Прогр_матан_1 курс_Би_ПИ_Чубарова Е.И.-2012

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Программной Инженерии
Программа дисциплины
Математический анализ (первый курс)
Для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
(2012 – 2013 учебный год)
Автор программы:
к.ф.-м.н, доцент Е.И. Чубарова
Рекомендована секцией УМС
По бизнес-информатике
Председатель Ю.В. Таратухина
_______________________
«_____» __________________ 2012 г.
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики
на факультете Экономики
Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров
_______________________
«____»__________________ 2012
г
Утверждена Ученым Советом
Факультета Бизнес-информатики
Ученый секретарь В.А. Фомичев
_________________________________
« ____» ___________________2012 г.
Москва 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и
отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 231000.62 «Программная инженерия» подготовки
бакалавра, изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный
университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена
категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой 231000.62, направление «Программная инженерия»
подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 231000.62 «Программная
инженерия» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический алализ» являются:
• Развитие математического кругозора студентов.
• Обучение студентов важнейшим теоретическим положениям математического
анализа, аналитическим методам.
•
Выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих
исследования функций и вычисления связанных с ними величин.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
• Знать
- точные формулировки основных понятий;
- основные теоремы о пределах и непрерывности функций одной и нескольких
переменных;
- основные понятия и теоремы дифференциального исчисления функций одной и
нескольких переменных;
- основные понятия интегрального исчисления функций одной и нескольких
переменных, важнейшие теоремы, уметь вычислять неопределенные и определенные
интегралы, доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов, вычислять
геометрические и другие величины при помощи определенных и кратных интегралов;
вычислять криволинейные и поверхностные интегралы.
• Уметь
- интерпретировать основные понятия на простых модельных примерах;
- вычислять пределы, доказывать существование предела или его отсутствие;
- вычислять производные, частные производные и дифференциалы функций,
исследовать свойства функций и строить графики, находить наибольшие и наименьшие
значения дифференцируемых функций;
- уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы, доказывать сходимость и
расходимость несобственных интегралов, вычислять геометрические и другие величины
2
при помощи определенных и кратных интегралов; вычислять криволинейные и
поверхностные интегралы.
• Владеть
- методами математического анализа;
- методами составления математических моделей, требующих применения
аналитических методов.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу и
синтезу на основе системного
подхода
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-2
Способность перейти от
проблемной ситуации к
проблемам, задачам и
лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-3
Способность использовать
методы критического анализа,
развития научных теорий,
опровержения и
фальсификации, оценить
качество исследований в
некоторой предметной области
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-4
Готовность использовать
основные законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности, применять
методы математического
анализа и моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования при работе в
какой-либо предметной
области
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-5
Готовность выявить
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной
деятельности, привлечь их для
решения соответствующий
аппарат дисциплины
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать
Стандартные
(лекционно-
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
3
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
новые знания с
использованием научной
методологии и современных
образовательных и
информационных технологий
Общенаучная
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
семинарские)
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-1
Способность демонстрации
общенаучных базовых знаний
естественных наук,
математики и информатики,
понимание основных фактов,
концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-2
Способность понимать и
применять в
исследовательской и
прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-4
способность критически
оценивать собственную
квалификацию и её
востребованность,
переосмысливать
накопленный практический
опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной
деятельности
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-8
Способность решать задачи
производственной и
технологической деятельности
на профессиональном уровне,
включая разработку
математических моделей,
алгоритмических и
программных решений
Стандартные
(лекционносеминарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и относится к математическому и
естественнонаучному циклу МЕ.00.
4
Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за
пределы требованиям к поступающим на программу бакалавриата, и доступно всем
студентам, принятым на 1 курс.
Изучение данной дисциплины базируется на школьном курсе алгебры и начал анализа.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знание элементарной алгебры и начал математического анализа;
 знание простейших понятий теории множеств.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
 Дифференциальные уравнения;
 Теория вероятностей и математическая статистика;
 Эконометрика;
• Исследование операций,
• Методы и технологии искусственного интеллекта,
• Теория систем и системный анализ;
• Экономика
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
Название темы
1 модуль
Введение
Теория пределов и
непрерывных функций
одной переменной.
2 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
3 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
многих переменных.
4модуль
Интегральное исчисление
для функций одной
переменной.
Интегральное исчисление
для функций многих
переменных.
Числовые и
функциональные ряды.
Степенные ряды.
Итого
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоятельная
работа
64
16
16
32
64
16
16
32
80
20
20
40
80
20
20
40
288
72
72
144
5
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля Форма
контроля
1 год
1
2
3
4
(неделя проведения в модуле)
7
7
Текущий
(неделя в
модуле)
Контрольная
работа
Домашнее
задание
7
Промежуточный
Итоговый
Зачет
9
Экзамен
Параметры
7
10
Письменная работа на 80
минут
Выполнение домашних
заданий. Письменная
работа 80 минут для
проверки качества
выполнения домашних
заданий.
Письменная работа 120
минут
Письменная работа 120
минут
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи,
разобранные на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7. Содержание программы
1. Введение. Элементы теории множеств и функций. ([1], т.1, гл. 1, §§ 1, 2, [3], гл.
1, §§ 1 – 4)
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение,
дополнение.
Отображения множеств (функции). Числовые функции. Область определения,
множество значений функции. Основные элементарные функции.
Теория пределов и непрерывных функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1, §§ 3 - 8,
[3], гл. 1, §§ 5 – 9)
Числовые последовательности. Примеры.
Понятие предела последовательности.
Теорема о единственности предела сходящейся
последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности.
Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
Теорема о вынужденном пределе.
Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей.
Определение числа е.
Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.
Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей.
Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и
бесконечные пределы. Неопределенности.
Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и
последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений.
6
Односторонние пределы, их связь с двусторонними.
Пределы функции в бесконечности.
Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в
точке или в бесконечности. Неопределенности.
Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе.
Теорема о пределе сложной функции.
Первый и второй замечательные пределы Сравнение функций, о-символика
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их
классификация. Непрерывность основных элементарных функций.
Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной
функции.
Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций,
непрерывных в точке.
Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса,
теорема Коши).
Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке.
Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.
2. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1,
§§ 9 – 14 , [3], гл. 1, §§ 10 – 15)
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к графику функции в точке.
Понятие дифференцируемости функции в точке. необходимое и достаточное условие
дифференцируемости.
Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной
функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица
производных основных элементарных функций.
Производные функций, графики которых заданы параметрически.
Понятие гладкой кривой, касательный вектор к гладкой кривой в точке.
Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл
дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум.
Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).
Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема Ролля,
формулы Лагранжа и Коши). Правило Лопиталя.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным
членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных
элементарных функций. Применения для приближенных вычислений.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.
Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной.
Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости
(вогнутости).
Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба.
Асимптоты графика функции одной переменной.
Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в
области ее определения.
3. Дифференциальное исчисление для функций многих переменных. ([1], т.1, гл. 2,
[3], гл. 2)
Понятие метрического пространства, окрестностей точки, предельных и внутренних
точек, открытых и замкнутых множеств в нем. Примеры. Понятие n-мерного евклидова
пространства и метрики в нем. неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные
окрестности точки, эквивалентность систем сферических и прямоугольных окрестностей.
7
Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые,
компактные множества. Примеры.
Понятие функции многих переменных. Определение предела функции многих
переменных. Арифметические свойства пределов.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных
функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных
функций многих переменных.
Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши
о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение
дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия
дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости
функции в точке.
Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о
дифференцируемости сложной функции.
Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в
точке.
Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке.
Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих
переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
Производная по направлению для функций двух и трех переменных.
Градиент функций двух и трех переменных в точке.
Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Терема о существовании и
дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции.
Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений.
Экстремумы функций многих переменных (абсолютный, условный, локальный,
глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума. Достаточное
условие локального абсолютного экстремума. Условия знакоопределенности
квадратичной формы.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум,
Необходимое условие локального условного экстремума, его геометрическая
интерпретация. Достаточное условие.
Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.
4. Интегральное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 3, [3], гл.
3)
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на
промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица
интегралов.
Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование
которых сводится к интегрированию рациональных функций.
Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного
интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.
Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла (интеграл единицы, линейность,
интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность,
интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о
среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, Интеграл с переменным
8
верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с
переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного
интеграла.
Понятие квадрируемости и площади плоского множества. Множества площади (меры)
ноль, свойства. Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоского множества.
Теорема о квадрируемости и площади криволинейной трапеции.
Понятие о спрямляемости и длине дуги кривой. Теорема о спрямляемости и длине дуги
гладкой кривой.
Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши
сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости
несобственного интеграла.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных
интегралов.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных
интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы.
Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
5. Интегральное исчисление для функций многих переменных.
([1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, [3], гл.5, §§ 42 – 48, [5], гл. X - XI)
Понятие интегральной суммы для функции двух переменных, определенной на
замкнутом квадрируемом множестве. Понятие двойного интеграла для функции двух
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных. Суммы
Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух
переменных. Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства двойного интеграла (интеграл единицы, линейность,
интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность,
интегрируемость на квадрируемых подмножествах, свойства, выражаемые неравенствами,
теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, неравенство КошиБуняковского).
Теорема о сведении двойного интеграла к повторному и ее применение для
вычисления двойного интеграла.
Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в
двойных интегралах.
Понятие кубируемости и объеме множества и пространстве. Множества объема (меры)
ноль, их свойства. Необходимое и достаточное условие кубируемости множества в
пространстве.
Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на
замкнутом кубируемом множестве. Понятие тройного интеграла для функции трех
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных.
Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства тройного интеграла.
Теорема о сведении тройного интеграла к повторному и ее применение для вычисления
тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к
цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Обобщение на nмерный случай.
Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на дуге
гладкой кривой. Понятие криволинейного интеграла первого рода для функции трех
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных.
Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства криволинейного
интеграла первого рода. Теорема о сведении криволинейного интеграла первого рода к
определенному.
9
Понятие криволинейного интеграла второго рода по дуге гладкой кривой. Зависимость
от ориентации дуги. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному.
Формула Грина.
6. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
([1], том 1, гл. 4; [3], гл. 4; [5], гл. VIII, IX)
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости
ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной
сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости
ряда.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Функциональные последовательности и ряды.
Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Задача о представлении функции функции в виде суммы степенного ряда. Теорема о
единственности представления. Ряд Тейлора функции.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к
заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
8. Образовательные технологии
Проводятся стандартные лекционно-семинарские занятия и регулярные консультации с
ответами на вопросы студентов. Применяются индивидуальные домашние задания.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Образцы задач контрольных работ, работ для проверки домашних заданий, зачетных и
экзаменационных работ по математическому анализу.
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 1 модуль
1. Используя определение предела последовательности, доказать, что lim an  a , для
n 
1
9n
, a .
3
2
1  2n
2. Используя определение предела функции в точке, доказать, что
an 
3
9x2 1
lim
 6 .
x  1 x  1
3
3
3. Используя определение непрерывности функции в точке, доказать, что функция
f ( x)  ln(4 x 1) непрерывна в точке x0  1 .
2
4. Доказать, что последовательность xn  8  n  5 является сходящейся.
5. Используя признак Вейерштрасса, доказать, что последовательность
n
n
2
n
10
1
xn 
3
n3  1

