Рабочая программа курса «Алгебра и геометрия»

Рабочая программа курса «Алгебра и геометрия»
Автор: профессор Ерусалимский Я.М.
Рабочая программа составлена в соответствии ФГОС ВПО
для естественно научных направлений и специальностей,
специальность - механика
1-й, 2- семестры.
Отчетность по курсу:
1-й семестр - зачет, экзамен; 2-й семестр -зачет, экзамен.
Количество учебных часов: лекции - 102 часа, лабораторные занятия 102 часа, самостоятельная работа студентов - 204 часа.
Текущий контроль знаний:
4 контрольных работы
в каждом
семестре с оценкой по 5-тибальной шкале.
1. Аналитическая геометрия на прямой. Числовая прямая, направленный
отрезок, его величина и длина, свойства величины направленного отрезка.
Деление отрезка в заданном отношении. Середина отрезка.
2. Системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные и декартовы
координаты, связь между ними. Преобразования декартовых координат:
сдвиг, поворот, общее преобразование.
3. Понятие об уравнениях линий и поверхностей, типы уравнений: явное,
общее, параметрические.
4. Прямая на плоскости. Уравнения прямой, расстояние от точки до прямой,
теорема о разделении плоскости общим уравнением прямой.
5. Алгебра матриц. Матрицы их типы, операции над матрицами и их
свойства. Умножение матриц и его свойства. Степени квадратной
матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость. Делители нуля,
необходимое
условие
обратимости,
существование
обратимых
и
необратимых матриц. Группа обратимых матриц. Многочлены от матрицы,
Простейшие матричные уравнения.
6. СЛУ и ОСЛУ. Классификация СЛУ. Гауссовы преобразования СЛУ.
Метод Гаусса.
7. Подстановки
и
перестановки
и
их
характеристики.
Композиция
перестановок. Запись перестановки. Группа перестановок. Гомоморфизм
групп.
8. Определители. Три определения определителя и их равносильность.
Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема
Лапласа. Теорема об определителе произведения матриц. Критерий
равенства нулю определителя. Присоединенная матрица. Критерий
обратимости матрицы. Теорема Крамера и следствие из неё. Определитель
Вандермонда.
9. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа и
операции над к.ч. Геометрическая интерпретация к.ч и тр. форма к.ч.
Операции над к.ч. в тригоном. форме. Формула Муавра. Деление во
множестве к.ч. Свойства модуля и аргумента. Корни из комплексных
чисел. Корни из единицы. Первообразные корни. Группа корней из
единицы.
10. Многочлены. Теорема единственности. Операции над многочленами.
Деление во множестве многочленов. Деление с остатком. НОД. Алгоритм
Евклида. Корни многочленов. Теорема Безу и следствие из неё.
Разложение по корням. Кратность корня. Теорема Виета. Многочлены с
вещественными
коэффициентами
и
их
корни,
разложение
на
неприводимые множители. Многочлены с целыми и рациональными
коэффициентами.
Целые
и
рациональные
корни
многочленов
с
рациональными и целыми коэффициентами. Производная многочлена.
Корни
многочлена
и
производной.
Построение
многочлена
с
однократными корнями.
11. Векторы и операции над ними. Разложение вектора по некомпланарным
векторам. Координаты вектора и скалярное произведение. Векторное
произведение векторов. Координаты векторного произведения. Смешанное
произведение
векторов.
произведения.
Координатная
Условия
форма
коллинеарности,
для
смешанного
ортогональности
и
компланарности векторов.
12. Плоскость и прямая в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей
через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через точку и
имеющей заданный вектор нормали. Общее уравнение плоскости. Геом.
смысл его коэффициентов. Специальные уравнения плоскости. Расстояние
от точки до плоскости. Пучок плоскостей. Уравнения прямой, проходящей
через точку в заданном направлении. Параметрические уравнения прямой.
Прямая как пересечение плоскостей. Задача о расстоянии от точки до
прямой.
