR 4
2
0
инерции сплошного цилиндра
.
2
2
Поскольку R h - объем цилиндра, его масса m  R h , а
1
I  mR 2
2
.
(3)
Теорема Штейнера
Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его
инерции Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела,
сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями.
𝐼 = 𝐼𝑐 + 𝑚𝑎2
(4)
Моменты инерции однородных тел
Тело
Полый
Положение оси вращения
Момент
инерции
тонкостенный Ось симметрии
𝐼 = 𝑚𝑅2
цилиндр радиуса R
Сплошной цилиндр или Ось симметрии
диск радиуса R
тонкий Ось перпендикулярна стержню и
проходит через его середину
стержень длиной l
1
𝐼 = 𝑚𝑅2
2
Прямой
Шар радиуса R
Ось проходит через центр шара
тонкая Ось проходит через центр пластины
перпендикулярно ее плоскости
пластинка со сторонами
𝐼=
1
𝑚𝑙 2
12
2
𝐼 = 𝑚𝑅2
5
Прямоугольная
аиb
𝑚(𝑎2 + 𝑏 2 )
𝐼=
12
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Тело вращается вокруг неподвижной оси z . Мысленно разбиваем это тело на
элементарные массы m1 , m2 , ..., mi , ..., находящиеся на расстоянии r1 , r2 , ..., ri , ... . При
вращении твердого тела элементарные объемы массами mi опишут окружности
радиусов ri .
Кинетическая энергия i -й элементарной массы
mi  i2 mi  2 ri 2
Eк i 

2
2 .
(5)
Линейная скорость элементарной массы mi равна
 i   ri (угловая скорость
вращения всех элементарных объемов одинакова).
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
Ек в р

Учли, что
i
ri
 const
mi  2 2  2

ri 
2
2
i 1
n
n
m r
i 1
2
i i
(6)
, I z - момент инерции тела относительно оси z
I z 2
Eк вр 
2 .
(7)
I z 2
m 2
Ек 
Ек 
2 и вр
2 следует, что момент инерции – мера
Из сравнения формул
инертности тела при вращательном движении.
Плоское движение твердого тела
Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в
параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить
как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на
поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов,
отличающихся
значениями
скорости
поступательного
движения,
но
соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об
угловой скорости вращения твердого тела, не указывая через какую точку
проходит ось вращения. Тогда формула для скорости 𝒗 точек относительно
⃗ =𝒗
⃗ 𝒄 + [𝝎
⃗⃗⃗ 𝒓
⃗ ],
неподвижной системы отчета будет иметь вид: 𝒗
где
𝒗𝒄
-
скорость
центра
масс

тела,
-
угловая
скорость
тела.
Кинетическая энергия тела при плоском движении – складывается из энергии
поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии
вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Ек 
m с2 I с 2

2
2
(8)
,
где m - масса тела;
его центр масс.
Iс
- момент инерции тела относительно оси, проходящей через
МОМЕНТ СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент силы
Момент силы относительно неподвижной точки O - физическая величина,

определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из

точки O в точку A приложения силы, на силу F
 
M  rF
 

M - осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением


поступательного движения правого винта при его вращении от r к F .
Модуль вектора момента силы
M  F r sin  F l
,
(9)


где  - угол между r и F , r sin  l - кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой O - плечо силы.
Момент силы относительно неподвижной оси z - скалярная величина M Z , равная

проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно
произвольной точки O данной оси z .
Значение момента M Z не зависит от выбора положения точки O на оси z .Если ось

z совпадает с направлением вектора M , то момент силы представляется в виде
вектора, совпадающего с осью:
 

M z  r F 
  z
.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Сила F приложена к точке B , находящейся от оси на расстоянии r ,  - угол

