Подготовка к олимпиаде «V КРУГ» (май 2013г.). Домашнее

Подготовка к олимпиаде «V КРУГ» (май 2013г.).
Домашнее задание старших учащихся ШИТМ для младших.
1. Внутри круга даны две различные точки. Проведите через них две равных и параллельных хорды. (Свободными являются обе точки, центр и радиус круга.)
2. Постройте квадрат MNKL, вписанный в квадрат ABCD. (Свободными являются точки
A и С; точка M лежит на стороне АВ и является частично свободной.)
3. Построить отрезок, соединяющий стороны данного угла, проходящий через данную
точку, расположенную внутри угла, такой, что он делится ею пополам. (Свободны вершина, стороны угла и данная точка.)
4. Построить вторую точку пересечения окружностей, основанных на сторонах AB и BC,
как на диаметрах, если запрещено пользоваться операцией «окружность». (Свободны
точки A, B, C.)
5. Даны 4 точки общего положения. Построить хотя бы одну окружность, расстояния до
которой от этих 4 точек равны. (Свободными являются 4 исходные точки.)
6. Построить треугольник по трём серединам его сторон за наименьшее количество операций, если разрешено пользоваться только операцией «гомотетия». (Свободны середины
сторон.)
7. Построить треугольник ABC, в котором высота BH в два раза меньше медианы AM.
(Свободными являются точки A и B, частично свободна точка H.)
8. Дана вершина, точка пересечения медиан и высот серединного треугольника. Восстановить исходный треугольник. (Свободны все три исходные точки.)
9. Даны две окружности w1 и w2. Постройте все точки, удалённые от этих окружностей на
расстояния d1 и d2 соответственно. (Свободны центры и радиусы обеих окружностей, а
также длины отрезков d1 и d2.)
10. Дан угол BAC. Построить точку K такую, что расстояние КB равно расстоянию от K
до луча AC. (Свободными являются точки A, B, C.)
11. Построить геометрическую интерпретацию следующей задачи: «Метеорит M летит
по прямой, пересекающей планету (окружность с центром О и радиусом R). При прохождении метеоритом через точку P на этой прямой, удалённую от точки столкновения с
планетой на расстоянии 5R, из точки S на поверхности планеты с целью сбить метеорит
должна стартовать ракета со скоростью, в три раза меньшей, чем скорость метеорита.»
(Свободны - прямая полёта метеорита, точки О и S, радиус R; частично свободна точка М.)