1
3
n3  2
 ... 
1
3
n3  n  1
является сходящейся.
Вычислить пределы последовательностей (6, 7)
1  2  3  4  ...  (2n  1)  2n
6. lim
n 
3

n 3  2n  2
lim (n2  1)(n2  2)  (n 2  1)(n 2  2)
7. n 
Вычислить пределы функций (8 – 14)
8.
10.
12.
14.
( x 3  2 x  1)3
lim
x 1
x4  2x  1
lim
x 2
x  7  11  x
x2 2
. 9.
. 11.
lim
x 


x2  2x  4  x2  4x  3
 5  3x 
lim 

x  7  3 x



.
2 x
.
1  cos 4 x 2
sin x  cos x
. 13. lim
.
lim
2
2
x 
ln tgx
x 0 arcsin 3 x ln(1  sin 5 x)
4
1 x
lim arcsin
x 
1 x
Типовые задачи для домашних заданий по математическому анализу (2 модуль)
1.
а) Используя определение непрерывности функции в точке, доказать, что функция
f ( x)  2 x  2
б) Найти
f ( x0 ), f ( x0 ) , используя определение, где f ( x)  arctg ( x 1)  x 1 ,
x0  1 .
2. Вычислить
а)
непрерывна в точке x0  1 .
f ( x ) :
f ( x)  log5 (arcsin 2 x 2 ) 
3. Найти
1
1
 cos 2 б) f ( x )  ( x  x 4 ) 24  e 2 x ctgx .
;
4
2x
df ( x0 ) для функции f ( x)  (3cos 5 x)
x
e
4
5
, x0 
4. Найти y( A), y( A) для функции y(x), заданной неявно уравнением
4
.
5
15 x  4 xy 2  5 x3 y  4 xy  10  0 , а также их значения в точке А(1,1).
5. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные к графику функции
заданной параметрически:
y  f ( x) ,

