Вычисление точности оценивания фро и пф для поликристаллов

Вычисление точности оценивания ФРО и ПФ для поликристаллов…
К.Н. РОГИНСКИЙ, Т.И. САВЕЛОВА
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ФРО И ПФ ДЛЯ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ
НА ОСНОВЕ ИЗМЕРЕНИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ
Работа посвящена асимптотическому оцениванию точности восстановления функций распределения ориентаций
и полюсных фигур по набору отдельных ориентаций на группе SO(3). В ней был проведен расчет функций близости
ФРО и ПФ к соответствующим оценкам, полученным ядерным методом. Для двух классов ядер минимизация функций
близости позволила определить характеры зависимостей оптимальных значений параметров ядер от объема ориентировок. В случае, когда текстура описывается центральным нормальным распределением, получены зависимости оптимальных значений параметров ядер от остроты текстуры.
Большинство используемых в промышленности твердых веществ находятся в поликристаллическом состоянии. Анизотропия их физических свойств во многом объясняется наличием кристаллографической текстуры. Под текстурой понимают статическое распределение кристаллических решеток монокристаллов (кристаллитов), формирующих поликристаллический объект. Основными важнейшими характеристиками текстуры являются функции распределения ориентаций
(ФРО) и полюсные фигуры (ПФ) [1].
Вычисление функции близости для ФРО. ФРО f ( g ) , представляет собой плотность вероятности обнаружить в исследуемом образце кристаллит (зерно) с ориентацией g ( g  SO(3) ).
В общем случае ФРО допускает разложение в ряд по обобщенным сферическим функциям [2]:

f g  
l

l 0 m,n l
l  2l  1
где Сmn



l
f ( g )Tmn
 g dg ,
l Tl
Cmn
mn  g ,
(1)
l
l (, , ) – обобщенные шаровые функции l-го
Tmn
( g ) = Tmn
SO 3
l ( g ) – функции комплексно сопряженные с l
порядка [3], Tmn
Tmn ( g ) .
Ядерная оценка ФРО может быть записана в виде

l

l
 2l  1 N l
 l
Q
Q
l Tl
fˆN ( g )   l  
Tmn  gi  Tmn
 g    l  Cˆ mn

mn  g  ,
2
l

1
N
2
l

1


l 0
m,n l
i 1
l 0
m,n l
(2)
N
l  2l  1
l
где Ql – ядро некоторого вида; Cˆ mn
Tmn
 gi  ; gi – набор ориентаций, например, полу
N i 1
ченных методами электронной микроскопии.
В качестве функции близости оценки ФРО (2) к точному значению (1) была выбрана функция вида
2
 2  M f ( g )  fˆ ( g ) .
(3)
N
L2
Для ядерной оценки ФРО (2) оценка точности в случае действительных ядер может быть записана в виде
M f ( g )  fˆN ( g )


 Ql 
2
2

Ql 
1 

1

 2l  1 
l  0 2l  1 
2
l

m ,n l
l
2
l
Cmn

(4)
1
l
.

 (2l  1)C (l , 0, l , m, 0, m)C (l, 0, l, n, 0, n)  Cmn

N l 0  2l  13 m,n l 
2
Асимптотическая оценка точности восстановления ФРО. Функцию близости для ФРО
(3)–(4) можно логически разбить на два слагаемых:
 2  M f ( g )  fˆN ( g )
2
 12   22 .
Слагаемое 12 , отвечающее за влияние ядра регуляризации, может быть представлено
в виде
Вычисление точности оценивания ФРО и ПФ для поликристаллов…

Ql 
1 
1

 2l  1 
l 0 2l  1 
12  
2
l


2
m,n l
2
Ql 
1 
1
Z (l ) .

 2l  1 
l 0 2l  1 
l
Cmn

Слагаемое  22 , отвечающее за влияние конечной выборки, может быть представлено в виде
 22 


 Ql 2 l 
 Ql 2
1
l 2  1
(2
l

1)
C
(
l
,
0,
l
,
m
,
0,
m
)
C
(
l
,
0,
l
,
n
,
0,
n
)

C
D (l ) .



mn 
N l 0  2l  13 m,n l 
N l 0  2l  13
Для восстановления ФРО использовались два класса ядер:
  1  L( L  1) m ;
m
2
Ql  (2l  1)exp  l (l  1)  , m  0, при 
L  0.
  1  L( L  1) m ,