13. Линейные пространства. Определение л.п. и примеры. Системы векторов
в л.п. Линейная комбинация. Линейно зависимые и линейно независимые
системы векторов и их св-ва. Полные системы векторов. Базис и
размерность. Координаты вектора. Переход от базиса к базису. Матрица
перехода. Свойства матриц перехода. Отыскание матрицы перехода.
Линейные подпространства. Линейная оболочка как подпространство.
Свойства
линейных
оболочек.
Сумма
и
пересечение
линейных
подпространств. Теорема о размерностях. Прямая сумма и критерий
прямизны.
14. Ранг матрицы. Определения ранга. Свойства рангов. Совпадение рангов.
Приложение ранга к СЛУ и ОСЛУ. ФСР.
15. Линейные операторы в линейных пространствах. Определение и примеры
лин. операторов. Ядро и образ, и их свойства. Матрица лин. оператора в
конечномерных пространствах. Переход от базисов к базисам. Размерность
ядра
и
образа.
Ранг
оператора.
Теорема
dim ker A  dim Im A .
о
Пространство лин. операторов. Алгебра L( X , X ) . Степени лин. оператора.
Подалгебры
Собственные
алгебры
L( X , X ) .
векторы
Характеристический
и
Обратимость
собственные
многочлен.
в
алгебре
значения
Теорема
о
лин.
лин.
L( X , X ) .
оператора.
независимости
собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям.
Влияние на матрицу лин. оператора наличие в базисе его собственных
векторов. Оператор с простым спектром.
16. Евклидовы пространства. Определение и примеры. Длина вектора. Угол
между векторами. Нер-во К.-Б. Нер-во Минковского. Теорема Пифагора.
Ортогональные системы и их св-ва. Ортонормированные системы.
Преимущества ортогональных и ортонормированных систем. Равенство
Парсеваля. Координаты вектора в ортонормированном базисе. Процесс
ортогонализации.
Ортогональная
прямая
сумма.
Разложение
в
ортогональную прямую сумму. Проекция и ортогональная составляющая.
Расстояние от вектора до подпространства. Ортогональное дополнение и
его
св-ва.
Задача
о
проекции
и
ортогональной
составляющей.
Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица и определитель Грамма.
Сопряженный оператор и его матрица. Самосопряженные операторы и их
свойства.
Инвариантные
подпространства
и
инвариантность
орт.
дополнения к ним для с.с. оператора. Вещественность спектра с.с.
оператора. Норма оператора и ее св-ва. Оценка спектра через норму.
Геометрия спектра с.с. оператора. Диагонализуемость матрицы с.с.
оператора.
17. Билинейные и квадратичные формы. Определение б.л.ф. и матрица б.л.ф.
Связь между матрицами б.л.ф. в разных базисах. Симметричные б.л.ф.
Теорема о канонич. форме и канонич. базисе для симметричной б.л.ф.
Квадратичные формы и их матрицы. Симметрическая запись кв.формы.
Числовые характеристики кв. формы. Теоремы о приводимости к
каноническому и нормальному виду. Критерии положительной и
отрицательной определенности. Критерий Сильвестра (без док-ва).
18. Понятие о НЖФ. Собственные и присоединенные векторы. Цепочки
векторов и Жордановы клетки.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
по алгебре и геометрии
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: М.: Наука. 1984.295с.
2. Ильин
В.А.,
Позняк
Э.Г.
Аналитическая
геометрия:
М.:Наука.1988. 232с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру :М.: Наука. 1977
4. Владимирский
Б.М.,
Горстко
А.Б.,
Ерусалимский
Я.М.
Математика. Общий курс// СПб., Лань, 2009
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: М.: Наука. 1975.431с.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры: М.: Наука.1987. 320с.
7. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: М.: Наука
8. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии: М.: Наука. 1964. 336с.
9. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: М.:
Наука. 1986. 223с.
10. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия: М.: Наука. 1969.
176 с.
11. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре:
М.:Наука. 1984. 336 с.
12. Владимирский
Б.М.,
Горстко
А.Б.,
Ерусалимский
Я.М.
Математика. Общий курс/ СПб: Лань, 2008, изд. 4-е стер., 986 с.