Образцы контролирующих материалов по

Образцы контролирующих материалов по .
дисциплине «Дифференциальные уравнения в экономике
Список основных вопросов на зачет
Описание равновесной модели Вальраса.
Модель Солоу экономического роста.
Модель делового цикла Кейнса.
Модель динамического выбора вида транспорта.
Система дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Векторное поле и
фазовый поток.
6. Приближенный метод Эйлера построения решения уравнения первого порядка.
7. Теорема существования и единственности решения уравнения первого порядка.
8. Понятие метрики и метрического пространства. Примеры метрических пространств.
9. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство.
10. Предел в метрическом пространстве. Последовательность Коши. Полное метрическое
пространство.
11. Принцип сжимающих отображений.
12. Оценка скорости сходимости итерационной процедуры.
13. Существование и единственность решения уравнения первого порядка. Доказательство
с помощью принципа сжимающих отображений.
14. Доказательство существования и единственности решения системы уравнений первого
порядка с помощью принципа сжимающих отображений.
15. Непрерывная зависимость решения системы от параметра.
16. Непрерывная зависимость решения системы от начального условия.
17. Дифференцируемость решений системы первого порядка.
18. Свойства уравнения, не разрешенного относительно производной.
19. Дискриминантные кривые, особые решения. Огибающая семейства решений.
20. Свойства системы уравнений первого порядка. Приведение системы уравнений
первого порядка к одному уравнению высшего порядка.
21. Производная по направлению векторного поля и ее свойства.
22. Интегралы системы уравнений первого порядка.
23. Замена координат в системе уравнений первого порядка.
24. Выпрямление векторного поля.
25. Устойчивость по Ляпунову решения задачи Коши для уравнения первого порядка.
26. Асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость, неустойчивость решения
задачи Коши для уравнения первого порядка.
27. Приведение задачи об устойчивости решения задачи Коши общего вида к задаче об
устойчивости тривиального решения.
28. Оценки матрицианта двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами.
29. Классификация линейных двумерных систем с постоянными коэффициентами.
30. Устойчивость тривиального решения многомерной линейной системы с постоянными
коэффициентами.
31. Устойчивость тривиального решения системы первого порядка общего вида по
линейному приближению. Оценки матрицианта системы линейного приближения.
32. Теорема об устойчивости по линейному приближению.
33. Понятие о функции Ляпунова на примере двумерной линейной системы с
постоянными коэффициентами.
34. Прямой метод Ляпунова.
35. Теорема об асимптотической устойчивости в прямом методе Ляпунова.
1.
2.
3.
4.
5.
36. Понятие о функционалах, примеры функционалов, функционал длины дуги кривой на
плоскости.
37. Вариация функционала. Вычисление вариации функционала длины дуги кривой.
Преобразование вариации.
38. Необходимые условия экстремума функционала. Вариационная производная.
39. Функционал действия. Вычисление вариационной производной функционала
действия. Получение уравнений Эйлера-Лагранжа второго порядка.
40. Функционал действия. Функция Лагранжа. Вычисление вариационной производной
функционала действия для функции Лагранжа с производными первого порядка.
Получение уравнений Эйлера-Лагранжа второго порядка.
41. . Вычисление вариационной производной функционала действия для функции
Лагранжа с производными высших порядков. Получение уравнений Эйлера-Лагранжа
с производными высших порядков.
42. Преобразование Лежандра, функция Гамильтона, уравнения Гамильтона.
43. Вариационные методы в модели Лонга-Зиберта. Принцип максимума.
44. Вариационные задачи оптимального экономического роста.
Индивидуальное домашнее задание
Вариант 6
6.1 Построить кривые предложения и спроса в зависимости от цены.
6.2. Найти равновесную цену для линейной зависимости
D( p, )  p  1 , S ( p)  p  2 , , 1 , 2 ,  - постоянные.
6.3. Найти равновесную цену для квадратичной зависимости
D( p, )  p 2  1 , S ( p)    2 , , 1 , 2 ,  - постоянные.
6.4. Найти вид стационарной траектории в модели Солоу.
6.5. Найти общее решение уравнения
4 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2dx
6.6. Найти общее решение уравнения
dy
(1  e x )
 ye x
dx
6.7 Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат,
делится пополам в точке касания.
6.8 Скорость обесценивания оборудования вследствие износа в любой данный
момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Найти стоимость в момент
времени t, если начальная стоимость равна A. Через какое время оборудование
обесценится на треть, если k  0, 25 ?
6.8. Опишите фазовое пространство уравнений и систем уравнений:
y '' y  xy 2 , y ' y  xy 2 , y ''' y  0 .
6.9. Опишите фазовое пространство и найдите фазовый поток для системы
dx(t )
 kx(t ) .
dt
Проверьте, выполняется ли свойство g t   g t g  .
Образцы зачетных билетов
Томский политехнический университет
Билет № 3
по дисциплине Дифференциальные уравнения в экономике факультет ЕНМФ
курс II
1. Сформулировать модель Солоу устойчивого развития односекторной экономики.
2. Предел последовательности в метрическом пространстве. Последовательность
Коши. Полное метрическое пространство.
Составил:
Шаповалов А.В.
профессор кафедры ВММФ
Утверждаю
Зав. кафедрой ВММФ
проф. Трифонов А.Ю.
Томский политехнический университет
Билет № 2
по дисциплине Дифференциальные уравнения в экономике факультет ЕНМФ
курс III
1. Устойчивость по Ляпунову решения задачи Коши для уравнения первого порядка.
45. Вариация функционала. Вычисление вариации функционала длины дуги кривой.
Преобразование вариации.
Составил:
Шаповалов А.В.
Утверждаю
профессор кафедры ВММФ
Зав. кафедрой ВММФ
проф. Трифонов А.Ю.