Формулы логики высказываний. Тавтологии. Логические следствия

Формулы логики высказываний.
Тавтологии. Логические следствия.
Пример 10. Построим
Пример
таблицу истинности для формулы A  ( B  C ) .
A
B
C
A
BC
A  (B  C)
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
11.
Построим
(( A  B)  ( B  C ))  ( A  C ) .
таблицу
истинности
A
B
C
A B
BC
( A  B)  ( B  C )
AC
F
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
для
формулы
Мы замечаем ещё одну важную вещь. Высказывание, выражаемое приведенной формулой,
принимает только значения "И" независимо от значений элементарных высказываний, входящих в
формулу! Такие формулы называются тождественно истинными (ТАВТОЛОГИЯМИ).
Следовательно, если сформировать отрицание этого высказывания, это даст тождественно ложную
(ПРОТИВОРЕЧИЕ) формулу ( в её таблице истинности последний столбец будет содержать все
значения "Л") .
Определение 7. Формула называется тавтологией (тождественно истинной формулой), если
она принимает значение 1 при всех наборах логических значений букв, которые в неё входят
Пример: см пример 11.
Определение 8. Формула называется противоречием (тождественно ложной формулой), если
она принимает значение 0 при всех наборах логических значений букв, которые в неё входят
Пример 12: A  A
A
A
A A
1
0
0
0
1
0
Из примеров 11 и 12 видно, что все формулы ЛВ делятся на три класса: тождественно
ложные, тождественно истинные и не принимающие постоянного значения при изменении
1
элементарных высказываний - выполнимые. Кроме того, мы убедились, что по каждой формуле
строится единственная таблица истинности.
Встаёт вопрос: а не могут ли различные формулы иметь одинаковые таблицы истинности?
Иными словами: могут ли различные по форме сложные высказывания тем не менее быть
одинаковыми по смыслу? Опыт обычных неформальных рассуждений подтверждает, что это так,
поскольку само высказывание "А тогда и только тогда, когда В" не могло бы иначе возникнуть.
§3. ПРОВЕРКА РАВНОСИЛЬНОСТИ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Для установления основных равносильностей в самом деле не остаётся ничего иного, как
сравнение таблиц истинности формул.
Проведём несколько таких сравнений.
СРАВНЕНИЕ 1. Рассмотрим высказывание ( A  B)  ( B  A)
A
B
A B
B A
( A  B)  ( B  A)
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
Из таблицы видно, что это высказывание истинно именно в тех случаях, когда значения А и В
одинаковы. Но ведь именно так ведёт себя и связка A  B ! Вывод: A  B  ( A  B)  ( B  A) .
А поскольку и простые логические переменные, и сложные формулы принимают всегда
значения И либо Л, то на самом деле справедлива более общая равносильность:
Ф1  Ф2  (Ф1  Ф2 )  (Ф2  Ф1)
Это наводит на мысль о том, что при построении записей всех возможных сложных высказываний
можно обойтись без связки эквивалентности, всякий раз заменяя её в формулах на равносильную ей
конструкцию.
СРАВНЕНИЕ 2. Рассмотрим высказывание A  B . Построив для него окончательную таблицу
истинности, получим:
A
B
A
A B
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
Но ведь это таблица, отражающая картину поведения уже знакомой связки A  B ! Вывод очевиден:
A  B  A B
И, конечно же, справедлива более общая равносильность
Ф1  Ф2  Ф1  Ф2
А это означает, что и связка следования не обязательна для построения формул,
выражающих смысл сложных высказываний: можно её исключить, всякий раз заменяя следование
на равносильную конструкцию, содержащую только знаки связок "отрицание" и "или". В частности,
2
можно заметить, что связка эквивалентности равносильна высказыванию, содержащему только три
связки: ¬ V ^ . Таким образом, эти логические связки являются основными, а остальные вспомогательными.