между направлением силы и радиусом-вектором r (смотри рисунок 6). Так как
тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот
всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол d точка B приложения силы
проходит путь r d и работа равна произведению проекции силы на направление
смещения
на
величину
смещения:
d A  F sin r d .
Учитывая,
что
M Z  F r sin   F l , получаем
d A  M Z d
(10)
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
M Z  IZ  .
(11)
Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции
тела относительно той же оси на угловое ускорение.
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:
d A  M Z d ,
MZ
 IZ 2 
d Ек  d 
  I Z  d
2


.
Тогда
d A  d Eк вр
M Z d  I Z  d ,
,
или
d
d
d
 IZ 

dt
d t . Так как угловая скорость
d t , то M Z  I Z  .
Момент импульса
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки O 
r
физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора i


p

m

O
i
i
i
материальной точки, проведенного из точки
, на импульс
этой
материальной точки


 

Li  ri pi   ri mi  i 
(12)
Модуль вектора момента импульса
Li  ri pi sin   mi  i ri sin   pi l

,

(13)
где α – угол между векторами ri и p i ; l  r sin  - плечо импульса. Перпендикуляр
опущен из точки O на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Li - осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением


r
p
i
поступательного движения правого винта при его вращении от
к i.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z скалярная
величина
равная
L iz,
проекции
на
эту
ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O
данной оси z.
Значение момента импульса L iz не зависит от положения точки О на оси z.
Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела
Li Z  mi  i ri .
(14)
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая
отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой



скоростью  i . Скорость  i и импульс mi  i перпендикулярны этому радиусу, т. е.

радиус — плечо вектора mi  i . Тогда момент импульса отдельной частицы
Li Z  mi  i ri и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси.
n
LiZ   mi vi ri
i 1
,
(15)
равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую
скорость
LZ  I Z 
Учтем, что  i   ri
.
(16)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
LZ   mii ri   mi ri 2    mi ri 2  I Z 
,
где I Z - момент инерции тела относительно оси z,  – угловая скорость.
Аналогия в описании поступательного и вращательного движений
Поступательное движение
Масса
Момент инерции
I

Угловая скорость

d

dt

 d
a
dt
Угловое ускорение

d

dt
m

dr

dt
Скорость
Ускорение

F
Сила
Основное
Вращательное движение
уравнение
динамики
Работа
Кинетическая энергия
Основное
 dp
F
dt
динамики
dA  Fs ds
m 2
2


M
Момент силы


F  ma

уравнение
Работа
Кинетическая энергия
M Z  IZ 

 dL
M
dt
dA  M Z d
I Z 2
2
Закон сохранения момента импульса
Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого
тела - производная момента импульса твердого тела относительно оси равна
моменту силы относительно той же оси
dLZ
 MZ
dt
.
Продифференцировав LZ  I Z  по времени, получим записанное выражение:
(17)
dLZ
d
 IZ
 IZ  M Z
dt
dt
.
(18)
Производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумме
моментов) внешних сил

dL 
M
dt
.
(19)
Закон сохранения момента импульса:

L  const .
(20)
Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением
времени.

dL


0
M

0
L
dt
В замкнутой системе момент внешних сил
и
, откуда  const .
Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы.
Закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства.
Изотропность пространства - инвариантность физических законов относительно
выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота
замкнутой системы в пространстве на любой угол).
Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса
Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг
вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение
с угловой скоростью 1 . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции
системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент
импульса системы сохраняется ( I 1 1  I 2  2 ) и угловая скорость вращения  2
возрастает. Человек, стоящий на скамье Жуковского (она с малым трением
вращается вокруг вертикальной оси), держит в руках колесо, вращающееся вокруг
горизонтальной оси. Начальный момент импульса
LZ  0 . Если поднять
вращающееся колесо (рисунок 9б), то LZ остается равным нулю (поворот колеса
осуществляется за счет внутренних сил) и скамья начнет вращаться в направлении,
противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью  2 ,
удовлетворяющей равенству LZ  I 11  I 2 2  0 ( I 1 - момент инерции колеса; 1 угловая скорость колеса; I 2 - момент инерции системы «человек + скамья»).
а)
б)
Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы
уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость
вращения.