t 2  2t
x 


1 t3

2 , в точке А, соответствующей значению параметра t0  1 .
 y  2t  t

t3 1

11
6. Найти
y ( n ) ( x) , если
y ( x) 
10 x  6
 (3 x  1) cos 2 x
.
5x  2
100
f (0) для f ( x)  16  4 x .
7. Найти d
8. Решить уравнение
f ( x)  0
для функции
( x  1) 2
f ( x)  4
x3
.
Типовые задачи для подготовки к зачетной работе за 2 модуль
1. Используя таблицу эквивалентных функций, вычислить предел
x 2 sin(12 x3 )
lim
x 0 ln(1  2 x)tg 2 3 x
.
2. Вычислить пределы: а)
б)
ln(tgx )
;
lim
cos 2 x

x
4
в)
( x 2  3x  2) 2
lim
;
x 1 x 3  2 x 2  x  2
 3x  7 
lim 

x  3 x  2


f ( x0 ), f ( x0 ) , где
2. Вычислить f ( x ) :
3. Найти
а) y  e
arctg
x
2
 x 3
.
f ( x)  esin x  tgx , x0  0 .
3

x
x
2 20
 3e 2 ; б) f ( x )  (8 x  cos 4 x )  arcsin
.
3
3
( x  1)
3. Найти производную функции
f ( x )  (2 sin( x 

4
)  3) 2 tgx 1 в точке x0   .
4
4. Найти первый и второй дифференциалы функции y(x), заданной неявно уравнением
2 x3 y 2  2 xy  4 x2  y 2  2 x  6 y  6  0 , в точке А(1,0).
5. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные к графику функции
y  f ( x) ,

1 t2  t
x 

1 t2
заданной параметрически: 
, в точке А, соответствующей значению

2
t
y 

1 t2

параметра t0  0 .
6. Найти y
(n)
x2  3
( x) , если y ( x)  (2 x  1) sin 2 x  2
x 1 .
7. Разложить по формуле Маклорена до о(хn ) функцию f ( x)  x 2 ln(2 x  3) . Вычислить
f (50) (0) .
8.Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:
lim
e arctgx  ln(1  x)  1
x 0
2
4  x3
.
9. Найти участки возрастания, убывания и точки экстремума
функции
f ( x)  8 x 2  x 4
.
10.Найти асимптоты графика функции y 
x2  2 x .
11. Провести полное исследование и построить график функции
y  ln(tgx) .
12
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 3 модуль
1. Разложить по формуле Маклорена функцию:
x5
а) f ( x)  2
до o( x n ) ; б) f ( x)  x 2 1  2 x 2 до o( x 2 n ) . Вычислить f (100) (0) .
x  5x  6
2. Разложить функцию f ( x)  ln 3 8 x  7 по формуле Тейлора в окрестности точки x0  1
до o(( x  x0 ) n ) .
3. Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:
lim
e arctg 2 x  ln(1  2 x)  1
2
x 0
4  8 x3
.
4. Является ли множество, на котором определена функция:
(а) u  arccos
y

x
1
x  y 9
2
2
; (б) u  arcsin( x  y )  9  x 2  y 2 
1
:
x y
(а) ограниченным (неограниченным); (б) замкнутым; (в) открытым;
(г) связным; (д) областью; (е) компактом?
5. Вычислить предел функции двух переменных или доказать, что он не существует:
lim
(а)
x 0
y 0
4 x2  y 2
; (б)
x2  2x2 y 2
6. Выяснить, будет ли функция
lim
x 0
y 1
x  2 y2  2
5
3  5 1 x  2 y2
.
 y3  x2
2
2
 3 2 npu x  y  0,
F ( x, y )   y  x