Далее мы рассмотрим таблицу основных равносильностей. Каждое её соотношение можно
проверить так же, как мы сделали только что в СРАВНЕНИИ 1 и СРАВНЕНИИ 2.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ РАВНОСИЛЬНОСТЕЙ
Первая группа
Равносильности, показывающие возможность
выразить связки  и  через
¬ V^
1. A  B  ( A  B)  ( B  A)
Выражение эквивалентности через ¬ V ^
2. A  B  A  B
Выражение импликации через ¬ V
ВТОРАЯ ГРУППА
Равносильности, выражающие свойства отдельно
взятой основной связки
3. (A)  A
Закон двойного отрицания
4. A  B  B  A
Переместительный закон для логического умножения
5. ( A  B)  C  A  ( B  C)
Сочетательный закон для логического умножения
6. A  A  A
7. A 1  A
Умножение на логическую единицу
8. A  0  0
Умножение на логический нуль
9. A  B  B  A
Переместительный закон для логического сложения
10. ( A  B)  C  A  ( B  C)
Сочетательный закон для логического сложения
11. A  A  A
12. A 1  1
Сложение с логической единицей
13. A  0  A
Сложение с логическим нулём
ТРЕТЬЯ ГРУППА
Равносильности, выражающие отношения между
основными связками
14. A  A  1
Закон исключённого третьего
15. A  A  0
Закон противоречия
16. A  B  A  B
Закон де Моргана
17. A  B  A  B
Закон де Моргана
18. ( A  B)  C  ( A  C)  ( B  C)
Первый распределительный закон
19. ( A  B)  C  ( A  C)  ( B  C)
Второй распределительный закон
20. ( A  B)  A  A
Первый закон элементарного поглощения
21. ( A  B)  A  A
Второй закон элементарного поглощения
Пример 13. Доказать, что формулы ( A  B)  C и ( A  C )  ( B  C ) равносильны.
Доказательство.
получим:
С одной стороны, дважды пользуясь равносильностью 2,
( A  B)  C  ( A  B)  C  A  B  C .
3
Теперь, используя закон 16, получим:
A B  C  A B  C ,
наконец, пользуясь законом двойного отрицания 3, получаем:
A BC  A BC .
Итак, ( A  B)  C  A  B  C .
С другой стороны, в силу распределительного закона 19, для второй
формулы имеем:
( A  C)  (B  C)  A  B  C .
Так как обе исходных формулы
формуле, они сами равносильны.
оказались
равносильны
одной
и
той
же
Между понятием равносильности и логической связкой эквивалентности можно заметить
тесную связь: если формулы Ф1  Ф2 (равносильны), то формула Ф1  Ф2 является тождественно
истинной, и наоборот, если доказано, что Ф1  Ф2 тождественно истинна, то Ф1  Ф2 : они всегда
принимают одинаковые значения при заданных значениях входящих в них элементарных
высказываний.
Таким образом, проверить, являются ли две формулы логики высказываний Ф1 и Ф2
равносильными, можно ещё одним способом: определяя,
является ли тождественно истинной
формула Ф1  Ф2 .
§4.ОСНОВНЫЕ ТАВТОЛОГИИ, НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТАВТОЛОГИЙ
4
§5. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ
Определение 9. Формула B называется логическим следствием формул A1, ..., An , если для всех
наборов значений букв, которые входят в A1, ..., An и B , значение B есть 1 каждый раз, когда
значение каждой формулы Ai , i  1, n на этом наборе есть 1. Обозначается A1,..., An  B .
Пример 14. Покажем, что
A  B , т.е. A, A  B  B .
B
является логическим следствием формул
A
и
Решение. Построим таблицу истинности для формул A, A  B, B .
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A B
1
0
1
1
B
1
0
1
0
Красным цветом выделены столбцы для формул из посылки, а синим – для следствия. Согласно
определения, необходимо проверить, чтобы во всех строках, где одновременно встречаются две
красные единицы синей была также 1, а не 0 (эта строка выделена жирным шрифтом). Таким
образом, мы убедились, что B является логическим следствием формул A и A  B .
Пример 15. Проверить справедливость следующих рассуждений: «Сегодня я
пойду в кино на новую кинокомедию или на занятия в университет. Если я
пойду в кино, то я три часа буду смеяться. Если я пойду на занятия, то
я получу много новых знаний. Значит, сегодня я три часа буду смеяться
или получу много новых знаний.»