  1
al
Ql  (2l  1) 1   2  , a  0, при 

 1
aL ;
L  0.
(5)
(6)
aL ,
Для ядер вида (5), (6) асимптотические оценки ФРО могут быть, соответственно, представлены в виде:

l
12  C1 4 , C1  
1
l 2;
l (l  1)2m  Cmn
l 0 2l  1
m,n l

3
 m
 22  D
,
N
D
3 
1
1
1 2 2 m m 1 m
2
z  1exp   z  dz;
z
m
0

l
a 2l 2
l 2;
Cmn

l 0 2l  1 m,n l
12  C2  4 , C2  
5a 3 6
.
2N
Вычисление функции близости для ПФ. Полюсная фигура Ph  y  представляет собой
 22 
проекцию ФРО на некоторое кристаллографическое направление h [1]. В общем виде ПФ может
быть записана в виде разложения в ряд по шаровым функциям [2]:


l
1   1l  4
l Y
C
h
Y
y








  Fln  h Yln  y , y  S 2 ,
mn lm
ln
2
2
l

1


l 0 m,n l 
l (2) 0 n l

Ph  y   
l
(7)
l
4
l Y (h ).
Cmn
lm
(2
l

1)
ml
Применяя ядерный метод восстановления, оценка ПФ записывается в виде
где Fln (h ) 

Pˆh  y  

l
  Fˆln  h Yln  y ,
(8)
l (2) 0 n l
l
4 ˆ l
Cmn Ylm (h ).
ml (2l  1)
В качестве функции близости восстановленной ПФ (8) к точной функции (7) была выбрана
функция вида
2
 2  M P  y   Pˆ  y  .
(9)
где Fˆln (h ) 

h
h
L2
Для ядерной оценки ПФ (8) оценка точности в случае действительных ядер может быть записана в виде
Вычисление точности оценивания ФРО и ПФ для поликристаллов…
i
L2
i
l  0 n  l

l
1
2l  1

2

2Ql
Ql 2  N  1 

1 

2
N 
 2l  1  2l  1
l
Cml n C m2nYml (hi )Yml (hi ) 
1
m1 , m2 l

l
  4 2 
l



2
M Ph ( y )  Pˆh ( y )
1
2
0 4 2
C00
 
l
N
(10)
l
Q2
  2l l 13  C (l , 0, l , m, 0, m)C (l , 0, l, n, 0, n) Yml (hi )
n l
2
.
m l
Асимптотическая оценка точности восстановления ФРО. По аналогии с оценкой для
ФРО функцию близости для ПФ (9)–(10) можно представить в виде двух слагаемых:
2  M Ph ( y )  Pˆh ( y )
i
i
2
L2
 12   22 .
Слагаемое 12 , отвечающее за влияние ядра регуляризации, может быть представлено в виде
12


где P l , hi   4 
2

1

2
l 0  2l  1
l

2
Ql 

1   2l  1  P  l , hi ,


l
n,m1 ,m2 l
Cml n C m2nYml (hi )Yml (hi ).
1
1
2
Слагаемое  22 , отвечающее за влияние конечной выборки, может быть представлено в виде
 22 
 
где R l , hi   4 
2
0
 2l  1 C00

 Ql 2
1
 R  l , hi   P  l , hi   ,

N l 0  2l  14 
l

2
n,m l
C (l , 0, l , m, 0, m) C (l , 0, l , n, 0, n) Yml ( hi ) .
Для ядер вида (5), (6) оценки точности вычисления ПФ могут быть, соответственно, представлены в виде

12  B1 4 , B1  
1
l (l  1)2m P(l , hi );
2
l 0  2l  1

 22  F
2
m

V
, F
2
N
m
3m 1  1
1
m
z m exp   z  dz;

0
 al 2
P (l , hi );
2
l  0  2l  1

12  B2  4 , B2  
a 24
.
N
В работе выведены асимптотические оценки точности восстановления ФРО и ПФ для двух
классов ядер. Получены характеры зависимостей данных оценок от остроты текстуры  и объема
измеренных ориентаций N . В дальнейшем предполагается получить относительные оценки точности восстановления и провести ряд численных экспериментов для случая, когда текстура описывается центральным нормальным распределением.
22  4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боровков М.В., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). М.: МИФИ, 2002.
2. Савелова Т.И., Бухарова Т.И. Представление группы SU(2) и их применение. М.: МИФИ, 1996.
3. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.