Решение задач на вписанные и описанные многогранники

Дистанционный урок геометрии(2 урока)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ
И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Изучить теоретический материал по теме «Вписанные и описанные
многогранники»
Около любого тетраэдра можно описать сферу; в любой тетраэдр можно
вписать сферу
Центр вписанного шара – точка пересечения биссекторных плоскостей всех
двугранных углов треугольной пирамиды, центр описанного шара – точка
пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер
перпендикулярно к ним.
А. Вписанный шар в пирамиду.
1. В треугольную пирамиду можно вписать шар.
2. В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр
которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар.
С л е д с т в и е . В любую правильную пирамиду можно вписать шар.
3. Центр шара, вписанного в пирамиду, есть точка пересечения высоты
пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на
основание.
С л е д с т в и е . № 633.
В. Описанный около пирамиды шар.
1. Около треугольной пирамиды можно описать шар.
2. Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около
пирамиды можно описать шар.
С л е д с т в и е . Около любой правильной пирамиды можно описать шар.
3. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения
прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр
описанной около основания окружности, и плоскости, перпендикулярной
любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.
С л е д с т в и е . Центр описанной около правильной пирамиды сферы лежит
на высоте этой пирамиды.
С. Вписанный в призму шар.
1. Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно
вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
2. Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы,
проходящей через центр окружности, вписанной в основание, а радиус шара
равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
D. Описанный около призмы шар.
1. Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда призма
прямая и около основания можно описать окружность.
2. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты
призмы, проведенной через центр окружности, описанной около основания.
II. Решение задач.
А. Вписанный шар в пирамиду.
D
M
O
A
1
K
C
O1
1. Д а н о : DABC – правильная
треугольная пирамида, O – центр
вписанного шара, M – точка касания
вписанного шара, DO : OO1 = 2 : 1.
Найдите  1.
B
D
M
O
A
K
C
O1
B
D
M
O
A
K
C
O1
B
2. Д а н о : DABC – правильная
треугольная пирамида, O – центр
вписанного шара, M – точка касания
вписанного шара, DM = KO1.
Найдите  KDO1.
3. Д а н о : DABC – правильная
треугольная пирамида, O – центр
вписанного шара, M – точка касания
вписанного шара, MK = 2.
Найдите PABC.
В. Описанный около пирамиды шар.
D
b
A
O
B
O1
C
1. Д а н о : DABC – правильная треугольная
пирамида, O – центр описанного шара, h –
высота пирамиды, R – радиус описанного
шара, b – боковое ребро пирамиды.
Докажите
справедливость
формулы
2
b
R = 2h .
D
A
O1
2. Д а н о : DABC – правильная треугольная
пирамида, O – центр описанного шара,
DO1 : O1O = 2 : 1.
C
Найдите:  DAO.
O
B
С. Вписанный в призму шар.
A1
C1
B1 O
A
6
C
5
6. Д а н о : ABCA1B1C1 – прямая треугольная
призма, AC = BC = 5, AB = 6, O – центр
вписанного шара.
Найдите Rш.
B
Д. Описанный около призмы шар.
C1
A1
O1
8
A
O B1 C
3 3
– правильная
треугольная призма, A1B1 = 3 3 , AA1 = 8, O –
центр описанного шара.
Найдите Rш.
1.
Дано:
ABCA1B1C1
B
A1
A
C1
O1
O B1 C
2. Д а н о : ABCA1B1C1 – правильная
треугольная призма, O – центр описанного
шара, Rш = 10, Sосн = 27 3 .
Найдите AA1.
B
Домашнее задание:
1. Выучить теоретический материал, изложенный в данном документе.
2. Решить задачи подготовительного варианта домашней контрольной работы (см. ниже).
Домашняя контрольная работа.
1. Сечение, параллельное оси цилиндра, отстает от его оси на расстояние,
равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус основания цилиндра равен 5, а
его высота – 10.
2. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8, и 10.
Высота призмы равна 4. Площадь боковой поверхности описанного около
призмы цилиндра равна…
3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по
хорде, длина которой равна α. Эта хорда стягивает дугу 90°. Угол между
образующими в сечении равен 60°. Площадь боковой поверхности конуса
равна…
4. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной 10 и
противолежащим ей углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию под углом 60°. Площадь боковой поверхности описанного около
пирамиды конуса равна…
5. Найдите множество точек, удаленных на α от точки M и на b от точки P.
6. Укажите множество центров всех сфер, которые касаются плоскости в
заданной точке.
7. Через точку A (3; 4; 12), принадлежащую сфере x2 + y2 + z2 = 169 проведена
плоскость, перпендикулярная оси Oz. Найдите радиус сечения.
8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 4. В этот конус вписан
шар. Площадь боковой поверхности конуса равна…
9. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3. Боковые
ребра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь описанной около
пирамиды сферы равна…
10. В пирамиду с равно наклоненными к основанию гранями вписан шар.
Центр шара делит высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины. Угол наклона
боковых граней к основанию равен…