Решение. Рассмотрим следующие высказывания:
А = «Я пойду в кино»
В = «Я пойду на занятия в университет»
C = «Я три часа буду смеяться»
D = «Я получу много новых знаний».
Итак, нам необходимо проверить, что ( A  B, A  C, B  D)  (C  D) . Построим таблицу истинности.
A
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
B
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
C
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
D
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
A B
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
AC
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
BD
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
CD
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
5
Строки, в которых одновременно встречаются три красные единицы выделены желтым цветом. Как
видим, во всех этих строках в синем столбце также стоит единица. Значит, рассуждение верно.
Второй способ решения. Допустим, что формула C  D не является логическим следствием
формул A B , A  C , B  D . Значит, при некоторых значениях букв A, B, C , D каждая из формул
A B , A  C , B  D принимает значения 1, а формула C  D - значение 0.
1). Т.к. (C  D)  0 , то (C ) ), ( D)  0 .
2). Т.к. ( A  C)  1, (C)  0 , то ( A)  0 .
3). Т.к. ( B  D)  1, ( D)  0 , то ( B)  0 .
4). Но если ( B)  0, ( A)  0 , то ( A  B)  0 .
Полученное противоречие показывает, что формула C  D является логическим следствием
формул A B , A  C , B  D .
Пример
16.
Выяснить,
является
ли
препозиционная
формула
логическим
следствием предыдущих формул ( A  B)  C, (C  D)  E, F  ( D  E )  ( A  B)  F .
Решение. Допустим противное: формула
не является логическим следствием
( A  B)  F
предыдущих формул. Значит, (( A  B)  F )  0 .
1). (( A  B)  F )  0 , тогда ( F )  0, ( A  B)  1 , т.е. ( F )  0, ( A)  1, ( B)  1 .
2). ( A)  1, ( B)  1, (( A  B)  C)  1 , значит (C )  1 .
3). ( F )  0 , значит ( F )  1 .
4). (F )  1, (F  (D  E))  1 , значит ( D  E )  1 , т.е. ( D)  1, ( E)  1 .
Итак, при
( A)  ( B)  (C )  ( D)  ( E )  1, ( F )  0
формула
принимают значение 1. Значит, формула ( A  B)  F
(( A  B)  F )  0 ,
а все посылки
не является логическим следствием
предыдущих формул.
Пример 17. Выяснить, является
следствием предыдущих формул
(1) A  B, B  C  A  C . Да, является.
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
ли
препозиционная
A B
BC
AC
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
формула
логическим
(2) ( A  B)  (C  B)  A  C . Нет, не является
A
B
C
A B
BC
( A  B)  (C  B)
AC
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
6
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
(3) A  B, D  C, C  B  A  D . Да, является
A
B
C
D
A B
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
DC
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
CB
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
A D
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Пример 18. Если Джонс не встречал сегодня Смита, то либо Смит убийца, либо
Джонс обманывает. Если Смит не убийца, тогда Джонс не встречал сегодня Смита,
и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи,
то либо Смит убийца, либо Джонс обманывает. Значит, Смит – убийца. Является ли
логически правильным это рассуждение?
А= «Джонс не встречал Смита», В= «Смит убийца», С= «Джонс лжет», D = «Убийство произошло после
полуночи»
A
B
C
D
A  (B  C)
B  ( A  D)
D  (C  B)
B
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
Рассуждение не верно.
7
Пример 19. "Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.
- Говорит Мегрэ. Есть новости?
- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если
Франсуа был пьян, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Жуссье считает, что
или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи.
Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после
полуночи, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Затем звонила...
- Все. Спасибо. Этого достаточно.- Комиссар положил трубку. Он знал, что
трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все."
Что следует из показаний инспекторов? Какой вывод сделал комиссар Мегрэ?
А= «Франсуа был пьян», В= «Этьен убийца», С= «Франсуа лжет», D = «Убийство произошло после
полуночи»
A
B
C
D
A  (B  C)
B  ( A  D)
D  (C  B)
AC
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Этьен убийца.
8