npu x 2  y 2  0
 0
непрерывной в точке (0,0). Ответ обосновать.
1. Вычислить частные производные первого порядка функции
x3
 x ln(sin y ) ;
а) f ( x, y ) 
б) f ( x, y, z )  ( x 2  2 y 2  xz )arcsin 2 x .
2 y
2. Найти частные производные второго порядка
f xx'' , f xy'' , f yy''
.
для
f ( x, y )  ln( x  e xy ) .
3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции
2
x
в точке M (1,3, ) .
f ( x, y )  arccos
3
x y
4. Вычислить
f t  для
2  cos x
f ( x, y, t )  t e
5. Найти дифференциал функции
точке M (1, 0,3) .
6. Найти производную функции
y3
x
  sin
y
t
, где x 
3
t , y  et .
f ( x, y, z )  ( z cos 2 y  y 2  1)2 x z
f ( x, y, z )  arctg
в
xy 1
 tg ( x  2 y )
2z 2
в точке M (2,1,1) по направлению вектора MM 0 , где M 0 (0, 2, 1) .
7.
Найти значение параметра k, при котором векторы (k ,1  k ) и grad M
3y
x
зависимы, если f ( x, y )  arcsin( x  )  arccos
, M (1,1) .
2
2y
f линейно
13
xy
8. Найти f xxz для f ( x, y, z )  2
2
x2 y

.
z
 z3
15. Исследовать на экстремум функцию z  x 4  x 2 y 2  y 4  6 x 2  9 y 2 .
16. Найти экстремумы функции
при условии
f ( x, y )  8 x  4 y  1
8x2  y 2  2  0 .
Типовые задачи для домашних заданий (4 модуль)
Вычислить неопределенные интегралы:

1.
arccos 2 2 x  2
1  4 x2
dx . 2.  e 3 x (5 x  3)dx .
x2  x  1
 ( x  1)3 ( x2  4)dx .
3.
Вычислить определенные интегралы:
e2
1
5x
dx .
4.  x
5

1
0
5.

1

x 2  ln x 2
dx ;
x
6.
2

0
cos x  sin x
dx
(1  sin x) 2
7.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций: (а)
(1) y  ( x  3)3 , y  4 x  12 ;
(б) (1) y  x 2  x  2 , 0  x  5 .
8. (а) (1) Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций y  4sin x, y  2sin x, 0  x   ,
вокруг оси ОХ.
(б) (1) Используя полярную систему координат, вычислить площадь криволинейного
сектора, ограниченного линиями y 2  6 y  x 2  0, y 2  4 y  x 2  0, y  x, x  0 .
Типовые задачи для подготовки к экзаменационной работе за 4 модуль (итоговой по
курсу)
1. Вычислить предел lim
x  

( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)

2. Провести полное исследование и построить график функции y 
2x 1
.
x2 1
3. Разложить по формуле Маклорена до o( x n ) функцию f ( x)  (3  x) ln(1  4 x) .
4. Найти производную функции u  ( x  2 y)e
2
x
z
в точке N по направлению вектора MN , где M 1, 1, 1 , N (2,1, 1) .
5. Найти точки экстремума функции z  16 x  18 xy  20 x  9 y .
3
2
2
2
6. Найти экстремумы функции z  xy  2 y при условии x 2 y 2  y 2  8 , используя
функцию Лагранжа.
7. Вычислить неопределенные интегралы
14

а)
arcsin 2 x  1
1  x2
; б)  e 2 x (4 x  3)dx ;
dx
2 x3  7 x 2  7 x  1
 ( x  2)2 ( x2  x  1)dx .
в)
8. Вычислить определенные интегралы
2x
0 2 x  1 dx ;
а)

x 2  ln x 2
1 x dx ;
e
1
б)
в)
2

0
cos x  sin x
dx
(1  sin x) 2
9. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций
y  ( x  2)3 , y  4 x  8 .
10. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций y  3sin x, y  sin x, 0  x   ,
вокруг оси ОХ.

11. Вычислить несобственный интеграл:

3
2x  5
dx
x 2  3 x  10 .
12.Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1
ex
5  2 3 x  x2
dx ;
а) 
б) 
dx .
x
x
7 4
x
0 e  e
0
13.Используя признак сравнения, исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1
sin 4 2 x
ln(2  3 x )
а) 
;
б)
xdx
0 3 3  5 x 4 dx
3
x
0
13. Вычислить двойные интегралы
а)
 y sin 2 xydxdy , область Е ограничена линиями
E
б)
2 2
3 3
(18
x
y

