 2 0 ))

УДК 621.3.046.20
  
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНОГО
2m
( E  U ( x))  0
2
(1)
Здесь m – эффективная масса электрона, которая считается
ТУННЕЛИРОВАНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ НАНОСТРУКТУРАХ
одинаковой во всей рассматриваемой области. Решением уравнения во
внешних областях будут функции вида:
С. Н. Иващенко
Таганрогский научно–исследовательский институт связи
Эффект резонансного туннелирования
в тонкопленочных
[1].
Интерес
к
двухбарьерным
квантовым
участком
где r и t – амплитуды отражения и прохождения соответственно.
Коэффициенты отражения R и прохождения T есть:
структурам
обусловлен видом их N-образной вольт-амперной характеристики с
отрицательного дифференциального сопротивления и
R r ,
терагерцового
создания
диапазона
и
высокоскоростных
цифровых
устройств
с
приборов
временем
(3)
 (0)  1  r  ( L)  t
 (0)  ik (1  r )
Выражая r и t через (0)
и
(4)
 ( L)  ikt
 (L) ,
граничные условия можно
записать:
переключения порядка 10-12 сек и менее.
 (0)  ik (0)  2ik
В данной работе рассмотрены результаты математического
(5)
 ( L)  ik ( L)  0
моделирования резонансного туннелирования в полупроводниковых
Вместе с уравнением (1) условия (5) определяют задачу во
наноструктурах.
Разработанная модель позволяет вычислять коэффициенты
прохождения через двухбарьерную структуру и отражения от неё
внутренней области от 0 до L. Решая эту задачу и найдя
T  t   (L) , R  r   (0)  1
2
Физическая модель
двухбарьерная
структура
расположена
2
2
2
(6)
Математическая модель
на
расстояниях от 0 до L, тогда волновая функция описывается
уравнением Шредингера:
 (x) , мы
можем найти коэффициенты отражения и прохождения как:
носителей заряда в зависимости от их энергии.
Пусть
2
Граничные условия получим из функций (2):
Эти свойства резонансно-туннельных диодов делают их
для
Tt
2
малой инерционностью процесса туннелирования (порядка 10-13 сек).
перспективными
(2)
  teik ( x  L ) ,
xL
гетероструктурах является основой создания резонансно-туннельных
диодов
  e ikx  re ikxx
x0
Примем полную длину структуры L за единицу, тогда уравнение
Шредингера примет вид:
   (  V ( x))  0
где энергия

(13)
Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений
Разобьем участок от 0 до L на N областей L = N a. Тогда,
если L=1, то а=1/N.
Для произвольной точки внутри области уравнение (7) можно
первого
 (0)  ( 1  1 ) / 2a .
 n1   n1   n n  0
(8)
 n  2  a 2 (  Vn )
(9)
граничного
волновой
(8), (11), (13).
Алгоритм решения
Трехдиагональную
систему
уравнений
(8)
модифицированным методом прогонки [2]. Пусть
записать в дискретном виде:
производной
 N 1  
и потенциал V (x ) отсчитываются в единицах
 2 / 2mL2 .
Для
 N

 ika  N  0
 2

(7)
функции
условия
на
ее
(5)
сделаем
замену
дискретный
аналог
Тогда граничное условие и уравнение
множитель,
зависящий
от
n.
(10)
n  
 0

 ika  0  2ika
 2

 N 1  N 1   N N  0
Откуда получим второе граничное условие в виде:
(8)
найдем
 n  Rn1 n1
(14)
1
 n  Rn
(15)
отсюда:
Rn 1  
Из граничного условия (13):
(11)
Для второго граничного условия аналогично найдем:
 N 1  N 1  2ika N  0
уравнения
Rn-
 n1
Rn   n
Складывая уравнения (10) и разделив на 2, получим первое
1  
 n1  Rn n ,
Но, по определению множителя Rn:
 1  1   0 0  0
граничное условие:
решать
Rn n   n n   n1 , то есть:
Шредингера при x=n=0 имеют вид:
 1  1  2ika 0  4ika
Из
будем
 N 1  (
N
2
 ika) RN 1 N 1  0
откуда получаем:
(12)
RN 1 
1
N
2
 ika
(16)
Формулы (15) и (16) позволяют вычислить множители Rn от
RN-1 до R0.
1
0.8
Из граничного условия (11)
( R0  (
0
2
 ika)) 0  2ika , то
есть:
0.6
0.4
0 
2ika
R0  (
0
2
(17)
 ika)
Формулы (17) и (14) позволяют затем найти все значения
волновой
прохождения: r
функции.
Амплитуды
отражения
  0  1 , t   N . Коэффициенты
и
прохождения
и
отражения можно найти как: T  t , R   0  1 .
2
2
прохождения носителя заряда через двухбарьерную наноструктуру
возрастает, когда значение энергии носителя заряда совпадает с
значениями
энергии
в
этой
структуре.
Этими
значениями можно управлять, создавая структуры с различной
геометрией (толщиной слоев полупроводниковых материалов).
Перспективным
направлением
является
разработка
приборов с третьим – управляющим шириной барьера электродом, то
есть резонансно-туннельным транзистором.
20
40
60
80
100
Зависимость коэффициента прохождения от энергии
Список литературы
1. Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А. Физика квантовых низкоразмерных
Из приведенного ниже графика видно, что коэффициент
квантованными
0.2
структур. М., «Логос», 2000.
2. Ц.На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач.
М., «Мир», 1982.