32
x
y )dxdy ,

1

3
x  , x  3, y  , y 
.
2
2
2
область Е ограничена линиями
E
x  1, y  x3 , y   x
.
14. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
1
0
 dy  f ( x, y)dx
0
2

y
0
 dy 
1
f ( x, y )dx
 2 y 2
15.Вычислить тройные интегралы
а)
2
 x e
xy
2
dxdydz ,
E : x  1, x  0, y  0, y  2, z  1, z  0,
E
б)
 
E
dxdydz
x y z
1    
2 3 4

6
x y z
, E :    1, x  0, y  0, z  0 .
2 3 4
15
16.Пластина задана неравенствами: 1  x 2 
 ( x, y ) 
y2
 9, y  0, y  4 x ,
16
y
– поверхностная плотность. Найти массу пластины.
x3
17.Найти объем тела, ограниченного поверхностями
18. Найти сумму ряда
z  36  x 2  y 2 ,9 z  x 2  y 2 .
6n  5
.

7n
n 1

19. Исследовать на сходимость числовые ряды:


ln n
14n (n3  2n)
а) 
; б)  8 .
(n  2)!
n 1 n
n 1
20. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

 (1)n1 
n 1
21. Будет ли данный ряд

 (1)
n ( n 1)
2
n2  2n  3
.
5n3
1
:
n n
а) абсолютно сходящимся; б) условно сходящимся?
sin
n 1
22. Найти радиус и области сходимости и расходимости степенного ряда

n2  5n  4
( x  2)n .

n2
3
n 0
1
23. Разложить функцию в ряд Маклорена: f ( x) 
.
5  2x
10. Порядок формирования оценок по дисциплине
Предусмотрены две контрольные работы (в первом и третьем модулях) и 2 домашних
задания (для оценки выполнения домашнего задания проводятся письменные работы во
втором и четвертом модулях). Во втором модуле проводится зачет, в четвертом
модуле – экзамен.
Оценки выводятся по следующим формулам.
Накопленная оценка за 1 – 2 модули:
«НО1» = 0,4 «ОКр1мод» + 0,4 «ОДз-2мод» + 0,2· «Осемин.».
Результирующая оценка за зачет «ОЗач» = 0,4 «НО1» + 0,6 «ОЗач.раб.».
Накопленная оценка за 3 – 4 модули:
«НО2» = 0,4 «ОКр3мод» + 0,4 «ОДз-4мод» + 0,2· «Осемин.».
Здесь «Осемин.» - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая посещение семинаров,
активность на семинарах, в том числе решение задач у доски.
Результирующая оценка за экзамен «ОЭкз» = 0,4«НО2»+ 0,6  «ОЭкз.раб.»
по десятибалльной шкале.
В зачетную (экзаменационную) ведомость выставляются три оценки: накопленная,
зачетная (экзаменационная) и результирующая.
При нормальном посещении занятий дробные баллы округляются до целых по правилам
арифметики – до ближайшего целого (например, 3,6 округляется до 4), при систематических
16
пропусках занятий или мероприятий текущего контроля
выставляется целая часть
соответствующего бала. Неудовлетворительная оценка за зачет (экзамен) является
блокирующей и выставляется как результирующая без учета накопленной оценки. В
зачетную ведомость высталяются оценка «зачтено» или «не зачтено» согласно таблице
соответствия. В экзаменационную ведомость выставляется также оценка по данной
дисциплине по пятибалльной шкале, получаемая из оценки по десятибалльной шкале
согласно таблице соответствия (см. Приложение к приказу Ректора НИУ ВШЭ № 6.18.101/1601-03 от 16 января 2013 г. об утверждении новой редакции ПОЛОЖЕНИЯ ОБ
ОРГАНИЗАЦИИ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ, утвержденного ученым советом НИУ ВШЭ
(протокол от 21.12. 2012 г. № 42)).
Таблица соответствия оценок за зачет
10шкала при
балльная проведении
шкала
зачета
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
не зачтено
зачтено
Таблица соответствия оценок за экзамен
по десятибалльной и пятибалльной системам
5-балльная шкала
10при проведении балльная
экзамена
шкала
0
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
17
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Список литературы
11.1 Базовый учебник
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981
(имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
11.2. Основная литература
2. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел.
Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т. 3. Функции
нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003..
3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М: “Наука”, 1989
(имеется также двухтомное издание: М.: Физматлит, 2005).
11.3. Дополнительная литература
4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 2006.
5. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.:
Физматлит, 2003.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.:
«Наука», 1997.
18